| N. | Giorno | Tipologia | Argomento | Allegati | Riferimenti |
| 1) | 02/03/2017 | lezione | Definizione di equazione alle derivate parziali. Multiindice. Numero di derivate parziali indipendenti di una funzione C^k. Classificazione: equazioni quasi-lineari, semi-lineari, lineari, lineari e omogenee. Caso n=2, segnatura e equazioni ellittiche, iperboliche, paraboliche. Problemi ben posti. Principi variazionali, deduzione dell'eq. di Lagrange in una o più dimensioni. | - | A, C wikipedia |
| 2) | 07/03/2017 | lezione | Corrispondenza tra Lagrangiana e densita' Lagrangiana. Esempio di come derivare l'equazione delle onde da catena di oscillatori armonici. Richiamo alle equazioni di Maxwell. Come si deduce l'eq. di Poisson da quella di Coulomb. Distribuzioni di carica al bordo dei conduttori. Problema dell'elettrostatica in presenza di conduttori, condizioni al bordo. Unicità della soluzione al problema dell'elettrostatica. | - | A, F |
| 3) | 09/03/2017 | lezione | Deduzione della legge di Ampere da Biot-Savart. Equazione di continuita'. Equazione delle onde per il campo elettromagnetico nel vuoto. Alte frequenze. Approssimazione iconale, equazione iconale e del trasporto, esempio del sasso nello stagno. La soluzione è la distanza. | - | A, F |
| 4) | 14/03/2017 | lezione | Equazioni alle derivate parziali del primo ordine lineari. La teoria del metodo delle caratteristiche. Richiamo sui sistemi diniamici (integrazione di campi vettoriali). La condizione di inversione locale. Esempio 2x u_x-u_y=-u^2, u(q,ln q)=1, q>0. Equazioni quasi-lineari, le caratteristiche proiettate possono intersecarsi. Equazione di Burges non viscosa u_y+u u_x=0, u(q,0)=g(q). Esempi: g=1-lambda x e caso g = exp(-x). | - | A, B, C |
| 5) | 16/03/2017 | lezione | Meccanica dei continui. Punto di vista Euleriano e Lagrangiano. Accelerazione. Teorema del trasporto. Casi particolari: G=massa, volume. Equazione di continuita'. Teorema del trasporto per grandezze proporzionali a densita'. Tensore degli sforzi. Teorema di Cauchy su linearita'. | - | A. E |
| 6) | 21/03/2017 | lezione | Equazione della
dinamica del continuo, espressione del tensore degli sforzi, viscosità,
derivazione dell'equazione di Navier-Stokes, equazione di Eulero, fluidi incomprimibili,
equazione di Bernoulli. Equazione del tipo u_y+c(u) u_x=0. Svuotamento. Esercizio. Equazioni di conservazione u_y+(F(u))_x=0, condizione di Rankine-Hugoniot. |
- | A, E A, B, C, D |
| 7) | 23/03/2017 | lezione | Modello del traffico,
velocità del fronte di frenata. Problema di Riemann per equazione di
conservazione. Onda di rarefazione, esempio del semaforo. Ottenere soluzioni del problema di conservazione da Hamilton-Jacobi (una dimensione). Metodo delle caratteristiche per equazioni non-lineari del primo ordine. Le equazioni delle caratteristiche per la equazione di HJ sono le equazioni di Hamilton. La funzione u e' l'azione della caratteristica. |
- | A, B, C, D A, C |
| 8) | 28/03/2017 | lezione | Trasformata di Legendre-Fenchel per funzioni convesse superlineari. La trasformata preserva convessità e superlinearità ed è involutiva. Subdifferenziale e proprietà per le funzioni convesse. | - | A, C |
| 9) | 30/03/2017 | lezione | Soluzione rough di HJ
come inf sull'azione. I punti minimi dell'azione soddisfano le equazioni
di Lagrange e quelle di Hamilton. Caso con H indipendente da x e t.
Formula di Hopf-Lax. Introduzione alle varietà differenziabili. Atlante e carte. Cambio di coordinate. Esempio: sfera con proiezione stereografica. Il fibrato tangente e cotangente. Prodotto tensoriale, spazio tensoriale. |
- | A, C A wikipedia |
| 10) | 04/04/2017 | lezione | Richiamo fibrato
tangente, cotangente, tensoriale di tipo (i,j). Il fibrato dei getti di
ordine k. L'equazione alle derivate parziali e' una ipersuperficie F=0
nel fibrato dei getti. Importanza della formulazione indipendente dalla
carta. Raccomandazione sul non usare la metrica
euclidea indotta dall'uso arbitrario delle coordinate. La derivata di F
rispetto alle derivate p_{ij} e' un tensore due volte controvariante.
