Classe di Ingegneria dell'Informazione Corso di laurea in Ingegneria Informatica. Anno 2008-2009

Corso di Analisi Matematica, 12 CFU

• Corso in coaffidamento.
  • Parte A Periodo: 15 settembre 2008 - 19 dicembre 2008, tenuta dal prof. Pierluigi Benevieri
  • Parte B Periodo: 23 febbraio 2009 - 5 giugno 2009, tenuta dal prof. Giuseppe Modica

Parte B

Libri di testo

• M. Giaquinta, G. Modica, Note di Analisi Matematica: Funzioni di una variabile, Pitagora Editrice, Bologna, 2005.

• M. Giaquinta, G. Modica, Note di Analisi Matematica: Funzioni di piu' variabili, Pitagora Editrice, Bologna, 2006.

• Cormen et. al., Introduction to Algorithms 2nd Edition., Appendici A e C

• Una breve introduzione ai numeri complessi

Lezioni svolte

• 23-02-09 - 2 ore -
  • Successioni. Limiti di funzioni e limiti di successione. Proprieta' dei limiti di successione e dei limiti di funzione.
  • Esercizi
  • Vedi Cap. 1.

• 24-02-09 --- 2 ore --
  • Successioni di Cauchy in R. Massimo e minimo limite. Teorema di Bolzano--Weierstrass.
  • Lemma di Cesaro. Limite del rapporto e limite della radice n-esima. Stime sul fattoriale e la sua radice n-esima. Formula di Stirling (s.d.)
  • Esercizi sui limiti di successione.
  • Vedi Cap 4.h, Cap~1.

• 26-02-09 --- 2 ore --
  • Successione delle somme parziali: Somma dei primi n numeri. Somma dei quadrati dei primi n numeri. Somme parziali delle serie geometricha e aritmetico-geometrica. Somme parziali e integrali. Criterio del confronto. Esercizi.
  • Somma di una serie. Condizione necessaria per la convergenza. Serie geometrica e aritmetico-geometrica. Criterio del confronto. Serie e integrale improprio. Criterio della radice. Esercizi
  • Vedi Cap. 2.

• 02-03-09 --- 2 ore --
  • Serie a termini nonnegativi. Esercizi vari.
  • Serie a termini di segno vario. Convergenza assoluta.
  • Serie a termini di segno alterno. Esempi.
  • Vedi Cap. 3.

• 03-03-09 --- 2 ore --
  • Esercizi sulla convergenza di serie.

• 05-03-09 --- 2 ore --
  • Spazi metrici. Esempi di spazi metrici: diseguaglianza di Cauchy--Schwarz, $R^n$ e' uno spazio metrico. I sottoinsiemi di spazi metrici sono spazi metrici. Distanza fra codici.
  • Successioni convergenti. Proprieta' dei limiti di successione. Sottosuccessioni. Successioni di Cauchy. Le succesioni di Cauchy sono limitate e convergenti.
  • Spazi metrici completi. $R^n$ e' uno spazio metrico completo.
  • Vedi Cap. 4.

• 09-03-09 --- 2 ore --
  • Punti limiti, chiusura, frontiera, parte interna, punti di accumulazione e punti isolati di un sottoinsieme di uno spazio metrico. Sottoinsiemi aperti e chiusi di uno spazio metrico.
  • Vedi Cap. 4.

• 10-03-09 --- 2 ore -- Tenuta dalla dott.ssa Lascialfari
  • Funzioni continue fra spazi metrici. Limiti di funzioni fra spazi metrici. Relazioni e proprieta' elementari: cambiamenti di variabili, continuita' del prodotto di composizione, teorema di collegamento, restrizioni.
  • Esercizi sul calcolo di limiti di funzioni di piu' variabili.
  • Vedi Cap. 5.

• 12-03-09 --- 2 ore --
  • Esercizi sul calcolo di limiti di funzioni di piu' variabili.
  • Funzioni Lipschitziane. Applicazioni lineari tra spazi $R^n$. Norma o coefficiente di massima dilatazione di una applicazione lineare.
  • Distanza da un punto e da un sottoinsieme.
  • Chiusura in termini di distanza.
  • Linee di livello, sopralivelli e sottolivelli di una funzione continua.
  • Continuita' in termini di aperti e chiusi.
  • Vedi Cap. 5.

• 16-03-09 --- 2 ore --
  • Connessione per archi. Connessione per archi e continuit\`a. Componenti connesse
  • Omeomorfismi. R e S^1 non sono omeomorfi. Gli intervalli aperti e quelli chiusi non sono omeomorfi.
  • Completezza di $R^n$.
  • Compattezza per successioni. Compattezza per successioni e funzioni continue. Teorema di Weierstrass. In $R^n$ gli insiemi compatti sono tutti e soli gli insiemi chiusi e limitati.
  • Vedi Cap. 6.

