Misura e integrazione astratta

1. Uno spazio di misura è una terna $\{\Omega,{\cal A}, \mu \}$ dove $\Omega$ è un insieme, A una $\sigma$-algebra di $\Omega$ e $\mu$ una misura positiva su A ($\mu$ soddisfa gli stessi assiomi di una probabilità $p$ salvo che non si chiede che $\mu(\Omega) = 1$, inoltre è permesso il valore +$\infty$). Gli elementi della $\sigma$-algebra ${\cal A}$ sono i sottoinsiemi misurabili di $\Omega$.
2. Una $f: \Omega \rightarrow {\bf R}$ si dice misurabile se $f^{-1}(V)$ è misurabile (cioè appartiene ad ${\cal A}$) per ogni aperto $V$ di ${\bf R}$.
3. Indicheremo con ${\cal B}$ la $\sigma$-algebra generata dagli aperti di ${\bf R}^n$, i suoi elementi vengono chiamati boreliani. Una funzione $f: {\bf R}^n \rightarrow {\bf R}$ si dice Borel misurabile se è misurabile quando in ${\bf R}^n$ ci sia la $\sigma$-algebra dei boreliani. Ogni $f$ continua risulta dunque Borel misurabile.
4. In generale se $f_n: \Omega \rightarrow {\bf R}$ sono misurabili, tali risultano anche le funzioni $\sup_n f_n ,\;\; \lim \sup_n f_n$, in particolare, se esiste, è misurabile $\lim_n f_n$.
5. Sia $f: \Omega \rightarrow {\bf R}$, definiamo $f^+(x) = \max (f(x), 0)\;;\; f^-(x) = -\min (f(x), 0)$, allora $f = f^+ - f^-$ porge una decomposizione canonica di una funzione nella differenza di due funzioni positive. Per quanto detto se $f$ è misurabile, tali sono anche $f^+$ e $f^-$.
6. Una funzione $s$ su $\Omega$ che prende solo un numero finito di valori (positivi) è detta semplice. Se $a_1,..,a_n$ sono i valori assunti da $s$, allora $s = \sum_i a_i \chi_{\scriptscriptstyle A_i}$, dove $A_i = s^{-1}(a_i)$ e $\chi_{\scriptscriptstyle A}$ indica la funzione caratteristica di $A$. Chiaramente $s$ è misurabile se e solo se è misurabile ogni insieme $A_i$.
7. Sia $f: \Omega \rightarrow [0, +\infty]$ misurabile. Esiste una successione di funzioni semplici $\{s_n\}$ tale che $0 \leq s_1 \leq .. \leq s_n \leq ...\leq f$; $s_n(x) \rightarrow f(x)$ per ogni $x \in \Omega$. Inoltre se $f$ è limitata la convergenza è uniforme.
8. Sia $s$ una funzione semplice (misurabile), $s = \sum_i a_i \chi_{\scriptscriptstyle A_i}$, $E \subset \Omega$ misurabile, l'integrale (di Lebesgue) di $s$ su $E$ è definito da

$$\int_E s d\mu = \sum_i a_i \mu(A_i \cap E).$$

Sia $f$ una funzione positiva misurabile, l'integrale di $f$ su $E$ è definito da

$$\int_E f d\mu = \sup_{0\leq s\leq f}\int_E s d\mu .$$

9. Teorema della convergenza monotona: sia $0 \leq f_1 \leq ..\leq f_n \leq ..$, siano le $f_n$ misurabili e $f_n(x) \rightarrow f(x)$ per ogni $x \in \Omega$, allora ($f$ è misurabile e) $\int_E f_n \rightarrow\int_E f$.
10. $L_1(\mu)$ è lo spazio delle funzioni $f \; \mu$-misurabili su $\Omega$ e tali che $\int_\Omega \vert f\vert < \infty$. Se $f \in L_1(\mu)$, l'integrale di $f$ su $E$ è definito da $\int_E f d\mu = \int_E f^+ d\mu - \int_E f^- d\mu$; poichè $\vert f\vert = f^+ + f^-$ si ha $\vert\int_E f d\mu \vert \leq \int_E \vert f\vert d\mu$.
11. Teorema della convergenza dominata: siano $f_n$ misurabili e $f_n(x) \rightarrow f(x)$ per ogni $x \in \Omega$. Supponiamo che esista $g \in L_1(\mu)$ tale che per ogni $n$ ed $x$ si abbia $\vert f_n(x)\vert \leq g(x)$; allora $f \in L_1(\mu)\,,\;\; \int_E \vert f_n - f\vert d\mu \rightarrow 0$ e inoltre $\int_E f_n d\mu \rightarrow\int_E f d\mu$.
12. Sia P una proprietà che un punto $x$ può avere o non avere. Si dice che P vale quasi ovunque (q.o.) in un insieme $E$ se il sottoinsieme di $E$ in cui P non vale ha misura nulla. Gli insiemi di misura nulla sono trascurabili per l'integrazione nel senso che se $f = g$ q.o. in $E$ allora $\int_Ef d\mu = \int_Eg d\mu$. Pertanto in questa teoria si parla spesso di funzioni definite q.o.
13. Una misura $\mu$ su una $\sigma$-algebra si dice completa se i sottoinsiemi degli insiemi (misurabili) di misura nulla sono misurabili (e di misura nulla). E' sempre possibile completare una misura ampliando in modo naturale la sua $\sigma$-algebra.
14. Sia $\mu$ una misura di Borel. Un boreliano $A$ si dice regolare se

$$\mu(A) = \inf \{ \mu(V):\; A \subset V \;,\; V \;{\rm aperto} \}$$

e se, nel caso che $\mu(A) < \infty$,

$$\mu(A) = \sup \{ \mu(K):\; K \subset A \;,\; K \;{\rm compatto} \}.$$

Se ogni boreliano è regolare, $\mu$ si dice regolare.
15. Ogni misura di Borel in ${\bf R}^n$ è regolare.