Soluzione

Il problema puo' essere schematizzato pensando ad $n=11$ copie indipendenti dello spazio di probabilita' formato da una domanda. Poiche' non dare risposta contribuisce solo a determinare il numero di domande che entrano effettivamente in "gioco", i possibili esiti (risposte) $\Omega$ possono essere schematizzati con
g=risposta giusta con probabilita' $1/4$
e=risposta errata con probabilita' $3/4$
*=nessuna risposta con probabilita' $0.$
Il punteggio di ciascuna domanda puo' essere visto come la variabile aleatoria $X:\Omega\rightarrow \RR$ definita da $X(g)=3,X(e)=-1,X(*)=0.$ Definendo per $i=1,..,n,\$

$$X_i:\Omega^n\rightarrow \RR\quad\quad X_i(\omega_1,...,\omega_n)=X(\omega_i),$$

si ottiene il punteggio globale come somma di variabili aleatorie indipendenti $Y=X_1+....+X_n.$
Si possono anche introdurre le variabili aleatorie $X_g,X_e,X_*:\Omega^n\rightarrow \RR$ come quelle che contano il numero di risposte giuste, errate e non date rispettivamente.

Domanda 1   Calcolare il valore atteso del punteggio su ogni domanda e globale.

Soluzione
$E[X]=3/4(-1)+3/4=0,$ quindi $E[Y]=n.0=0.$ Il "gioco" e' equo.
Riflettere su quali altri punteggi si possono dare se si vuole far rimanere il valore atteso di $Y$ uguale a $0.$

Domanda 2   Calcolare la probabilita' di avere un punteggio di almeno 18 scegliendo tutte le risposte a caso.

Soluzione
In questo caso si ipotizza di dare tutte le risposte, quindi lo spazio di probabilita' puo' essere visto come una distribuzione binomiale $B(11,3/4)$ (considerando e=successo!!) e si deve calcolare

$$p(Y\geq 18).$$

Si puo' definire una partizione di $\Omega$ con

$$A_i=\{X_e=i= numero\ di\ risposte\ sbagliate\},\quad i=0,...,n;$$

se $\omega\in A_i$ allora $p(\omega)=\frac{3^i}{4^{11}},$ e

$$Y(\omega)=-i+3(11-i)=-4i+33 \geq 18\Longrightarrow i\leq [15/4]=3.$$

D'altra parte la cardinalita' di $A_i$ e' data da $\left(\begin{array}{c} n\\ i \end{array}\right)$ e quindi

$$p(Y\geq 18)=\sum_{i=0}^3p(\{Y\geq 18\}\cap {A_i})= \sum_{i=0}^3 \... ...= \sum_{i=0}^3 \frac{11...(11-i+1)3^i}{i!4^{11}}= \frac{4984}{4^{11}}=0.00118..$$

Domanda 3   Calcolare la probabilita' di aumentare il punteggio dando a caso $m(<11)$ risposte. Studiare la probabilita' in funzione di $m$.

Soluzione
Si deve calcolare la probabilita' condizionata

$$p({Y\geq 0}\vert{X_g+X_e=m})=p({Y\geq 0}\vert{X_*=11-m}).$$

Si puo' ragionare in maniera analoga al punto precedente sostituendo $m$ a $n,$ oppure in maniera equivalente definendo $A_i=\{X_e=i,X_g=m-i\},\quad i=0,...,m;$ in ogni caso se $\omega\in A_i$ allora $p(\omega)=\frac{3^i}{4^{11}}$ e

$$Y(\omega)=-i+3(m-i)=-4i+3m>0\Longrightarrow i\leq 3m/4.$$

Se si indica $k$ il piu' grande intero minore di $3m/4,$ otteniamo

$$p_m:=p(\{Y\geq 0\}\vert\{X_g+X_e=m\})= \sum_{i=0}^k \frac{1}{4^{m}}3^i\left(\begin{array}{c} m\\ i \end{array}. \right)$$

In particolare avremo

$$p_1= \frac{1}{4}\quad p_2=\frac{7}{16}.$$

Per studiare $p_m,$ conviene studiare il complementare, infatti si vede subito che gli esiti che danno un punteggio negativo sono in numero minore di quelli che danno un esito positivo. $Y(\omega)=-i+3(m-i)=-4i+3m\leq 0$ implica $i\geq 3m/4.$ Se si indica $k$ il piu' piccolo intero minore o uguale a $3m/4,$ otteniamo $k=m$ se $3m/4> m-1,$ inoltre $k=m-1$ se $3m/4> m-2.$ Procedendo in maniera analoga otteniamo

$$k=m\quad \Longleftrightarrow\quad m\leq 3$$

$$k=m-1\quad \Longleftrightarrow\quad 4\leq m\leq 4$$

$$k=m-2\quad \Longleftrightarrow\quad 5\leq m\leq 7$$

$$k=m-3\quad \Longleftrightarrow\quad 9\leq m\leq 10,$$

per l'ultima limitazione si ricordi che si richiede $m<11.$ Ponendo

$$B_1=\{1,..,3\}\quad B_2=\{5,..,7\}\quad B_3=\{8,9,10\}$$

abbiamo

$$m\in B_1\quad p_m=1-\frac{1}{4^{m}}3^m=1-\left(\frac{3}{4}\right)^m$$

$$m\in B_2\quad p_m=\sum_{i=m-1}^m \frac{1}{4^{m}}3^i\left(\begin{array}{c} m\\ i \end{array}\right)= 1- \frac{m3^{m-1}+3^m}{4^{m}}$$

$$m\in B_3\quad p_m=\sum_{i=m-2}^m \frac{1}{4^{m}}3^i\left(\begin{array}{c} m\\ i \end{array}\right)= 1- \frac{m(m-1)3^{m-2}/2+m3^{m-1}+3^m}{4^{m}}$$

