La legge debole

Teorema 3.1.1 (Legge debole dei grandi numeri). Sia $\{X_k\}$ una successione di var.al. indipendenti aventi la stessa densità. Se esiste la media $\mu = E[X_k]$, allora qualunque sia $\eta > 0$ si ha

$$\lim_{n \rightarrow \infty} p \{\vert\frac{X_1+..+X_n}{n} - \mu\vert > \eta \} = 0.$$

(Per la dimostrazione di questo teorema vedi appendice del capitolo). Conviene qui premettere qualche osservazione. Poniamo $\frac{X_1+..+X_n}{n} = M_n$: il teorema afferma che $M_n \rightarrow \mu$ secondo un certo tipo di convergenza per var.al. (che poi sono funzioni). Nel linguaggio della teoria delle funzioni reali questa convergenza viene chiamata convergenza in misura o anche convergenza in probabilità. In realtà le ipotesi di questo teorema implicano una convergenza più forte, la convergenza quasi ovunque (per funzioni): vale cioè, come vedremo, una ``legge forte dei grandi numeri".
Se aggiungiamo un'ipotesi speciale, cioè che esistano le varianze $s_k^2$ delle $X_k$, il teorema ammette una dimostrazione molto semplice e per altri versi più generale (non occorre supporre che le $X_k$ abbiano la stessa densità) che qui riportiamo .
Teorema (Legge debole dei grandi numeri in ipotesi di varianza). Sia $\{X_k\}$ una successione di var.al. indipendenti di media $\mu_k$ e di varianza $\sigma_k^2$. Poniamo

$$S_n = X_1+..+X_n \;;$$

$$m_n = \sum_{k=1}^n \mu_k \;\; , \;\;\;s_n^2 = \sum_{k=1}^n \sigma_k^2$$

allora, se $\frac{s_n}{n } \rightarrow 0$, per ogni $\eta > 0$ si ha

$$p \{ \vert\frac{S_n}{n} - \frac{m_n}{n}\vert > \eta \,\} \rightarrow 0$$

Dimostrazione. Applicando la disuguaglianza di Chebyshev si ha

$$p \{\vert S_n - m_n\vert > n \eta \} \leq \frac{{\rm Var}(S_n)}{n^2 \eta^2 } = \frac{s_n^2}{n^2 \eta^2}$$

e l'ultimo termine è infinitesimo.