1.1 Programma di Ricerca di tipo: interuniversitario

Area Scientifico Disciplinare: Scienze matematiche

1.2 Titolo del Programma di Ricerca

In italiano:

Problemi matematici delle teorie cinetiche

In inglese:

Mathematical Problems of Kinetic Theories

1.3 Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

CERCIGNANI (Cognome)	CARLO (Nome)	(Cognome acquisito - facoltativo)
Politecnico di MILANO (Università/Osservatorio Astronomico)	Facolta' di INGEGNERIA (Facoltà)
A03X (Settore)	MATEMATICA (Dipartimento)

In italiano:

ANALISI ASINTOTICA; EQUAZIONE DI BOLTZMANN; SCATTERING THEORY; SEMICONDUTTORI; TEORIA CINETICA; TEORIA DEL TRASPORTO

In inglese:

ASYMPTOTIC ANALYSIS; BOLTZMANN EQUATION; KINETIC THEORY; SCATTERING THEORY; SEMICONDUCTORS; TRANSPORT THEORY

Testo italiano

G. Frosali ha svolto i suoi studi presso l'Universita' di Firenze, dove e' stato assistente dal 1973 al 1983 e professore associato di Meccanica Razionale presso la Facolta' di Ingegneria di Firenze dal 1983. Vincitore di concorso nel 1986, e' stato professore ordinario di Meccanica Razionale dal 1987 al 1997, presso l'Universita' di Ancona dove e' stato Direttore del Dip. di Matematica per due trienni. Attualmente e' professore di Meccanica Razionale presso la Facolta' di Ingegneria di Firenze. Ha svolto ricerche nell'ambito della teoria del trasporto di particelle, con particolare riguardo a problemi stazionari e di criticita', a problemi di esistenza ed unicita' con metodi di semigruppi, a problemi di runaway, a scattering theory e ad analisi asintotica per equazioni cinetiche. E' autore di piu' di 60 articoli pubblicati su riviste nazionali ed internazionali, su atti di congressi, e rapporti interni. E' membro della Commissione Scientifica dell'UMI e socio di numerose societa' di matematica pura ed applicata.

Testo inglese

Dr. Frosali completed his studies at the University of Florence, where he was assistant professor from 1973 to 1983 and associate professor of Analytical Mechanics at the Faculty of Engineering from 1983. In 1986, he was promoted professor of Analytical Mechanics from 1987 to 1997 at the University of Ancona, where he was the chairman of the Mathematical Department for six years. Since 1997 he is professor of Analytical Mechanics at the Faculty of Engineering of the University of Florence. He has been interested in transport theory and in mathematical methods in applied sciences, participating at numerous national and international scientific meetings, congresses, and conferences. His research activity is strongly related with the research of numerous groups working in these fields. He authored more than 60 journal articles published in prestigious national and international journals, conference papers, and internal reports. He is member of the Scientific Committee of UMI and member of others societies of pure and applied mathematics.

