Teorema di Eulero - Savary

 

Si considerino le polari di un generico moto rigido piano e, in riferimento alla Fig, assumiamo la curva l come Base e l’  come Rulletta del moto considerato.

Sia C il punto di contatto del rotolamento puro delle due rigate, centro di istantanea rotazione del moto.

In corrispondenza di una rotazione infinitesima da del piano mobile, C descriverà un arco ds sulla rulletta , in un tempo dt infinitesimo.

L’accelerazione di C è nota in direzione essendo normale alle due polari e in  modulo in quanto ottenuto nel seguente modo

da = de - de’ = ds/r - ds/r’ = ds/D 
   con:   1/D = ( 1/r - 1/r’ )  

è da notare che nella quantità D il segno tra 1/r e 1/r’ è una differenza o un somma a seconda che le due polari abbiano o non abbiano la stessa concavità. In definitiva risulta:

aC = w r da/dt = w2  D
Consideriamo adesso un generico punto P appartenente al sistema rigido e calcoliamone l’accelerazione.

aP = aC + w Ù (P-C) + w Ù [ w Ù (P-C) ]

ma prendendo un punto S tale che     ôS-Cô = D    si ha:

aC + w Ù [ w Ù (P-C) ] = w2 (S-C) - w2 (P-C) = w2 (S-P) = w2 (S-J) + w2 (J-P)

l’altro termine è     w Ù (P-C)     ed è diretto ortogonale a (P-C) e rappresenta una componente che chiamiamo tangenziale, si ottiene quindi la seguente scomposizione dell’accelerazione del punto P: aP = aP(n) + aP(t) = w2 (J-P) + w2 (S-J) + w Ù (P-C)

  .

Se P coincide con J l’accelerazione normale di P è nulla: il luogo dei punti sul piano che godono di questa proprietà è detto Circonferenza dei flessi essendo infatti una circonferenza di diametro     D = SC     .

Tutti i punti di questa circonferenza hanno esclusivamente accelerazione tangenziale e quest’ultima passa costantemente per il punto S ( Polo dei flessi ).

Consideriamo ora il centro di curvatura W della traiettoria del punto P all’istante considerato; esso dovrà appartenere alla retta CP e la sua posizione può essere determinata considerando che:

 

aP(n) = vP2/r     per cui     vP2/r = w2 CP2/ WP = w2 JP     da cui     JP = CP2/ WP     .

 

 

Adesso si può dare anche una forma diversa  scrivendo infatti:

 

JP = JC + CP = Dcosj + CP     ,

 

per cui:

 

Dcosj = ( CP2/WP ) - CP     ,

 

da cui si ottiene una nuova formulazione del teorema di Eulero - Savary:

 

 


1/D = [ ( 1/ CW ) - ( 1/ CP ) ]      .