Classe di Ingegneria dell'Informazione Corso di laurea in Ingegneria Informatica. Anno 2011-2012

Metodi Matematici e Probabilistici (9 CFU)

• Periodo: 19 settembre 2011 - 21 dicembre 2011
• Tenuto da: prof. Giuseppe Modica giuseppe.modica@unifi.it

Libri di testo e di consultazione

• [GM] M. Giaquinta, G. Modica, Note di Metodi Matematici per Ingegneria Informatica, Edizione 2007, Pitagora editrice, Bologna, 2007.

• Uno script ingenuo per visualizzare una trasformazione $f:C\to C$, grid2py

• [MP] G. Modica, L. Poggiolini, Note di Calcolo delle Probabilita', 2011, Pitagora editrice, Bologna, 2011.

Lezioni svolte

• 19-09-11 --- 1 ora -
  • Introduzione al corso.

• 21-09-11 --- 2 ore -
  • Richiami di algebra lineare. R^n. Sottospazi. Basi. Prodotto righe per colonne di matrici. Applicazioni lineari. Formula del rango. Rango della trasposta (c.d.)
  • Determinante - Formule di Laplace e Binet. Matrice dei cofattori e determinante dell'inversa. Determinante della trasposta.
  • Vedi [GM] Cap. 1, 2, 3.

• 22-09-11 --- 2 ore -
  • Spazi vettoriali astratti. Dimensione. Operatori lineari.
  • Spazi vettoriali in dimensione finita. Rango. Nucleo. Rappresenzatione in una data base.
  • Cambiamenti di base. Matrici simili. Determinante di un operatore lineare.
  • Vedi [GM] Cap. 1, 2, 3.

• 23-09-11 --- 2 ore -
  • Autovalori e autovettori. Autospazi. Autovettori relativi ad autovalori distinti sono indipendenti. Polinomio caratteristico.
  • Matrici diagonalizzabili. Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore (c.d.)
  • Matrici simili a matrici triangolari. (c.d.). Teorema di Cayley-Hamilton (c.d.).
  • Vedi [GM] Cap. 5.

• 26-09-11 --- 1 ora -
  • Matrici simili a matrici a blocchi e autospazi invarianti. Autovettori generalizzati e decomposizione a blocchi.
  • Decomposizione di Jordan.
  • Vedi [GM] Cap. 5.

• 28-09-11 --- 2 ore -
  • Prodotti scalari e spazi euclidei. Prodotti scalari in coordinate. Matrice di Gram. Formule di Carnot e Pitagora. Diseguaglianza di Schwarz. Vettori ortonormali. Proiezione ortogonale su un sottospazio.
  • Prodotti scalari in coordinate. Matrice di Gram.
  • Teorema di Riesz. Operatore aggiunto.
  • Vedi [GM] Cap. 5

• 29-09-11 --- 2 ore -
  • Operatore aggiunto. Teorema dell'alternativa.
  • Metodo dei minimi quadrati. Retta di regressione lineare. Inversa di Moore--Penrose.
  • Teorema spettrale.
  • Vedi [GM] Cap. 6.

• 30-09-11 --- 2 ore -
  • Teorema spettrale. Varie forme del teorema spettrale.
  • Caratterizzazione variazionale del massimo e del minimo autovalore.
  • Vedi [GM] Cap. 6, 7.

• 03-10-11 --- 1 ora -
  • Funzioni di un operatore autoaggiunto. Potenze. Radice quadrata di un operatore autoaggiunto semidefinito positivo e sua caratterizzazione.
  • Valori singolari per un operatore lineare.
  • Vedi [GM] Cap. 6, 7.

• 05-10-11 --- 2 ore -
  • Formula di decomposizione polare. Decomposizione SVD.
  • Applicazioni.
  • Piccole oscillazioni attorno all'equilibrio.
  • Vedi [GM] Cap. 7.

• 06-10-11 --- 2 ore -
  • Potenze di una matrice. Numeri di Fibonacci.
  • Vedi [GM] Cap. 5 e Cap. 20.

• 07-10-11 --- 2 ore -
  • Il calcolo approssimato della inversa di Moore--Penrose: approssimazione di Tychonov.
  • Vedi [GM] Cap. 7.

• 10-10-11 --- 1 ora -
  • Introduzione al calcolo delle probabilita'. Eventi. Algebre e $\s$-algebre di eventi.
  • Vedi [MP] Cap 5.

• 12-10-11 --- 2 ore -
  • Probabilita' classica. Coefficienti binomiali. Formule di inversione. Permutazioni, Permutazioni senza punti fissi. Conteggio di sottoinsiemi. Parole. Funzioni. Funzioni iniettive. Funzioni crescenti.
  • Vedi [MP] Cap. 2 e 3.

