RELAZIONE SULL’ATTIVITA’
del gruppo di RICERCA di FIRENZE (Cofin98)
Problemi Matematici delle Teorie Cinetiche
nel periodo 1998-99
Il progetto di ricerca ha riguardato aspetti teorici ed applicati relativi ai seguenti temi:
Gli obiettivi principali di questa ricerca sono stati l'analisi e l'applicazione di metodi matematici basati su tecniche di analisi funzionale, di analisi asintotica, di teoria dei semigruppi, con lo scopo di ottenere risultati di esistenza, unicità, regolarità, comportamento asintotico, ecc. per modelli che nascono nelle teorie cinetiche.
1. Analisi asintotica per problemi di trasporto con scattering elastico ed anelastico
Nel campo dell'analisi asintotica per equazioni cinetiche di trasporto, gli obiettivi sono stati lo studio di metodi di analisi asintotica applicati a modelli cinetici in cui le collisioni sono sia di tipo elastico che anelastico. L'obiettivo principale ha riguardato l'analisi asintotica per modelli cinetici con scattering anelastico che per la non limitatezza del termine collisionale necessita di uno studio particolare. Allo scopo teorico si è aggiunto anche quello numerico, basato su una serie di simulazioni e confronti. Si è indagato il metodo di Chapman Enskog compresso per la derivazione di approssimazioni idrodinamiche/diffusive dell'equazione di Boltzmann con collisioni anelastiche. La presenza di un termine anelastico ha portato a notevoli difficoltà di tipo analitico nell'applicare la procedura di Chapman-Enskog in spazi di tipo L1, a causa della non limitatezza del termine collionale, e la dimensione infinita del nucleo di tale termine. Sono stati ottenuti risultati rigorosi di approssimazione, che sono stati poi validati anche numericamente. Inoltre nello studio delle approssimazioni diffusive dell'equazione di Boltzmann con scalature diverse degli operatori di collisione elastico ed anelastico, si è dimostrato come i due limiti conducano ad approssimazioni diffusive completamente diverse.
2. Teoria quantistica del trasporto e l'equazione di Wigner
La teoria quantistica del trasporto è un campo di ricerca relativamente giovane e per molti aspetti ancora controverso. L'interesse applicativo risiede soprattutto nel suo utilizzo per la modellizzazione dei dispositivi elettronici dell'ultima generazione i quali, grazie alle dimensioni ridottissime, sfruttano in modo determinante gli effetti quantistici. L'attività del gruppo di ricerca in questo settore è indirizzata allo studio dell'equazione di Wigner in domini spaziali limitati e si focalizza sulle problematiche relative alle condizioni al contorno. Da una parte è stato condotto uno studio di buona posizione per condizioni semiclassiche di tipo "inflow", oggi largamente utilizzate e studiate. D'altra parte si sta investigando la possibilità di assegnare condizioni al contorno alternative, che contengano un'informazione fisica piu' aderente all'effettiva situazione reale rispetto a quella fornita dalle condizioni semiclassiche. Sono in studio applicazioni ad un dispositivo detto "Interband Resonant Tunneling Diode", con simulazioni numeriche e confronto coi dati sperimentali (in collaborazione con il Dipartimento di Elettronica dell'Università di Firenze).
3. Teoria della radiazione e trasporto aleatorio
Si è studiata l'equazione del trasporto in un background aleatorio. Sono stati presi in considerazione modelli in cui l'informazione probabilistica su tale background è contenuta in un numero finito di variabili aleatorie reali. Per tali modelli è stata studiata una formulazione matematica rigorosa nell'ambito dell'analisi funzionale che ha permesso di dimostrare teoremi di buona posizione e di comportamento asintotico e che ha fornito metodi di stima, con accuratezza arbitraria, del valore atteso della soluzione. Tali metodi hanno dimostrato una buona efficienza anche dal punto di vista computazionale. Inoltre è stata condotta un'analisi di confronto con differenti tipi di approccio già presenti in letteratura, i quali utilizzano si basano fondamentalmente sui processi Markoviani. Gli aspetti applicativi della ricerca vanno dall'ingegneria nucleare (efficienza dei reattori a fusione, stima dell'efficacia delle schermature), all'astrofisica (trasporto di radiazione nel mezzo interstellare), alla fisica medica (comportamento dei traccianti radioattivi ).
4. Dinamica dei sistemi a molte particelle
Gli stati di sistemi con infinite particelle interagenti sono descritti da successioni di funzioni di distribuzione ridotte che devono soddisfare una successione infinita di equazioni lineari integro-differenziali, conosciute come "gerarchia di Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon (BBGKY). è ovvio l'interesse di tale teoria nel problema della derivazione rigorosa delle equazioni di tipo cinetico, come l'equazione di Boltzmann o l'equazione del trasporto (Boltzmann lineare). In quest'ambito si sono condotte ricerche sui cosiddetti modelli a velocità discrete (DVM) per l'equazione di Enskog, che descrive il comportamento di un gas moderatamente denso. Sono state affrontate tematiche di tipo puramente modellistico nonchè di tipo analitico, legate alle proprietà di generazione di semigruppo dei DVM. Gli obiettivi della ricerca erano lo studio della convergenza delle equazioni dinamiche a quelle cinetiche, il comportamento asintotico e lo studio di limiti idrodinamici.