• 17-03-09 --- 1 ora --
  • Continuita' dell'inversa di una funzione continua definita su un compatto. Continuit\`a uniforme e teorema di Heine--Cantor.
  • Vedi Cap. 6.

• 17-03-09 --- 1 ora -- Tenuta dalla dott.ssa Lascialfari
  • Esercizi: determinazione dell'immagine di funzioni continue $f:A\sb\R^2\to R$. Compattezza e applicazioni.

• 19-03-09 --- 2 ore --
  • Curve (continue). Esempi. Il calcolo sulle curve (derivate, integrale, teoerma fondamentale del calcolo, formula di Taylor)
  • Molteplicit\`a dell'immagine e traiettoria. Curve equivalenti. Curve semplici con la stessa traiettoria sono equivalenti.
  • Vedi Cap. 7.

• 23-03-09 --- 2 ore --
  • Lunghezza di una curva. Curve rettificabili e non. Formula per il calcolo della lunghezza per curve di classe $C^1$.
  • Richiami di algebra lineare. Dipendenza e indipendenza lineare. Sottospazi di $R^n$. Applicazioni lineari. Nucleo, immagine, formula del rango. Matrice associata ad una applicazione lineare: le colonne della matrice generano l'immagine. Rango di una matrice e della sua trasposta (s.d.). Esistenza di una sottomatrice quadrata non singolare avente dimensione uguale al rango di $A$ (s.d.)
  • Rappresentazione di un sottospazio di $R^n$ in forma implicita e parametrica.
  • Vedi Cap. 7, 8.

• 24-03-09 --- 1 ora --
  • Il determinante. La matrice dei cofattori e le formule di Laplace in notazione matriciale.
  • Vedi Cap. 8.

• 24-03-09 --- 1 ora -- Tenuta dalla dott.ssa Lascialfari
  • Parametrizzazioni di curve. Lunghezza di una curva.

• 26-03-09 --- 2 ore --
  • Richiami di algebra lineare: prodotti scalari. Sistemi ortonormali. Teorema di Pitagora. Procedura di Gram--Schmidt. Matrice trasposta e prodotti scalari. Le righe di una matrice associata ad una applicazione lineare mediante una base ortonormale generano lo spazio ortogonale al nucleo della applicazione lineare..
  • Funzioni a valori reali di piu' variabili: derivata direzionale, derivate parziali, differenziale, gradiente. Significato geometrico del gradiente.
  • Vedi Cap. 9, 10.

• 30-03-09 --- 2 ore --
  • Spazio e piano tangente al grafico di funzioni differenziabili in forma parametrica e implicita. Spazio normale al grafico di funzioni differenziabili.
  • Funzioni a valori vettoriali di piu' variabili: derivata direzionale, derivate parziali, differenziale, matrice jacobiana. Spazio tangente e spazio normale al grafico.
  • Regole di calcolo elementari: somma, prodotto, quoziente.
  • Vedi Cap. 10, 11.

• 31-03-09 --- 2 ore --
  • Il differenziale di funzioni composte e la regola della catena.
  • Vedi Cap. 10.

• 31-03-09 --- 1 ora -- Tenuta dalla dott.ssa Lascialfari
  • Esercizi sul calcolo di differenziali e spazi tangenti al grafico di funzioni.

• 02-04-09 --- 2 ore --
  • Esercitazione in classe

• 06-04-09 --- 2 ore -
  • Teorema del differenziale totale (s.d.). Funzioni id classe $C^1$
  • Teorema di Schwarz (s.d.). Funzioni di classe $C^2$. Funzioni di classe $C^k$
  • Teorema della media integrale.
  • Funzioni di classe C^1 e funzioni Lipschitziane.
  • Vedi Cap. 12.

• 07-04-09 --- 2 ore -
  • Teorema di invertibilit\`a locale (s.d.).
  • Esempi di mappe: coordinate polari, cilindriche, sferiche, toriche.
  • Numero complessi. Rappresentazione polare. Formule di De Moivre. Potenza intera di un numero complesso. Funzione esponenziale complessa. Determinazione principale del logaritmo complesso.
  • Vedi Cap. 13.

• 09-04-09 --- 2 ore -
  • Determinazione principale del logaritmo complesso.
  • Radici $n$-esime di un numero complesso.
  • Formula di Taylor del secondo ordine per funzioni di piu' variabili. Derivazione della formula integrale. Formula con resto di Peano (s.d.).
  • Vedi Cap. 13.