Si vede quindi che $m\mapsto p_m,\ m\in B_i$ e' crescente, mentre $p_3<p_4,\ p_7<p_8.$
Il grafico e' dato da

$$(1,0.25)\ ,\ (2,0.4375)\ ,\ (3,0.578125)$$

$$(4,0.26171875)\ ,\ (5,0.3671875)\ ,\ (6,0.4660644531)\ ,\ (7,0.5550537109)$$

$$(8,0.3214569092)\ ,\ (9,0.3993225098)\ ,\ (10,0.474407196).$$

Disegnarlo in un sistema di assi cartesiani.

Domanda 4   Nel caso che per una domanda si sia certi che la risposta giusta sia da scegliere fra due, che probabilita' si ha di aumentare il punteggio scegliendola a caso fra quelle due?

Soluzione
La probabilita' e' ovviamente $1/2.$

Domanda 5   Nel caso che per $m$ domande si sia certi che la risposta giusta sia da scegliere fra due, che probabilita' si ha di aumentare il punteggio scegliendola per ognuna delle $m$ domande a caso? Studiare tale probabilita' in funzione di $m$.

Soluzione
L'esercizio e' simile al n.3, cambia solo la probabilita' da attribuire alle risposte. Pertanto con le stesse notazioni avremo:

$$m\in B_1\quad p_m=1-\frac{1}{2^{m}}$$

$$m\in B_2\quad p_m=\sum_{i=m-1}^m \frac{1}{2^{m}}\left(\begin{array}{c} m\\ i \end{array}\right)= 1- \frac{m+1}{2^{m}}$$

$$m\in B_3\quad p_m=\sum_{i=m-2}^m \frac{1}{2^{m}}\left(\begin{array}{c} m\\ i \end{array}\right)= 1- \frac{m^2+m+2}{2^{m+1}}$$

Si vede quindi che $m\mapsto p_m,\ m\in B_i$ e' crescente, mentre $p_4<p_5,\ p_8<p_9.$
Disegnare il grafico.

Domanda 6   Se il punteggio di un test e' $18$ che probabilita' si ha di aver dato almeno $k$ risposte giuste? E al piu' $h$ risposte sbagliate? Studiare le probabilita' in funzione di $h,k.$

Soluzione
Si tratta di calcolare le due probabilita' condizionate

$$p({X_g\geq k}\vert{Y=18})$$

$$p({X_e\leq h}\vert{Y=18}).$$

Ponendo

$$A_{ij}=\{X_g=j\}\cup \{X_e=i\}\ ,\ i,j\geq 0\ ,\ i+j\leq 11,$$

abbiamo che

$$\omega\in \{Y=18\}\cap A_{ij}\ \Longrightarrow \ Y(\omega)=-i+j=18 \ ,\ p(\omega)=\frac{3^i}{4^{i+j}}.$$

D'altra parte $A_{ij}\cap \{Y=18\}\neq \empty$ se esolo se $18-3j\geq 0$ e $4j\leq 29,$ quindi per la coppia $(i,j)$ abbiamo solo le possibilita'

$$(i,j)=(0,6)\ ,\ (i,j)=(3,7).$$

Avremo

$$p(\{X_g= k\}\cap \{Y=18\})=0\ ,\ k\leq 5\ ,\ k\geq 8$$

$$p(\{X_e= h\}\cap \{Y=18\})=0\ ,\ h\neq 0,3$$

$$p(\{X_g= 6\}\cap \{Y=18\})=p(\{X_e =0\}\cap \{Y=18\}) =\binom{11}{6}\frac{1}{4^6}$$

$$p(\{X_g= 7\}\cap \{Y=18\})=p(\{X_e =3\}\cap \{Y=18\}) =\frac{11!}{7!3!}\frac{3^3}{4^{10}}$$

Le probabilita' richieste valgono

$$p(\{X_g\geq k\}\cap \{Y=18\})= \begin{cases} 1 &\quad se\quad... ...cr \frac{1}{1+\frac{4^414}{6!9}} &\quad se\quad k=7 \end{cases}$$

$$p(\{X_e\leq h\}\cap \{Y=18\})= \begin{cases} 1 &\quad se\quad... ...frac{1}{1+\frac{6!9}{4^414}} &\quad se\quad h=0,1,2 \end{cases}$$

Domanda 7   Ripetere il precedente esercizio per diversi punteggi del test, ad esempio $33,29,17,16,5$

Soluzione
Ripetendo il ragionamento precedente si vede che per $Y=33,29,16,$ si hanno le sole possibilita'

$$(i,j)=(0,11),(1,10),(2,6)$$

rispettivamente e le probabilita' possono valere solo $1$ o $0.$
Per $Y=17,$ le possibilita' sono

$$(i,j)=(1,6),(4,7).$$

Per $Y=5,$ le possibilita' sono

$$(i,j)=(1,2),(4,3),(7,4).$$