Orario e luogo delle lezioni
Presso il Dipartimento di
Matematica Applicata "G. Sansone" (Via S.Marta 3, Firenze), stanza
306
E'
consigliabile annunciarsi durante la lezione, per telefono, o per email se non possibile altrimenti.
Precedenze:Geometria,
Analisi I, Analisi II, non è possibile sostenere l'orale di
meccanica senza aver prima superato questi esami. Si intende che non
è neppure possibile fare e 'congelare' lo scritto per oltre una
sessione (esempio, dalla sessione di gennaio-febbraio a quella di
giugno-luglio). L'orale va sostenuto all'interno della sessione dello
scritto pena l'annullamento dello scritto.
Esami
Dispense, esercizi ed appunti vari
Potete prendere familiarità con gli esercizi attraverso quelli preparati dal Professor Frosali (p. 127) e dal Professor Canarutto. Anche se mancano quelli su base e rulletta possono risultare utili. E' probabile che un esercizio d'esame sia su un problema lagrangiano in cui occorre risolvere qualche preliminare problema di geometria delle masse per poter scrivere l'energia cinetica. Analogamente può essere necessario determinare un centro istantaneo di rotazione per calcolare l'energia cinetica. Altri problemi possono essere di statica o ancora lagrangiani in cui si chiede se un certo carico di rottura è superato o un certo vincolo di attrito possa essere violato (in questo caso risolvere il problema lagrangiano, dal moto risalire alle forze e verificare se la condizione sulle forze e' soddisfatta).
I testi degli esami di due anni fa. Ci possono essere significativi cambiamenti nella struttura dell'esame.
Testi consigliatiData l'estensione del programma non esiste un solo testo di riferimento ma alcuni libri consigliati dipendendo dalla parte studiata. Per il ripasso di Fisica I è utile il mio libro di esercizi svolti:
Principi di conservazione, Alpha Test 2004
Ogni capitolo presenta un riassunto della teoria che corrisponde spesso con quanto fatto a lezione, va però complementato con un approccio più orientato verso lo studio delle forze. Ci sono ottimi libri di fisica I su cui ripassare e fare esercizi, alcuni sono
Rosati, Fisica I, Casa Editrice ambrosiana 1994
oppure
Sivuchin, Corso di Fisica Generale vol. I, Edizioni MIR, Mosca, 1986
(bellissimo libro ma fuori stampa, se trovate una copia siete fortunati), o a livello ancora più elementare (utile per cominciare ma insufficiente per una preparazione universitaria)
Halliday, Resnik e Walker, Fondamenti di Fisica, Meccanica e termologia, Casa Editrice ambrosiana 2006
La geometria delle masse, ovvero come si calcolano i momenti di inerzia, è data per scontata nella prima parte del corso. Suggerisco un ripasso per esempio usando le dispense di Frosali. Lo studio del corpo rigido segue le linee delle dispense di Frosali e un riferimento classico è
Goldstein Meccanica Classica Zanichelli 1991.
Quest'ultimo testo, anche nelle sue nuove edizioni, è consigliato per lo studio della meccanica Lagrangiana anche se noi ne compriremo solo una piccola parte. Le dispense di Frosali si ispirano al testo
A. Fasano, V. de Rienzo e A. Messina, Corso di Meccanica Razionale Laterza 1989
veramente ottimo specie per la parte su rigata fissa e rigata mobile e poligono funiculare.
Per la parte di meccanica dei continui puo' essere utile
Belleni-Morante e Canarutto, Elementi di meccanica dei continui, Carocci 2008
ma questa parte verrà tenuta dal Professor Modugno per cui potrebbe consigliare altri testi. In generale suggerisco di prendere appunti, ripassare il giorno stesso, verificare la comprensione con i compagni, fare esercizi. E' importante non aspettarsi che gli esercizi fatti in classe possano essere sufficienti. E' altresi' importante avere chiari i principi base da usare poi nella risoluzione di svariati problemi. La meccanica, al contrario di molte altre materie, ha questo affascinante aspetto: quasi la totalità dei problemi meccanici possono essere risolti con poco più che le leggi di Newton e i suoi sviluppi. E' certamente un tipo di conoscenza e abilità che un ingegnere deve possedere.
Programma
INTRODUZIONE.
(La conoscenza dell'algebra lineare è data per scontata, vedere
il corso di geometria.) Ragionamenti di scala. Analisi
dimensionale. Teorema di Buckingham.
TEOREMI GENERALI SUI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI.
