Settimana 25-26/9/01. Capitolo P, Preliminari

1. Mar. 25 Set.
Prerequisiti al corso si trovano nei paragrafi P.1, P.2, P.3, P.6 del capitolo P "Preliminari" e nel paragrafo 4.2 del capitolo 4 "Le funzioni trascendenti". Porre particolare attenzione alle proprieta del valore assoluto, alle equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, alle formule di trigonometria.
Numeri reali, naturali o interi positivi, interi, razionali e notazioni insiemistiche

$$x\in\R,\ \N,\ \Z,\ \Q$$

La retta reale. Proprieta' di ordine e di completezza dei numeri reali. Valore assoluto e distanza, intervalli (aperti, chiusi, semiaperti) e loro estremi, intervalli limitati e infiniti (semirette). Attenzione:

sul testo gli intervalli con estremi reali sono detti " finiti", noi li chiameremo " limitati"

Lunghezza o misura di un intervallo limitato. Esercizio: trovare centro (punto medio) e raggio di un intervallo limitato.
Rappresentazione grafica di intervalli e soluzioni di disequazioni e sistemi di disequazioni. Esempi:

$$3x+5\leq 3 \ (<3)\quad ,\quad 3x+5\leq 3 \ e \ x+7>0\quad ,\quad 3x+5\leq 3 \ e \ x-7>0\quad ,\quad \vert x+3\vert<4 \ (\geq 4)$$

2. Mar. 25 Set.
Coordinate cartesiane nel piano. Grafici di equazioni e disequazioni: retta e circonferenza.
3. Mer. 26 Set.
Funzioni: definizione e notazioni: $\ f:A\rightarrow B\ ,\ x\mapsto f(x)\quad,$ dominio, immagine. Funzioni reali di una (o piu') variabili reali: grafici, convenzione sul dominio , esempio $f(x)=1/(x^2-9)$. La funzione radice quadrata $x\mapsto \sqrt x.$ Alcune funzioni "elementari":

$$c,\ \vert x\vert,\ x^n,\ \sqrt[n]x$$

Polinomi e funzioni razionali. Funzioni pari, dispari. Operazioni fra funzioni: somma, differenza, prodotto e quoziente.
4. Mer. 26 Set.
Composizione di funzioni. Esempi: date $f:x\mapsto x^2,\ g:x\mapsto \sqrt x,\ h:x\mapsto 1/x,$ calcolare $f\circ g,\ g\circ f, h\circ h,$ specificando il dominio.
Funzioni definite a tratti, esempi: il valore assoluto, la funzione segno, la funzione parte intera.
Vedere sul testo la funzione di Heaviside e la funzione intero successivo (ceiling).
Attenzione:

• in alcuni testi sgn$(x)$ e' definita anche in $0,$ cioe' $${ \mbox{sgn}(x)=\begin{cases} x/\vert x\vert & \text{se} \quad x\neq 0 \cr 0 & \text{se }\quad x=0 \end{cases}}$$
• Nel primo rigo dell'esempio 11 pg.39 sostituire maggiore a minore. Lasciando minore non si definisce nessuna funzione, perche'?

5. Mer. 26 Set.
Cambio di scala e traslazione di un grafico, simmetrie e riflessioni. Esempi di grafici di funzioni deducibili da quelli delle funzioni elementari: esercizi

$$(x-2)^2-1\ ,\quad\quad \frac{x}{1-x}=-\frac{x-1+1}{x-1}=-1-\frac{1}{x-1}$$