1.10.1 Personale universitario dell’Università sede dell’Unità di Ricerca
 

1.10.2 Personale universitario di altre Università
 

1.10.3 Titolari di borse ex L. 398/89 art.4 (post-dottorato e specializzazione)

1.10.4 Titolari di borse per Dottorati di Ricerca

1.10.5 Personale a contratto da destinare a questo specifico programma

1.10.6 Personale extrauniversitario dipendente da altri Enti

In italiano

ANALISI ASINTOTICA IN TEORIE CINETICHE ED APPLICAZIONI

In inglese

ASYMPTOTIC ANALYSIS IN KINETIC THEORIES AND APPLICATIONS

In italiano

1. Analisi asintotica in teoria cinetica con processi anelastici.
Alla fine degli anni '70 Mika [1] adatto` la procedura di Chapman-Enskog ad una classe di equazioni lineari di evoluzione. Questa nuova procedura asintotica, chiamata compressa, [2] fu applicata ad equazioni cinetiche lineari per vari sistemi fisici, mostrando come il metodo conduce all'equazione di diffusione senza riscalare anche il tempo. Questo metodo risulta rigoroso e potente, e puo` essere applicato a situazioni piu` generali, in presenza di un termine di acce- lerazione, per esempio per modelli matematici di semiconduttori.
[1] J.R.Mika, New asymptotic expansion algorithm for singularly perturbed evolution equations, Math.Methods in the Appl.Sci. 3, 172-188 (1981)
[2] J.R.Mika and J.Banasiak, Singularly perturbed evolution equations with applications to kinetic theory, World Scientific, Singapore 1995.
2. Equazione di Vlasov. Applicazioni ai semiconduttori.
La letteratura sui modelli matematici di semiconduttori in forma differenziale (drift-diffusion) ed in forma integro-differenziale (Boltzmann) e` molto estesa. In particolare il libro di Markowich [3] e la letteratura ivi citata sono senz'altro un punto di partenza per conoscere lo stato dell'arte sull'argomento. A causa della micro-struttura dei semiconduttori e` di notevole interesse lo studio matematico dell'equazione di Boltzmann-Vlasov in domini finiti con condizioni al contorno assegnate. Per quanto a nostra conoscenza, la letteratura sull'argomento si concentra sugli aspetti fisici del problema, senza un adeguato sviluppo matematico.
[3] P.Markowich, Ch.A.Ringhofer, Ch.Schmeiser, Semiconductor equations, Springer
Verlag, Wien, 1990.
3. Problemi di diffusione di contaminante.
La modellizzazione dei processi di contaminazione di superfici e di sostanze e` solitamente basata su equazioni paraboliche. In ambienti costituiti da mezzi rarefatti diventa importante tenere conto delle direzioni delle particelle contaminanti e quindi si fanno preferire modelli cinetici di trasporto. La analisi con questi tipi di modelli ha inizio con il lavoro di Belleni-Morante e Busoni [4] ed e` proseguita con l'aiuto di coautori partecipanti a questo progetto. E` opportuno confrontare il modello cinetico, con modelli diffusivi ottenuti mediante analisi asintotica e studiare gli effetti di superficie di separazione, cioe` di strati di spessore piccolo.
[4] A. Belleni-Morante and G. Busoni, Outgassing and contamination: strict solution of a Boltzmann-like model, Math. Meth. Appl Sci., 16 (1993) 799-817.
4. Operatori d'onda e di scattering.
Gli operatori d'onda sono ben noti e di largo interesse in meccanica quantistica, tuttavia i loro aspetti matematici (studio di evoluzioni isometriche) hanno richiamato l'attenzione di studiosi di teorie cinetiche fin dal lavoro di Hejtmanek [5], relativo all'equazione del trasporto di Boltzmann lineare, al quale hanno fatto seguito lavori di Simon, Protopopescu, Voigt. Piu` recentemente Arlotti, Busoni, Frosali, van der Mee, hanno considerato l'esistenza di operatori d'onda in problemi di runaway di elettroni (vedere ad es. [6]). Infine Busoni [7] ha esaminato l'esistenza di operatori d'onda in problemi di scambio di cariche.
[5] J. Hejtmanek, Scattering theory of the linear Boltzmann operator, Comm. Math. Phys., 43 (1975) 109-120
[6] G. Busoni and G. Frosali, Asymptotic scattering operators and drift velocity in a charged particles transport problem, J. Math. Phys., 34 (1993) 4668-4691
[7] G. Busoni, Asymptotic behaviour and wave operators in charge exchange, J. Math. Anal. Appl., 212 (1997) 190-208
5. Problemi di runaway.
L'analisi dei fenomeni di runaway ha sempre riguardato, o l'andamento asintotico delle soluzioni [8] od il calcolo dei flussi di runaway e delle funzioni di distribuzione per tempi finiti,[9] spesso con tecniche numeriche. Mancano ancora espressioni esplicite, approssimate o meno, che descrivano l'evoluzione delle grandezze fisiche globalmente nel tempo. Un altro punto da sviluppare riguarda i modelli tipo Fokker-Planck [10] ed i modelli fluidi che prevedono che l'insorgere di runaway sia legato all'intensita` del campo elettrico, mentre in quelli integro-differenziali tipo Boltzmann l'insorgere di runaway e` legato all'andamento della frequenza di collisione per grandi energie.
[8] G.Frosali and C.van der Mee, Scattering theory relevant to the linear transport of particle swarms, J.Stat.Phys. 56, 139-148 (1989)
[9] M.D. Kruscal and I.B. Bernstein, Runaway electrons in an ideal Lorentz plasma, Phys.Fluids 7, 407-418 (1964)
[10] N. Corngold and D. Rollins, Diffusion with varying drag. The runaway problem. I, Phys.Fluids 29, 1042-1048 (1986)