Il prodotto vettoriale. Le leggi di Newton. Azione e reazione, forze
interne ed esterne. Prima
equazione cardinale. Centro di massa e suo comportamento nella
combinazione di più corpi. Coordinate polari, cilindriche e
sferiche. Teorema del
moto del centro di massa. Lavoro. Teorema delle forze vive o
dell'energia cinetica in tre versioni: del punto materiale; del sistema
di punti con solo le forze esterne applicate al centro di massa; del
sistema di punti considerando tutte le forze. Lavoro nullo delle forze
interne nei
corpi rigidi, forze di attrito. Forze conservative, gradiente,
integrale sul cammino, conservazione dell'energia
meccanica. Energia cinetica e potenziale. Esempi di forze
conservative: molla e gravità. Teorema di Koenig dell'energia
cinetica.
Momento angolare, e seconda equazione cardinare rispetto a un polo
mobile. Caso del centro di massa. Equivalenza del momento angolare
rispetto al polo del centro di massa e nel riferimento del centro di
massa. Teorema di Koenig del momento angolare.
Rotolamento con scivolamento e conservazione del momento angolare
rispetto al punto di contatto. La condizione di rotolamento puro. Uso della massa equivalente.
CINEMATICA DEI SISTEMI RIGIDI.
Definizione di sistema rigido. Gradi di libertà. Sistemi di
riferimento fisso e solidale. Angoli di Eulero. Trasformazioni rigide.
Trasformazioni
lineari speciali ortogonali. Richiami sulle matrici ortogonali.
Trasformazione
del piano in sé. Rotazione del piano e matrice di rotazione.
Relazione tra prodotto vettoriale e matrici antisimmetriche. Teorema di
Poisson. Esistenza e unicità della
velocità angolare. Relazione tra velocità angolare e
angolo di rotazione nel caso piano. Campo delle velocità
di un corpo rigido: formula fondamentale del corpo rigido.
Esistenza dell'asse istantaneo di moto.
Invariante scalare. Rigata fissa, rigata mobile e ricostruzione del
moto. Moti rigidi particolari: traslazioni, rotazioni,
precessioni. Moto piano e centro istantaneo di moto, base e
rulletta. Teorema di Chasles. Determinazione del centro istantaneo
conoscendo la velocità di un punto e la velocità
angolare. Sistemi rigidi liberi. Equazioni di Eulero e teorema della racchetta da tennis. Descrizione di Poinsot del moto libero con l'ellissoide di inerzia. Sistemi di riferimento in moto relativo: velocità
relativa, accelerazione relativa, centripeta e di Coriolis. Velocità e
accelerazione di trascinamento. La composizione di moti rigidi è ancora un moto
rigido. Cono
che ruota su un altro cono. Non commutatività delle rotazione;
commutatività delle piccole rotazioni. Addittività delle
velocità angolari. Forze apparenti (d'inerzia).
Campo dei momenti meccanici. Variazione del momento al variare del centro di riduzione. Coppia di vettori. Invariante scalare e vettoriale. Esistenza dell'asse centrale. Sistemi equivalenti di forze, sistemi equilibrati. Teorema di Varignon. Esempi di riduzione di sistemi di vettori nel piano. L'invariante vettoriale nullo: sistemi di vettori applicati concorrenti, paralleli, complanari. Il centro delle forze parallele. Asse centrale per vettori paralleli.
STATICA
Le equazioni cardinali della statica. Il poligono funicolare e significato della sua chiusura. Risoluzione di alcuni problemi con il poligono funicolare. Teorema delle due e delle tre forze. Sistema labile, isostatico e iperstatico. Esempi di vincoli. Sistema a tre cerniere con uno o entrambi gli archi carichi (principio di sovrapposizione). Metodo delle sezioni nelle travature reticolari. Cenno al metodo dei nodi. Principio dei lavori virtuali e suo uso per la determinazione delle forze. Esempi.
IL FORMALISMO LAGRANGIANO.Lo spazio delle configurazioni e le coordinate generalizzate. I vincoli olonomi e anolonomi. Il principio dei lavori virtuali, e il principio di d'Alembert. Le equazioni di Lagrange, con o senza forze generalizzate non conservative.
PICCOLE OSCILLAZIONI.
Caso unidimensionale. Punti di stazionarietà per il potenziale.Stabilità e instabilità. Matrice delle masse, e approssimazione quadratica del potenziale. Diagonalizzazione simultanea delle due matrici. Frequenze proprie dei modi principali. Piccole oscillazioni. Esercizi.
ELEMENTI DI MECCANICA DEI CONTINUI
Cinematica dei continui. Grandezze lagrangiane e euleriane. Velocità, accelerazione, derivata parziale e totale rispetto al tempo. Moti traslatori, stazionari, rigidi.Valore globale di una grandezza, loro derivata rispetto al tempo. Equazione di continuità. Il concetto di sforzo. Il tensore degli sforzi, linearità e simmetria. Direzioni principali, sforzo normale e di taglio.