• 14-04-09 --- Non tenuta

• 16-04-09 --- 2 ore -
  • Condizioni necessarie e condizioni sufficienti perche' un punto sia di massimo o minimo locale.
  • Introduzione alle superfici. La nozione di diffeomorfismo.
  • Proprieta' dei diffeomorfismi. Piamo tangente all'immagine di un diffeomorfismo. Invarianza rispetto alla parametrizzazione. Le funzioni con matrice jacobiana di rango massimo sono localmente diffeomorfismi e grafici di funzioni $C^1$.
  • Vedi Cap. 13, 14.

• 20-04-09 --- 2 ore.
  • Superfici immerse e varieta' differenziabili.
  • Funzioni implicite. Esempi. Teorema delle funzioni implicite.
  • Vedi Cap. 14, 15.

• 21-04-09 --- 2 ore - tenuta dalla dott.ssa Lascialfari
  • Determinazione di massimi e minimi relativi liberi.
  • Un esempio di funzione definita implicitamente preso dalla termodinamica.

• 23-04-09 --- 2 ore --
  • Applicazioni del teorema delle funzioni implicite: Sistemi di secondo grado. Il lemma di Morse (s.d.)
  • Massimi e minimi vincolati su un vincolo bilaterale liscio. Definizione. Condizione necessaria affinche' un punto dia di massimo o minimo vincolato. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange per vincoli definiti implicitamente come linea di livello di una funzione con matrice jacobiana di rango massimo.
  • Vedi Cap. 16.

• 27-04-09 --- 2 ore
  • Introduzione alla teoria dell'integrazione. Misura esterna di Lebesgue. Definizione di integrale. Teoremi principali e Teorema di Fubini (s.d.). Formula di cambiamento di variabili.
  • Vedi Cap. 17, 18.a, 1118.b

• 28-04-09 --- 2 ore
  • Esercizi di calcolo di integrali doppi e tripli mediante integrali iterati: insiemi normali, solidi di rotazione. Formula di Guldino. Baricentri. Momenti di inerzia.
  • Vedi Cap. 20.

• 30-04-09 --- 2 ore
  • Volume della pallna n-dimensionale. Funzione Gamma di Eulero.
  • Vedi Cap. 21.a, 21.b, 21.c.

• 04-05-09 --- 2 ore -
  • Sulla definizione di area di una superficie: esempio di Schwarz.
  • Misure di Hausdorf e loro proriet\`a. Formula dell'area. Conseguenze e prime applicazioni della formula dell'area.

• 05-05-09 --- 2 ore -
  • Calcolo dell'area di una superfice parametrizzata: il caso dei grafici e delle superfici di rotazione. Esempi vari.

• 07-05-09 --- 2 ore -
  • L'integrale di Lebesgue. sdefinizioni e risultati fondamentali. Insiemi di misura zero. Proprieta' vere quasiovunque. Disuguagliana di Tchebichev. Teorema di Fubini (s.d.). Formula di coarea (s.d.).

• 11-05-09 --- 2 ore -
  • Conseguenze e applicazioni della formula di coarea: Integrazione in coordinate polari; calcolo dell'area di una superfice definita implicitamente; calcolo del volume della palla unitaria $n$-dimensionale.

• 12-05-09 --- 1 ora -
  • Campi potenziali e campi conservativi. Il teorema fondamentale del calcolo in $R^n$.

• 12-05-09 --- 1 ora - tenuta dalla dott.ssa Lascialfari

• 14-05-09 --- 2 ore -
  • Campi conservativi e esistenza di un potenziale. Esempi.
  • Campi irrotazionnnali e forme chiuse. Esempi. Lemma di Poincare'.
  • Curve omotope a estremi fissi.

• 17-05-09 --- 2 ore -
  • Forme chiuse. Invarianza del lavoro di una forma chiusa su curve omotope.
  • Insiemi semplicemente connessi.

• 18-05-09 --- 2 ore -
  • Significato 'geometrico' della divergenza: teorema della divergenza e equazioni di Laplace e del calore.

• 19-05-09 --- 2 ore -
  • Il teorema di Stokes nel piano e applicazioni al calcolo del lavoro e delle aree.

• 21-05-09 --- 2 ore -
  • Divergenza e variazione di volume.

• 25-05-09 --- 2 ore -
  • Il teorema di Stokes per le superfici due dimensionali in $R^3$. Significato 'geometrico' del rotore.

• 26-05-09 --- 2 ore - tenuta dalla dott.sssa Lascialfari
  • Calcolo di integrali di volume e superficie.

• 28-05-09 --- 2 ore - Non tenuta

• 02-05-09 --- 2 ore - Non tenuta

• 04-05-09 --- 2 ore -
  • Numeri complessi.

Riepilogo

• Lezioni e esercitazioni tenute dal titolare: 72h
• Esercitazioni tenute dalla dott.ssa Lascialfari: 8h
• Prove di verifica: 2h