Classificazione delle equazioni lineari del secondo ordine con segnatura
della metrica \p F/\p p_{ij}. Teorema di Cauchy-Kowaleski e analogia tra condizione noncaratteristica tra equazioni alle derivate parziali del primo e secondo ordine. |
- | A wikipedia A, B, per una dim completa vedi C |
| 11) | 06/04/2017 | lezione | Motivazione della
condizione di Cauchy-Kowaleski nel caso bidimensionale. Argomento
alternativo basato su coordinate adattate e cambio di carta.
Classificazione delle equazioni alle derivate parziali a partire dalla segnatura della metrica controvariante che compare nella parte principale. Caso bidimensionale, riduzione a forma canonica per equazioni iperboliche. |
- | A, B A, no B |
| 12) | 11/04/2017 | lezione | Derivazione fisica dell'equazione del calore. Riduzione a forma canonica nel caso parabolico. Sistemi di coordinate utili nel caso ellittico dipendendo dalla dimensione. Ragionamenti qualitativi: n=2, metrica proporzionale all'identita', n=3 metrica diagonale, n=4 diagonale a blocchi. Caso n=2, equazioni di Beltrami e Cauchy-Riemann. | - | A, B |
| 13) | 20/04/2017 | lezione | Equazione delle onde in una dimensione, derivazione fisica. Formula di D'Alembert per il dominio=retta e unicità su convessi. Metodo delle riflessioni nel caso della semiretta e del segmento. Interpretazione della riflessione come ribaltamento dell'onda. | - | A, B, C |
| 14) | 27/04/2017 | lezione | Problema in piu' dimensioni. Unicita' della soluzione. L'equazione d'onda e' variazionale. La conservazione dell'energia e sua espressione per problemi variazionali. Teorema sulla limitatezza della velocita' di propagazione. Deduzione della formula di Eulero-Poisson-Darboux. | - | A, C |
| 15) | 02/05/2017 | lezione | Deduzione della formula di Kirchhoff (n=3). Metodo della discesa e dimostrazione della formula di Poisson (n=2). Metodo della separazione delle variabili. Equazione di Helmholtz per un dominio. Autofunzioni del Laplacia o. Analogia con operatori autoaggiunti in spazi di dimensione finita. Sviluppo in serie della soluzione. Il meno Laplaciano ha autovalori positivi. Esempio dell'equazione d'onda su un segmento, dominio D=[0,l]. Breve discussione della convergenza uniforme della serie di Fourier. | - | A, B, C |
| 16) | 04/05/2017 | lezione | Il principio del massimo debole per l'operatore laplaciano. Il principio del massimo debole per l'operatore lineare uniformemente ellittico Lu=a^ij(x) u_ij+b^i(x) u_i. Equivalenza tra proprietà della media della palla e della sfera. | - | A, B |
| 17) | 09/05/2017 | lezione | Le funzioni armoniche soddisfano la proprietà della media. Le funzioni che soddisfano la proprietà della media sono C infinito (dim con mollificatore, vedi Evans) e armoniche. Il principio del massimo forte. Unicità per il problema di Dirichlet interno ed esterno con il principio di massimo debole. Teorema di Liouville. Le funzioni olomorfe assumono modulo massimo nel bordo. | - | A, B, C |
| 18) | 11/05/2017 | lezione | Parte radiale dell'operatore laplaciano in coordinate sferiche. Operatore di Laplace-Beltrami in geometria Riemanniana. Formula di Green, seconda dimostrazione della proprietà della media per le funzioni armoniche. | - | A, C |
| 19) | 16/05/2017 | lezione | Lemma di Hopf. Unicita' del problema di Neumann con dominio compatto e non. Metodo delle funzioni di Green e Neumann per l'equazione di Poisson con dati al bordo. | - | A, B |
| 20) | 18/05/2017 | lezione | Funzione di Green per la palla e calcolo del nucleo di Poisson. Simmetria della funzione di Green (dim. usando la formula di Green). Il nucleo di Poisson e' armonico (caso generale). L'integrale del nucleo e' 1. Estensione della formula di Poisson per dati al bordo C^0. Dimostrazione della armonicita' (con passaggio derivate sotto segno di integrale) e della continuita` al bordo. | - | A, C |
| 21) | 23/05/2017 | lezione | Equazione del calore. Interpretazione alternativa come equazione di diffusione di un contaminante. Soluzioni autosimilari. La soluzione fondamentale. Soluzione in R^n tramite convoluzione con soluzione fondamentale. Tale soluzione e' C-infinito e continua col dato iniziale. Dominio parabolico relativo ad aperto limitato di R^n. Problema col dato al bordo. La palla di calore. Il teorema della media (senza dimostrazione). Unicita' della soluzione nel dominio parabolico. | - | C |