• 13-10-11 --- 2 ore -
  • Funzioni surgettive.
  • Eserizi in probabilita' elementare: probabilita' nel lotto, Esercizi vari.
  • vedi [MP] Cap. 3, 4 e 5.

• 14-10-11 --- 2 ore -
  • Eventi, Misure di probabilita', spazio probabilizzato. Continuita' della misura. Distribuzioni finite e vettore densita' di massa. L'integrale di Lebesgue per funzioni semplici.
  • Metodo I per la costruzione di misure.
  • Additivita' dell'integrale per funzioni semplici.
  • vedi [MP] Cap. 6 e Appendice B.

• 17-11 --- 1 ora -
  • Processo di Bernoulli finito. Spazio probabilizzato relativo.
  • vedi [MP] Cap. 7

• 19-10-11 --- 2 ore -
  • Processo di Bernoulli illimitato.
  • Spazio probabilizzato relativo al processo di Bernoulli illimitato.
  • Formula di inclusione-esclusione.
  • vedi [MP] Cap 7 e 8

• 20-10-11 --- 2 ore -
  • Probabilita' condizionata. Formula di Bayes. Esercizi vari.
  • vedi [MP] Cap 8.

• 21-10-11 --- 2 ore -
  • L'integrale rispetto ad una misura. Funzioni misurabili. Approssimazione per quantizzazione con funzioni semplici. Definizione di integrale. Teorema di Beppo Levi. Formula di Cavalieri. Insiemi di misura nulla e integrale. Diseguaglianze di Markov e Chebyshev.
  • vedi [MP] Appendice B.

• 24-10-11 --- 1 ora -
  • Definizione di variabile aleatoria. Distribuzione, legge e integrale o valore atteso di una variabile aleatoria.
  • Variabili aleatorie a distribuzione discreta e a distribuzione assolutamente continua. Tempo di attesa al semaforo. Formula esplicita dell'integrale per queste distribuzioni. -vedi [MP] Cap. 9.

• 26-10-11 --- 2 ore -
  • Legame tra la probabilita' nel dominio e la distribuzione di una variabile aleatoria in termini di integrali.
  • Composizione di v.a. Formule sulle distribuzioni, leggi e integrali relativi.
  • Variabili aleatorie vettoriali. Distribuzione congiunta. Legge congiunta. Formula di composizione per variabili vettoriali. Distribuzione della somma e, piu' in generale, del risultato di operazioni binarie su due variabili aleatorie.
  • vedi [MP] Cap. 13.

• 27-10-11 --- 2 ore -
  • Indipendenza di eventi. Serie e parallelo.
  • Variabili aleatorie indipendenti. Variabili indipendenti e loro distribuzione congiunta.
  • Valore atteso del prodotto di due varaibili aleatorie indipendenti.
  • Distribuzione della somma di due variabili aleatorie indipendenti. Formule di convoluzione per la densita' nei casi di distribuzioni discrete o assolutamente continue.
  • vedi [MP] Cap. 14.

• 28-10-11 --- 2 ore -
  • Covarianza. Coefficiente di correlazione. Additivita' della varianza per variabili scorrelate. Le variabili a due a due indipendenti sono scorrelate.
  • Distribuzioni atomiche di interesse: prova di Bernoulli, distribuzione binomiale, distribuzione geometrica e assenza di memoria.
  • vedi [MP] Cap. 11 e 13.

• 02-11-11 --- 2 ore -
  • Distribuzioni assolutamente continue di interesse: distribuzione uniforme, distribuzione normale, distribuzione esponenziale e assenza di memoria.
  • vedi [MP] Cap. 12.

• 03-11-11 --- 2 ore -
  • Distribuzioni Gamma, di Erlang e chi-quadrato. Funzione rischio.
  • Riepilogo sulla struttura della teoria.
  • vedi [MP] Cap. 6, 9 e 12.

• 04-11-11 --- 2 ore -
  • Legge debole dei grandi numeri.
  • Lemma di Borel-Cantelli e enunciato inverso per variabili indipendenti.
  • Criterio per la convergenza quasi-certa.
  • Legge forte dei grandi numeri (cenno).
  • vedi [MP] Cap. 15.

• 07-11-11 --- 1 ora - Non tenuta

• 09-11-11 --- 2 ore -
  • Esistenza di una successione di variabili indipendenti identicamente distribuite.
  • Applicazioni: metodo Monte Carlo. Funzione di ripartizione empirica. Entropia.
  • vedi [MP] cap. 16.

• 10-11-11 --- 2 ore -
  • Esercizi e riepilogo.

• 11-11-11 --- 2 ore -
  • Teorema del limite centrale.
  • Vettori e matrici stocastiche. Stati comunicanti. Classi assorbenti minimali. Stati transienti e stati ricorrenti.
  • vedi [MP] cap. 15, 17.

