Registro

Orario e luogo delle lezioni

Mercoledì aula 115 ore 14:00-16:30, S. Marta.

Ricevimento


Presso il Dipartimento di Matematica Applicata "G. Sansone" (Via S.Marta 3, Firenze), stanza  306

E' consigliabile annunciarsi durante la lezione, per telefono, o per email se non possibile altrimenti.



Dispense, esercizi ed appunti vari

Potete prendere familiarità con gli esercizi attraverso quelli preparati dal Professor Frosali (p. 127) e dal Professor Canarutto. Anche se mancano quelli su base e rulletta possono risultare utili. E' probabile che un esercizio d'esame sia su un problema lagrangiano in cui occorre risolvere qualche preliminare problema di geometria delle masse per poter scrivere l'energia cinetica. Analogamente può essere necessario determinare un centro istantaneo di rotazione per calcolare l'energia cinetica. Altri problemi possono essere di statica o ancora lagrangiani in cui si chiede se un certo carico di rottura è superato o un certo vincolo di attrito possa essere violato (in questo caso risolvere il problema lagrangiano, dal moto risalire alle forze e verificare se la condizione sulle forze e' soddisfatta).

I testi degli esami di due anni fa. Ci possono essere significativi cambiamenti nella struttura dell'esame.

Testi consigliati

Ci sono ottimi libri di fisica I su cui ripassare e fare esercizi, alcuni sono 

Rosati, Fisica I, Casa Editrice ambrosiana 1994

oppure 

Sivuchin, Corso di Fisica Generale vol. I, Edizioni MIR, Mosca, 1986

(bellissimo libro ma fuori stampa, se trovate una copia siete fortunati), o a livello ancora più elementare (utile per cominciare ma insufficiente per una preparazione universitaria)  

Halliday, Resnik e Walker, Fondamenti di Fisica, Meccanica e termologia, Casa Editrice ambrosiana 2006

Lo studio del corpo rigido segue le linee delle dispense di Frosali e un riferimento classico è 

Goldstein Meccanica Classica Zanichelli 1991. 

Le dispense di Frosali si ispirano al testo

A. Fasano, V. de Rienzo e A. Messina, Corso di Meccanica Razionale Laterza 1989

veramente ottimo specie per la parte su  rigata fissa e rigata mobile e poligono funiculare.

Segue il programma dello scorso anno. Ovviamente dovete riferirvi a quello di Frosali, comunque questo non si discosta molto e può essere un utile riferimento. 

Programma 

INTRODUZIONE.
(La conoscenza dell'algebra lineare è data per scontata, vedere il corso di geometria.)  Ragionamenti di  scala. Analisi  dimensionale. Teorema di  Buckingham.  

TEOREMI GENERALI SUI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI.
Il prodotto vettoriale. Le leggi di Newton. Azione e reazione, forze interne ed esterne. Prima equazione cardinale. Centro di massa e suo comportamento nella combinazione di più corpi. Coordinate polari, cilindriche e sferiche. Teorema del moto del centro di massa. Lavoro. Teorema delle forze vive o dell'energia cinetica in tre versioni: del punto materiale; del sistema di punti con solo le forze esterne applicate al centro di massa; del sistema di punti considerando tutte le forze. Lavoro nullo delle forze interne nei corpi rigidi, forze di attrito. Forze conservative, gradiente, integrale sul cammino, conservazione dell'energia meccanica. Energia cinetica e potenziale. Esempi di forze conservative: molla e gravità. Teorema di Koenig dell'energia cinetica. Momento angolare, e seconda equazione cardinare rispetto a un polo mobile. Caso del centro di massa. Equivalenza del momento angolare rispetto al polo del centro di massa e nel riferimento del centro di massa. Teorema di Koenig del momento angolare. Rotolamento con scivolamento e conservazione del momento angolare rispetto al punto di contatto. La condizione di rotolamento puro. Uso della massa equivalente.

