Classe di Ingegneria dell'Informazione Corso di laurea in Ingegneria Informatica. Anno 2009-2010

Metodi Matematici e Probabilistici (9 CFU)

Periodo: 15 settembre 2009 - 18 dicembre 2009
Tenuto da: prof. Giuseppe Modica modica@dma.unifi.it

Libri di testo e di consultazione

M. Giaquinta, G. Modica, Note di Metodi Matematici per Ingegneria Informatica, Edizione 2007, Pitagora editrice, Bologna, 2007.
G. Modica, Note di calcolo combinatorio, 2009.
Uno script ingenuo per visualizzare una trasformazione $f:C\to C$, grid2py
L. Daboni, Calcolo delle probabilita' ed elementi di statistica, UTET, 1992.
G. Modica, Alcune brevi note su misure e integrazione. In corso di stesura.
E. Behrends, Introduction to Markov Chains, Vieweg, Braunschweig, Wiesbaden, 2000.
E.Marinari, G. Parisi, Trattatello di probabilita', Roma, 2002 http://server1.phys.uniroma1.it/DOCS/DISPENSE/dispense/marinari-parisi--trattatello.pdf

Lezioni svolte

21-09-09 --- 2 ore -
- Introduzione al corso. Un esempio di equazione alle differenze.
- Richiami di algebra lineare. R^n. Sottospazi. Basi. Prodotto righe per colonne di matrici. Applicazioni lineari. Formula del rango. Rango della trasposta (c.d.)
- Vedi Cap. 1, 2, 3.
22-09-09 --- 2 ore -
- Determinante - Formule di Laplace e Binet. Matrice dei cofattori e determinante dell'inversa. Determinante della trasposta. Spazi vettoriali astratti. Operatori lineari, Cambiamenti di base.
- Vedi Cap. 1, 2, 3.
23-09-09 --- 2 ore -
- Autovalori e autovettori. Autospazi. Autovettori relativi ad autovalori distinti sono indipendenti. Matrici simili. Polinomio caratteristico. Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore.
- Vedi Cap. 5.
24-09-09 --- 2 ore -
- Matrici diagonalizzabili.
- Matrici simili a matrici triangolari. Matrici simili a matrici a blocchi e autospazi invarianti. Autovettori generalizzati. Decomposizione a blocchi sui complessi (s.d.).
- Vedi Cap. 5.
28-09-09 --- 2 ore -
- Esercitazione sulla decomposizione di Schur.
- Vedi Cap. 5.
29-09-09 --- 2 ore -
- Matrici simili a matrici a blocchi e autospazi invarianti. Autovettori generalizzati e decomposizione a blocchi.
- Decomposizione in forma di Jordan (s.d.).
- Vedi Cap. 5.
30-09-09 --- 2 ore -
- Coefficienti binomiali. Formule di inversione. Permutazioni. Sottoinsiemi. Permutazioni senza punti fissi.
- Vedi note distribuite.
01-10-09 --- 2 ore -
- Esercitazione sulla decomposizione di Jordan.
- Vedi Cap. 5.
05-10-09 --- 2 ore -
- Operatori autoaggiunti. Proprieta' degli autovalori, degli autovettori e dei sottospazi invarianti.
- Teorema spettrale. Varie forme del teorema spettrale.
- Vedi cap. 6.
06-10-09 --- 2 ore -
- Forme quadratiche. Caratterizzazione variazionale del massimo e minimo autovalore. Caratterizzazione variazionale degli autovalori (s.d.). Funzioni di operatori autoaggiunti. Potenze. Radice quadrata di un operatore autoaggiunto semidefinito positivo e sua caratterizzazione.
- Vedi cap. 6, 7.
07-10-09 --- 2 ore -
- Conteggi di sottoinsiemi, multiinsiemi, liste, funzioni,funzioni iniettive, crescenti, nondecrescenti, surgettive.
- Collocazioni di oggetti distinti e indistinti in scatole distinte.
- Vedi note distribuite.
08-10-09 --- 2 ore -
- Assiomi della probabilita'. Spazi probabilizzati. Continuita'. Formula di disintegrazione. Probabilita' condizionata. Probabilita' composta. Formula di Bayes. Esempi vari.
- Vedi L. Daboni, cap. 1 e 2.
12-10-09 --- 2 ore -
- Proprieta' dell'operatore $A^*A$. Valori singolari e loro significato geometrico. Formula di decomposizione polare. Algoritmo SVD.
- Decomposizione SVD. Esempi.
- Vedi cap. 7.
13-10-09 --- 2 ore -
- Piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio.
- Sistemi lineari del primo ordine con matrice dei coefficienti con autovalori distinti.
- Approzzimazione dell'inversa di Moore--Penrose: regolarizzazione di Tychonov.
- Numeri di Fibonacci.
- Vedi cap. 7 e 20.
14-10-09 --- 2 ore -
- Formula di inclusione-esclusione. Il calcolo delle permutazioni senza punti fissi.
- Vedi note distrinuite.
15-10-09 --- 2 ore -
- La valenza. Nuova dimostrazione della formula di inclusione-esclusione.
- Esempi di spazi probabilizzati e eventi. Probabilita' uniforme. Processo di Bernoulli finito.
- vedi note distribuite e Daboni, cap. 3
19-10-09 --- 2 ore -
- Il teorema di punto fisso di Banach. Risoluzione iterata di sistemi. Sistemi di equazioni differenziali lineari. Esistenza e unicita' con il metodo del punto fisso. Approssimazioni di di Eulero.
- Vedi cap. 22 e 23.

