Prof. Giovanni FROSALI

RICHIAMI DI DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE VINCOLATO. Analisi del concetto di vincolo. Definizione di vincolo semplice, doppio e triplo. Introduzione delle coordinate lagrangiane nel caso di un punto. Definizione e caratterizzazione delle velocità possibili. Vincoli mobili. Velocità virtuali e velocità di trascinamento. Significato ed esempi di velocità virtuale. Esempi di vincolo semplice e doppio. Velocità virtuale di un punto vincolato ad una circonferenza con raggio mobile. Reazioni vincolari. Prima definizione di vincolo liscio. Caratterizzazione dei vincoli lisci (potenza virtuale nulla). Principio dei lavori virtuali. Teorema delle forze vive per il punto vincolato. Lavoro del vincolo mobile. Equazioni di moto per un punto vincolato ad una superficie e ad una linea (richiami ed esempi).

MECCANICA DEI SISTEMI OLONOMI. Introduzione alla meccanica dei sistemi. Sistemi olonomi. Vincoli olonomi: compatibilità ed indipendenza. Coordinate lagrangiane. Spazio delle configurazioni. Esempi di spazi delle configurazioni. Velocità possibili. Stato cinematico di un sistema olonomo. Spazio delle fasi. Spazio tangente allo spazio delle configurazioni. Velocità virtuali. Caratterizzazione degli atti di moto virtuale. Spazio normale allo spazio delle configurazioni. Ancora sullo spazio tangente e normale. Vincoli olonomi lisci. Potenza virtuale delle reazioni. Principio dei lavori virtuali. Caratterizzazione di vincoli bilateri lisci. Vincoli bilateri lisci e caratterizzazione delle reazioni. Reazioni generalizzate e forze generalizzate. Equazioni di Lagrange di I specie. Forze generalizzate. Statica dei sistemi olonomi a vincoli lisci. Esercizi sulle equazioni di Lagrange di I specie. Due punti vincolati su due guide e mantenuti a distanza costante. Equazione simbolica della statica. Statica dei sistemi rigidi. Equazioni cardinali della statica. Applicazioni del principio dei lavori virtuali. Equazione simbolica della dinamica dei sistemi. Equazioni di Lagrange di specie e loro dimostrazione. Sistemi di forze conservative e funzione Lagrangiana. Commenti sulle equazioni di Lagrange di II specie. Applicazioni del formalismo lagrangiano: il pendolo composto, moto di un punto nel piano in coordinate polari, la macchina di Atwood

Epressione lagrangiana dell’energia cinetica. La conservazione dell’energia meccanica nel caso di vincoli fissi. Cenni al potenziale generalizzato. Proprietà strutturali delle equazioni di Lagrange di II specie. Forma normale delle equazioni differenziali.

CENNI SULLA STABILITA' DELL'EQUILIBRIO DEI SISTEMI OLONOMI.

Cenno sull’analisi qualitativa delle equazioni differenziali. Esempi: moto armonico e moto iperbolico, nel piano delle fasi. Concetto e definizione di stabilità. Stabilità asintotica. Definizione di instabilità. Funzione di Liapunov. Cenno ai criteri di stabilità di Liapunov.

PICCOLE OSCILLAZIONI E MODI NORMALI. Introduzione al problema delle piccole oscillazioni intorno ad una configurazione di equilibrio. Formulazione del problema. Punto vincolato ad una circonferenza, punto vincolato ad una ellisse. Approssimazione dell'energia cinetica e del potenziale. Forme quadratiche dell'energia e del potenziale. Lagrangiana per le piccole oscillazioni. Equazioni lineari accoppiate per le piccole oscillazioni. Cenno ai modi normali di oscillazione. Alcuni esempi. Pendoli accoppiati. Ricerca di soluzioni con la stessa frequenza. Problemi agli autovalori. Frequenze proprie di oscillazioni. Matrice modale. Coordinate normali e modi normali di oscillazione. Esempio di due punti collegate con molle, il caso del bipendolo, la molecola triatomica.

DINAMICA DEI CORPI RIGIDI. Dinamica dei sistemi rigidi. Sistemi rigidi liberi. Rotazione di un corpo rigido intorno ad un asse fisso. Rotazione. Prima giustificazione dell'effetto giroscopico. Moti di precessione. Equazioni di Eulero e loro derivazione. Precessioni per inerzia. Integrali primi di moto. Interpretazione del moto alla Poinsot. Polo del moto. Poloide ed erpoloide. Cenno alle proprietà dinamiche degli assi principali d'inerzia. Esercizio. Moto della trottola pesante con un punto fisso. Precessione stazionaria e frequenze di precessione. Equazioni di Lagrange applicate alla trottola pesante. Integrali primi di moto. Analisi qualitativa del moto dell'asse della trottola. Corpi a struttura giroscopica. Equazioni di Eulero per un giroscopio. Effetti giroscopici: tenacia dell'asse giroscopico e tendenza al parallelismo. Analisi della cerniera sferica di un giroscopio. Stima delle forze vincolari e del momento delle forze vincolari. Soluzione delle equazioni di Eulero. Soluzione esatta della componente secondo l'asse giroscopico Stima delle altre componenti angolari. Giustificazione matematica degli effetti giroscopici. Il caso della trottola pesante. La bussola giroscopica.

LIBRO di RIFERIMENTO:

Dispense distribuite a lezione.

Fasano - de Rienzo - Messina, Corso di Meccanica Razionale, Laterza, Bari, 1989.

Firenze, 15 gennaio2006

Il titolare del corso

(Prof. Giovanni Frosali)