TFA 2015: Modelli Matematici

Il termine "modello matematico" soffre di un'ambiguità: nell'accezione principale, lo si interpreta come uno strumento matematico (un'equazione, una funzione o quant'altro) che rappresenta la realtà, cioè un'astrazione della stessa. Al contrario, in una diversa interpretazione, un "modello matematico" è visto come un oggetto reale che dà concretezza ad una nozione matematica. Nella prima accezione, il modello matematico è da vedersi come uno strumento per sfruttare o conoscere più a fondo la realtà anche in modo quantitativo. Nella seconda, questo sembra divenire più un ausilio per l'apprendimento e la comprensione di nozioni e strutture astratte. Non mancano tuttavia esempi che si trovano per così dire a cavallo tra queste due interpretazioni. In queste lezioni crecherò di mantenere una certa equidistanza tra queste interpretazioni. Lo scopo principale (e molto ambizioso) di queste lezioni non è insegnare la matematica agli studenti di TFA e neanche solo di approfondire la conoscenza della stessa, bensì di stimolare gli studenti a ideare essi stessi lezioni attraenti per i propri futuri allievi, interessandoli con temi che possano andare leggermente oltre gli argomenti convenzionali. Ciò non toglie, tuttavia, che ove necessario farò i dovuti richiami agli argomenti toccati.

Programma

Sistemi articolati: trasformazioni del piano, invito alla geometria sintetica e analitica. I sistemi articolati che realizzano trasformazioni del piano: modelli reali della geometria. L'inversore di Peaucellet: uno strumento importante (storicamente) studiato attraverso la geometria sintetica.
Porzionamento di un disco, mappe e grafi piani: un'introduzione al principio d'induzione matematica. Il problema del porzionamento di un disco permette, di introdurre la formula di Eulero per i grafi piani. Una trasformazione geometrica porta alla formula di Eulero per i poliedri convessi e alle formule che riguardano la costruibilità degli stessi.
Relazioni tra oggetti: grafi e digrafi. I grafi come modelli di relazioni tra oggetti. Quali grafi possono essere piani (Teorema di Kuratowski). Percorsi euleriani: condizioni necessarie sufficienti, eulerizzazione, percorsi hamiltoniani: condizioni sufficienti. Grafi diretti e grafi pesati, il problema del commesso viaggiatore. Rappresentazioni matriciali: matrici d'adiacenza e d'incidenza.
Fenomeni che si evolvono per stadi successivi: Modelli a tempo discreto. Alcuni modelli significativi di evoluzione a tempo discreto. Studio tramite le successioni definite per ricorrenza: equilibri, orbite e traiettorie; nozione di stabilità, stabilità asintotica, instabilità di un equilibrio. Caso affine scalare: studio completo. Caso differenziabile scalare. Caso 2-dimensionale.
Equazioni alle differenze. Nozioni collegate, struttura delle soluzioni. Modelli tratti da economia e scienze sociali.
Modelli continui e ottimizzazione. Fenomeni rappresentabili come funzioni di parametri. Massimi e minimi vincolati. Modelli tratti dall'economia e dallo sport.
Modelli dinamici a tempo continuo. Fenomeni che si modellano tramite equazioni differenziali ordinarie e con ritardo. Sistema Lotka-Volterra esteso, teorema di Lyapunov. Qualche fenomeno rappresentabile mediante equazioni alle derivate parziali: ingorghi in autostrada, diffusione di inquinanti.

Testi di riferimento principali.

Il principale riferimento sono i le mie note: Note delle lezioni.
Il libri da cui è tratto principalmente il materiale sono:

A. Ambrosetti, I. Musu. Matematica generale e applicazioni all'economia. Liguori Ed., 1988.
V. K. Balakrishnan. Introductory discrete mathematics. Dover publ. New York, 1996.
M. G. Bartolini Bussi, M. Maschietto. Macchine Matematiche: dalla storia alla scuola. Springer 2006, Milano, Italia.
E. A. Bender. An introduction to mathematical modeling. Dover Publ., New York, 1978.
Gian Italo Bischi, Rosa Carini, Laura Giardini, Paolo Tenti. Sulle orme del caos. Bruno Mondadori. Pavia, 2004.
Gary Chartrand. Introductory Graph theory. Dover Publ., New York, 1985.
H. M. Cundy, A. P. Rollett. Mathematical Models 3rd edition. Tarquin Publications 1981, Ipswich, Gran Bretagna.
S. Goldberg. Introduction to difference equations. Dover Publ., New York, 1986.
L. I. Golovina, I. M. Yaglom. L'induzione in Geometria. Progresso Tecnico Editoriale, Milano 1966.
Mario Martelli. Introduction to discrete dynamical systems and chaos. Wiley interscience, New York, 1999.
T. S. Michael. How to guard an art gallery. Johns Hopkins Univ. Press, Baltimore 2009.
F. Mugelli, M. Spadini. Metodi Matematici. Progetto Leonardo, ed. Esculapio, Bologna (2013).
S. Sternberg. Dynamical systems. Dover Publ., New York, 2010.
Peter Tannenbaum. Excursion in modern mathematics 8th edition, Pearson Education Limited, Edinburgh Gate, 2014.