20-10-09 --- 2 ore -
- Soluzione di sistemi a coefficienti costanti. Esponenziale di una matrice. Sistema fondamentale di soluzioni. Proprieta'. Formula di Duhamel.
- Il calcolo dell'esponenziale di una matrice utilizzando le trasformazioni di similitudine: il casi di matrici autoaggiunte, con autovalori distinti, a blocchi e a blocchi di Jordan. Teorema di stabilita'.
- Vedi cap. 22 e 23.

21-10-09 --- 2 ore -
- Calcolo della probabilit\'a di alcuni eventi del processo di Bernoulli finito.

22-10-09 --- 2 ore -
- Il processo di Bernoulli illimitato. Calcolo delle probabilita' di alcuni eventi del processo di Bernoulli illimitato.
- Lemma di Borel-Cantelli.
- Le nozioni di variabile aleatoria, distribuzione di valori, legge.
- Il valor atteso o speranza.
26-10-09 --- 2 ore -
- Funzioni olomorfe. Definizione. Prime proprieta'.
- Differenziabilita' reale e equazioni di Cauchy--Riemann.
- Varie forme delle equazioni di Cauchy--Riemann.
- Integrale di linea di una funzione continua a valori complessi.
- Il teorema fondamentale del calcolo in C.
- Vedi Cap. 7 e 8.
27-10-09 --- 2 ore -
- Linee chiuse in $\Omega$ e linee bordo di un aperto in $\Omega$. Esistenza di una primitiva olomorfa e integrali su linee chiuse.
- Domini elementari. Teorema di Goursat. Prime conseguenze.
- Formula di Cauchy.
- Vedi cap. 9 e 14.
28-10-09 --- 2 ore -
- Distribuzione di valori e valore atteso di una v.a.. Formula di composizione. Varianza di una v.a. Distribuzione congiunta. Covarianza. Variabili scorrelate. Formula di additivita' della varianza per variabili scorrelate. Indipendenza di eventi e di variabili aleatorie. Indipendenza e misura prodotto. Variabili indipendenti sono variabili scorrelate.
29-10-09 --- 2 ore -
- Esempi di funzioni aleatorie discrete. Densita' della somma di due variabili aleatorie discrete indipendenti. Distribuzione binomiale. Distribuzione di Poisson. somma di variabili aleatorie con distribuzioni di Poisson. Distribuzione geometrica. Assenza di memoria. - Distribuzioni assolutamente continue. Distribuzione uniforme. Distribuzione esponenziale. Assenza di memoria.
02-11-09 --- 2 ore -
- Serie di Potenze. Serie di Taylor. Esempi. Serie in spazi normati. Convergenza assoluta e convergenza in spazi di Banach. Derivazione e integrazione termine a termine di serie di potenze.
03-11-09 --- 2 ore - Non tenuta
04-11-09 --- 2 ore -
- Esempi vari. Prodotto di convoluzione. Teorema di Cauchy. Le funzioni $e^z$, $sin z$, $cos z$.
- Vedi Cap. 12.
05-11-09 --- 2 ore -
- Spazi di Banach. Convergenza assoluta e uniforme. Esempi. Continuita' del limite uniforme. Continuita' della somma di una serie di potenze.

