Misura di Lebesgue

1. Teorema di esistenza della misura di Lebesgue in ${\bf R}^n$. Esiste una misura positiva completa $m = m_n$ definita su una $\sigma$-algebra ${\cal M}$ in ${\bf R}^n$, che ha le seguenti proprietà:
i) $m(W) = {\rm Vol}(W)$ per ogni iperrettangolo di ${\bf R}^n$.
ii) ${\cal M}$ contiene i boreliani e $m$ è regolare.
iii) $m$ è invariante per traslazione, cioè $m(E+x) = m(E)$ per ogni $E \in {\cal M}$ e per ogni $x \in {\bf R}^n$.
iv) (Unicità di $m$). Se $\mu$ è una qualsiasi misura di Borel in ${\bf R}^n$ invariante per traslazione e a valori finiti sui compatti, allora esiste una costante $c$ tale che $\mu(E) = c\, m(E)$ per ogni boreliano $E \in {\bf R}^n$.
2. Si dice che $f_n \rightarrow f$ in misura se, per ogni fissato $\eta > 0$,

$$\lim_{n \rightarrow \infty} m\, \{ x: \vert f_n(x) - f(x)\vert > \eta \} = 0 .$$

Si ha che: $f_n \rightarrow f$ q.o. $\Rightarrow f_n \rightarrow f$ in misura.
3. Le funzioni monotone (e quindi anche le differenze di monotone) sono derivabili q.o.
4. Una funzione $f$ si dice assolutamente continua (a.c.) se: per ogni $\epsilon > 0$ esiste $\delta > 0$ tale che, comunque si scelga un numero finito di intervalli $(a_i, b_i)$ non coprentisi e con $\sum_i(b_i-a_i) < \delta$ , si abbia $\sum_i \vert f(b_i) - f(a_i)\vert < \epsilon$. Le funzioni lipschitziane sono a.c. Le funzioni a.c. sono derivabili q.o.
5. Se $g \in L_1(m)$, posto, per ogni $x \in {\bf R}$, $f(x) = \int_{-\infty}^xg(t) dt$, allora $f$ è a.c. e inoltre $f'(x) = g(x)$ q.o.
6. Per le funzioni a.c. vale la formula fondamentale del calcolo integrale (per l'integrale di Lebesgue). Precisamente vale il seguente fatto. Condizione necessaria e sufficiente a che la formula

$$f(x) - f(a) = \int_a^x f'(t) dt$$

valga per tutti gli $x$ di un intervallo $[a,b]$, è che $f$ sia a.c. su $[a,b]$.
7. Teorema di Fubini in ${\bf R}^2$. Sia $f \in L_1(m_2)$. Allora
i) per quasi tutti gli $x \in {\bf R}$ la funzione $y \rightarrow f(x,y)$ appartiene a $L_1(m_1)$;
ii) la funzione $g(x) = \int_Rf(x,y) dy$ appartiene a $L_1(m_1)$;
iii) risulta

$$\int_{R^2} f(x,y) dx dy = \int_R g(x) dx = \int_R ( \int_R f(x,y) dy )\, dx .$$

Analogamente per quasi tutti gli $y \in {\bf R}$, esiste l'integrale $h(y) = \int_R f(x,y) dx$, e si ha

$$\int_{R^2} f(x,y) dx dy = \int_R h(y) dy = \int_R ( \int_R f(x,y) dx )\, dy .$$