5. Studio delle soluzioni del sistema di Vlasov-Poisson.
Obiettivo è stato quello di proseguire lo studio numerico sull'andamento delle soluzioni per tempi lunghi. Descrizione: è ancora aperta la congettura sull'andamento per tempi lunghi delle soluzioni del sistema di Vlasov-Poisson con condizioni iniziali vicine ad equilibri di Vlasov. Alcuni risultati numerici (Shoucri, Demeio, Klimas) indicano che la soluzione asintotica può essere bene descritta da sovrapposizioni di modi BGK con velocità di fase vicine a quelle date dalla teoria lineare. è stata formulata di recente una teoria in cui si introduce un principio di sovrapposizione nonlineare di modi BGK che potrebbe spiegare in prima approssimazione tali stati asintotici (Buchanan e Dorning 1992-95). Si vuole studiare numericamente l'evoluzione temporale di queste sovrapposizioni nonlineari determinata dalla dinamica di Vlasov. Fra i risultati si è confermato numericamente la validità del principio di sovrapposizione nonlineare di Buchanan e Dorning. L'evoluzione temporale di questi stati secondo la dinamica di Vlasov mostra andamenti molto vicini a quelli osservati numericamente nelle soluzioni del sistema di Vlasov-Poisson con condizioni iniziali vicine all'equilibrio Maxwelliano.
6. Equazione di Vlasov
L'equazione di Vlasov modella il trasporto di particelle che si muovono nel vuoto sotto l'azione di un campo elettrico e/o magnetico. Interessi recenti nel campo dei semiconduttori sono stati rivolti allo studio di tale equazione in un dominio limitato, poichè differenti tipi di condizioni al contorno, per descrivere differenti comportamenti fisici, necessitano di ulteriori studi matematici. In un recente lavoro, si è studiata l'equazione di Vlasov unidimensionale, con campo elettrico costante ed in assenza di campo magnetico, accoppiata a condizioni al contorno che descrivono il flusso entrante di particelle in una regione limitata. E' stata studiata l'esistenza, l'unicità e la positività di una soluzione del problema per mezzo della teoria degli operatori ellittici e dei semigruppi di operatori affini. Inoltre è stato trattato il problema con condizioni di tipo generalizzato, ottenendo anche in questo caso più generale risultati di esistenza, unicità e regolarità. Nell'ambito dell'analisi asintotica per modelli di trasporto in regioni limitate, è stato studiato un problema che nasce dalla modellizzazione di un thruster ionico. Questa ricerca in collaborazione con P.Degond dell'Università di Toulouse ha avuto l'obiettivo di presentare una derivazione matematicamente rigorosa di una equazione di diffusione precedentemente introdotta per modellare la diffusione di particelle cariche che si muovono fra due piani paralleli. Le particelle sono soggette a campi elettrici e magnetici e a collisioni elastiche contro la superficie delle lastre solide. In questo primo approccio si trascurano le collisioni delle particelle cariche contro le particelle neutre del mezzo ospite (gas ionizzato). Cosi' l'equazione in studio è l'equazione di Vlasov con condizioni al contorno con un coefficiente di "accomodazione". Con un appropriato scaling, la funzione distribuzione delle particelle converge ad una funzione dell'energia e delle sole coordinate di posizione londitudinali, che evolve nel tempo in accordo all'equazione di diffusione. La ricerca sta proseguendo con lo studio dell'effetto delle collisioni delle particelle cariche con quelle neutre del mezzo ospite.
7. Teoria dei semigruppi e delle equazioni di evoluzione: modelli di trasporto con scambio di carica e modelli di tipo biologico
Parallelamente ai temi di ricerca sopra esposti sono stati approfonditi alcuni aspetti di matematica pura ad essi collegati. Questi vertono essenzialmente sulla teoria degli operatori e sulle equazioni di evoluzione in spazi di Banach. In particolare sono stati condotti studi sui semigruppi integrati, sugli operatori affini e le relative equazioni di evoluzione, sulle applicazioni del teorema di generazione di Arendt, sulle equazioni di evoluzione aleatorie regolari, sugli operatori d'onda e di scattering in spazi di Banach. In particolare sono stati approfonditi argomenti della teoria classica del trasporto con metodi dell'analisi funzionale. Tali argomenti comprendono problemi al contorno per l'equazione di Boltzmann lineare per modelli con condizioni al contorno non-locali e semitrasparenti e per modelli a due popolazioni di particelle con scambio di carica. Gli aspetti applicativi che hanno indirizzato le ricerche riguardano fra l'altro la biomatematica (evoluzione di popolazioni a piu' stadi biologici) e l'astrofisica (trasporto di radiazione nel mezzo interstellari). Riguardo alla modelizzazione dello scambio di carica in un gas monoatomico ionizzato, si è applicata la teoria dello scattering alla sua dinamica. La dinamica libera corrisponde all'evoluzione della distribuzione totale delle particelle e la dinamica perturbata corrisponde all'evoluzione delle particelle neutre, che è soluzione del problema di trasporto nonautononomo. Si è applicato il formalismo di Howland per costruire una teoria dello scattering stazionaria per questo problema di trasporto nonautonomo, studiando l'equazione di evoluzione che ne deriva. Si prova l'esistenza degli operatori d'onda, analizzando la similarità fra gli operatori perturbato ed imperturbato.Nel campo della biomatematica si è formulato un modello matematico di una popolazione di individui caratterizzati da sesso ed età. Si è tenuto conto del concepimento come conseguenza di accoppiamenti fra i due sessi, con un periodo di gestazione che introduce un tempo di ritardo nel sistema di equazioni integrodifferenziali. Il modello consiste di un sistema di due equazioni nonlineari alle derivate parziali che sono nonlinearmente accoppiate attraverso le condizioni al contorno legate al tasso di nascita.