• 14-11-11 --- 1 ora -
  • Forma canonica di una matrice stocastica. - Autovalori di matrici stocastiche. Cerchi di Gershgorin.
  • vedi [MP] cap.
  • vedi [MP] cap. 17, 18.

• 16-11-11 --- 2 ore -
  • Processi stocastici a tempo discreto. Matrice di transizione. Proprieta' di Markov e conseguenze per le distribuzioni congiunte e le probabilta' di visita.
  • Esempi.
  • vedi [MP] cap. 18.

• 17-11-11 --- 2 ore -
  • Esempi di catene di Markov.
  • Autovalori di matrici stocastiche. Punti fissi. Teorema di Perron-Frobenius.
  • Pozzi e punti fissi.
  • vedi [MP] cap. 17.

• 18-11-11 --- 2 ore -
  • Teorema di punto fisso di Banach. Risoluzione iterata di equazioni.
  • Matrici stocastiche regolari e convergenza all'equilibrio.
  • vedi [GM] cap. 22 e [MP] cap. 17.

• 21-11-11 --- 1 ora -
  • Simulazione ed esistenza di catene di Markov con matrice di transizione assegnata.

• 23-11-11 --- 2 ore -
  • Serie in spazi di Banach. Convergenza assoluta e convergenza.
  • Serie di potenze. Raggio di convergenza. Massimo e minimio limite.
  • Proprieta' del raggio di convergenza. Esempi.
  • Esempi. Proprieta' del raggio di convergenza. Esempi.
  • vedi [GM] cap. 11.

• 24-11-11 --- 2 ore -
  • Calcolo di alcuni parametri tipici di catene di Markov a tempo discreto: probabilita' di ritorno in uno stato. Probabilita' di piu' visite in uno stato. Numero medio di visite in uno stato. Tempo medio di ritorno.
  • Matrici stocastiche aperiodiche e teorema dei rinnovi.
  • vedi [MP] cap. 19.

• 25-11-11 --- 2 ore -
  • Convergenza uniforme sui compatti di una serire di potenze. Continuita' della somma.
  • Integrale di linea di una funzione continua a valori complessi. Integrazione termine a termine.
  • Funzioni olomorfe. Definizione. Prime proprieta'.
  • Differenziabilita' reale e equazioni di Cauchy--Riemann.
  • Varie forme delle equazioni di Cauchy--Riemann.
  • Esponenziale complesso.
  • vedi [GM] cap. 11, 8, 9.

• 28-11-11 --- 1 ora -
  • Teorema di differenziabilita' termine a termine per le serie di potenze.
  • Teorema di Goursat (s.d.)
  • Sviluppabilita' in serie delle funzioni olomorfe.
  • Equivalenza fra olomorfia e sviluppabilita' in serie. Stime di Cauchy.
  • vedi [GM] cap. 12.

• 30-11-11 --- 2 ore -
  • Teorema di Liouville e teorema fondamentale della'gebra. Zeri di funzioni olomorfe e principio di identita'.
  • Numeri di Fibonacci.
  • Residui. Sviluppo in serie di Laurent attorno ad una singolarita'. Teorema dei residui.
  • vedi [GM] cap. 15, 17e,f,g.

• 01-12-11 --- 2 ore -
  • Calcolo di integrali con il metodo dei residui.
  • vedi [GM] cap. 18.

• 02-12-11 --- 2 ore - Non tenuta.
  • Calcolo della somma di serie con il metodo dei residui.
  • Il calcolo della somma della serie $\sum 1/n^2$.
  • vedi [GM] cap. 18.

• 05-12-11 ---- 1 ora
  • Sistemi di ODE. Probelma di Cauchy. Lemma di Gronwall. Esponenziale di una matrice e formule relative. Esistenza e unicita' per il problema di Cauchy.
  • vedi [MP] appendice D.

• 07-12-11 --- 2 ore -
  • Il calcolo dell'esponenziale. Casi particolari. Calcolo con la formula di Jordan. Calcolo con il metodo di Putzer.
  • Sistema fondamentale di soluzioni. Properira' di semigruppo. I semigruppi continui sono l'esponenziale di una matrice.
  • vedi [MP] appendice D.

• 12-12-11 --- 1 ora -
  • Catene di Markov a tempo continuo. Matrice di transizione. Equazioni di Chapmann-Kolmogorov. Generatore infinitesimale.
  • vedi [MP] cap. 22.

• 14-12-11 --- 2 ore -
  • Metodo di uniformizzazione per il calcolo dell'esponenziale di una matrice.
  • Convergenza all'equilibrio nel caso irriducibile.
  • vedi [MP] cap. 22.

• 15-12-11 --- 2 ore - Tenuta dal prof. E. Vicario
  • Modellizzazione statistica di un sistema producer-consumer.

Riepilogo

Lezioni: 81h Seminari: 2h