09-11-09 --- 2 ore -
- Dimostrazione del teorema di derivazione e integrazione termine a termine per serie di potenze.
- Sviluppabilita' in serie delle funzioni olomorfe.
- Implicazioni varie.
- Vedi Cap. 13 e 14.

10-11-09 --- 2 ore -
- Indice di un cammino rispetto ad un punto.
- Teorema di Liouville e teorema fondamentale dell'algebra.
- Zeri di funzioni olomorfe e principi di identita'.
- Teorema di invertibilita' locale di una fuznione olomorfa.
- Vedi Cap. 15.

11-11-09 --- 2 ore -
- Il logaritmo complesso.
- Singolarita' puntuali di una funzione olomorfa. Singolarita' eliminabili e teorema di Riemann, poli e singolarita' essenziali.
- vedi Cap. 17.

12-11-09 --- 2 ore -
- Serie di Laurent e sviluppi in serie di Laurent e teorema relativo.
- Residuo in un punto e all'infinito. Teorema dei residui.
- Un primo esempio di calcolo di integrale indefinito con il teorema dei residui.
- vedi Cap. 17 e 18.

16-11-09 --- 2 ore -
- Il calcolo di alcuni integrali con il metodo dei residui. Integrali impropri. Integrali di tipo Fourier, $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\, dx$.
- vedi cap. 17 e 18.

17-11-09 --- 2 ore -
- Calcolo di integrali impropri e di serie con il metodo dei residui.
- vedi cap. 18.
18-11-09 --- 2 ore -
- la Z-trasformata. Formule varie.
- Esempi di applicazioni alla risoluzione di equazioni e sistemi alle differenze.
- vedi cap. 21.
19-11-09 --- 2 ore -
- Somme finite di segnali periodici. Polinomi trigonometrici. In forma di somme di seni e coseni, in forma complessa. Prodotto hermitiano fra polinomi. Formula di inversione e uguaglianza dell'energia.
- vedi cap. 23 e 24.
23-11-09 --- 2 ore -
- Campionamento di un polinomio trigonometrico. La funzione di Dirichlet. Le trasformate discreta e discreta inversa di Fourier.
- Coefficienti di Fourier e spettro. Somma parziale di Fourier.
- Cenni sulla convergenza delle serie di Fourier. Teoremi di Dirichlet-Jordan e di convergenza in media quadratica (s.d.)
- vedi cap. 24, 25, 26.

24-11-09 --- 2 ore -
- Variabili aleatorie indipendenti. Legge esponenziale. Proprieta' di assenza di memoria. Il minimo di due v.a. con legge esponenziale ha legge esponenziale. Convergenza alla media.
25-11-09 --- 2 ore -
- Legge debole dei grandi numeri. Legge forte. Teorema di Borel-Cantelli per variabili indipendenti. La legge normale. La somma di v.a. con legge normale e' una v.a. con legge normale.
26-11-09 --- 2 ore -
- Legge forte. Grandi deviazioni (cenno). Teorema del limite centrale. Catene di Markov. Matrice di transizione. Probabilita' transienti o di visita. Esempi di catene di Markov: passeggiate aleatorie assorbenti, cicliche, con riflessione.
30-11-09 --- 2 ore - tenuta dal prof. E. Vicario
- Modellizzazione e analisi statistica di un modello producers-buffer-consumers.
01-12-09 --- 2 ore -
- Catene di Markov finite a tempo discreto. Classificazione degli stati: insiemi chiusi, insiemi chiusi minimali, stati comunicanti, stati ricorrenti, stati transienti. Ogni classe di elementi comunicanti e' fatta da stati tutti ricorrenti.
02-12-09 --- 2 ore -
- Stati transienti.
- Periodi. Catene irriducibili e aperiodiche. Teorema dei rinnovi (s.d.) Catene regolari. Le catene irriducibili e aperiodiche sono regolari (s.d.).
03-12-09 --- 2 ore -
- Catene regolari. Convergenza delle probabilita' di visita con il metodo delle contrazioni all'autovettore della matrice di transizione.
- L'inverso della componente $j$-esima dell'autovalore e' il tempo medio di ritorno in $j$. Teorema del valore finale per le serie di potenze.
07-12-09 --- 2 ore -
- Non tenuta.

Riepilogo

Lezioni: 84 ore.

Seminario tenuto dal prof. E. Vicario: 2 ore.