CINEMATICA DEI SISTEMI RIGIDI.
Definizione di sistema rigido. Gradi di libertà. Sistemi di riferimento fisso e solidale. Angoli di Eulero. Trasformazioni rigide. Trasformazioni lineari speciali ortogonali. Richiami sulle matrici ortogonali. Trasformazione del piano in sé. Rotazione del piano e matrice di rotazione. Relazione tra prodotto vettoriale e matrici antisimmetriche. Teorema di Poisson. Esistenza e unicità della velocità angolare. Relazione tra velocità angolare e angolo di rotazione nel caso piano.  Campo delle velocità di un corpo rigido: formula fondamentale del corpo rigido.  Esistenza dell'asse istantaneo di moto. Invariante scalare. Rigata fissa, rigata mobile e ricostruzione del moto.  Moti rigidi particolari: traslazioni, rotazioni, precessioni.  Moto piano e centro istantaneo di moto, base e rulletta. Teorema di Chasles. Determinazione del centro istantaneo conoscendo la velocità di un punto e la velocità angolare. Sistemi rigidi liberi.  Equazioni di Eulero e teorema della racchetta da tennis. Descrizione di Poinsot del moto libero con l'ellissoide di inerzia. Sistemi di riferimento in moto relativo: velocità relativa, accelerazione relativa, centripeta e di Coriolis. Velocità e accelerazione di trascinamento. La composizione di moti rigidi è ancora un moto rigido.  Cono che ruota su un altro cono. Non commutatività delle rotazione; commutatività delle piccole rotazioni. Addittività delle velocità angolari.  Forze apparenti (d'inerzia).

GEOMETRIA E CINEMATICA DELLE MASSE.
Introduzione alla geometria delle masse. La matrice dei momenti d'inerzia e sua interpretazione come applicazione lineare. Lagame tra velocità angolare e momento angolare. L'energia cinetica e la velocità angolare in particolare per i corpi rigidi.  Teorema di Huygens-Steiner (o del trasporto). Espressione del momento d'inerzia rispetto ad una retta generica. Assi principali di inerzia, momenti principali d'inerzia e diagonalizzazione della matrice d'inerzia (teorema spettrale). Invarianti del tensore d'inerzia. Sistemi piani, proprietà notevole. Circolo di Mohr. Costruzione dell'ellissoide di inerzia. Calcolo grafico dei momenti d'inerzia assiali con l'ellisoide d'inerzia.  Uso delle simmetrie per la determinazione degli assi principali e della matrice d'inerzia. Proprietà di stazionarietà degli assi principali. Esercizi con masse negative.

TEORIA DEI MOMENTI.

Campo dei momenti meccanici.  Variazione del momento al variare del centro di riduzione. Coppia di vettori. Invariante scalare e vettoriale. Esistenza dell'asse centrale.  Sistemi equivalenti di forze, sistemi equilibrati. Teorema di Varignon. Esempi di riduzione di sistemi di vettori nel piano.  L'invariante vettoriale nullo: sistemi di vettori applicati concorrenti, paralleli, complanari. Il centro delle forze parallele.  Asse centrale per  vettori paralleli. 

STATICA

Le equazioni cardinali della statica. Il poligono funicolare e significato della sua chiusura. Risoluzione di alcuni problemi con il poligono funicolare. Teorema delle due e delle tre forze. Sistema labile, isostatico e iperstatico. Esempi di vincoli. Sistema a tre cerniere con uno o entrambi gli archi carichi (principio di sovrapposizione). Metodo delle sezioni nelle travature reticolari. Cenno al metodo dei nodi. Principio dei lavori virtuali e suo uso per la determinazione delle forze. Esempi.

IL FORMALISMO LAGRANGIANO.

Lo spazio delle configurazioni e le coordinate generalizzate. I vincoli olonomi e anolonomi. Il principio dei lavori virtuali, e il principio di d'Alembert. Le equazioni di Lagrange, con o senza forze generalizzate non conservative. 

PICCOLE OSCILLAZIONI.

Caso unidimensionale. Punti di stazionarietà per il potenziale.Stabilità e instabilità. Matrice delle masse, e approssimazione quadratica del potenziale. Diagonalizzazione simultanea delle due matrici. Frequenze proprie dei modi principali. Piccole oscillazioni. Esercizi.

ELEMENTI DI MECCANICA DEI CONTINUI

Cinematica dei continui. Grandezze lagrangiane e euleriane. Velocità, accelerazione, derivata parziale e totale rispetto al tempo. Moti traslatori, stazionari, rigidi.Valore globale di una grandezza, loro derivata rispetto al tempo. Equazione di continuità. Il concetto di sforzo. Il tensore degli sforzi, linearità e simmetria. Direzioni principali, sforzo normale e di taglio.