In inglese

1. Asymptotic analysis of inelastic kinetic processes.
At the end of 1970's Mika [1] adapted the Chapman-Enskog asymptotic procedure to a class of linear evolution equations. This new compressed asymptotic expansion [2] was applied to linear kinetic equations for various physical systems showing how the method yields the diffusion equation without any time rescaling. This rigorous and powerful approach can be applied to more general situations, in presence of an acceleration term, for example to mathematical semiconductor models.
[1] J.R.Mika, New asymptotic expansion algorithm for singularly perturbed evolution equations, Math.Methods in the Appl.Sci. 3, 172-188 (1981)
[2] J.R.Mika and J.Banasiak, Singularly perturbed evolution equations with applications to kinetic theory, World Scientific, Singapore 1995.
2. The Vlasov equation. Applications to semiconductor.
The literature about mathematical models of semiconductors in differential form (drift-diffusion) and in integro-differential form (Boltzmann) is wide. In particular, the book of Markowich [3] is, with no doubt, a good basis for knowing the state of art on the argument. Due to the micro-structure of semiconductors, the mathematical investigation of Boltzmann-Vlasov equation in bounded domains with assigned boundary conditions is of remarkable interest.
To our knowledge, the literature about this problem is focused on the physical aspects, without an adequate mathematical development.
[3] P.Markowich, Ch.A.Ringhofer, Ch.Schmeiser, Semiconductor equations, Springer
Verlag, Wien, 1990.
3. Diffusion of pollutants.
Standard models of contamination processes of surfaces and materials are based on parabolic equations. However, in environments constituted by a rarefied medium it becomes important to take into account the directions of contaminant particles. In such situations, then, transport and Boltzmann-like models should substitute the standard approach. The transport treatment of contamination problems started with the work of Belleni-Morante and Busoni [4] and was carried on by other authors participating to this Project. It is interesting to compare, by means of the asimptotic analysis, the results obtained with a kinetic approach with those obtained with diffusion-based models. In particular, it is of some interest the study of the effects on the separation surfaces, i.e., thin layers.
[4] A. Belleni-Morante and G. Busoni, Outgassing and contamination: strict solution of a Boltzmann-like model, Math. Models Meth. Appl Sci., 16 (1993) 799-817.
4. Wave and scattering operators.
Wave operators are well known and of large interest in quantum mechanics. However, their mathematical aspects (study of isometric evolutions) captured the attention of researcher on kinetic theories since the work of Hejtmanek [5], concerning transport (linear Boltzmann) equation. This was followed by works of Simon, Protopopescu, Voigt. More recently, Arlotti, Busoni, Frosali, van der Mee, considered the existence of wave operators in electrons runaway problems (see e.g. [6]). Finally, Busoni [7] investigated the existence of wave operators in charge exchange problems.
[5] J. Hejtmanek, Scattering theory of the linear Boltzmann operator, Comm. Math. Phys., 43 (1975) 109-120
[6] G. Busoni and G. Frosali, Asymptotic scattering operators and drift velocity in a charged particles transport problem, J. Math. Phys., 34 (1993) 4668-4691
[7] G. Busoni, Asymptotic behaviour and wave operators in charge exchange, J. Math. Anal. Appl., 212 (1997) 190-208
5. Runaway processes.
The analysis of runaway phenomena has always concerned either the asymptotic behaviour of solutions [8], or the computation of runaway fluxes and distribution functions for finite times [9], usually by means of numerical techniques. Explicit expressions, possibly approximated, which describe the global evolution in time of physical quantities are still lacking. Another aspect to be developed concerns Fokker-Planck-like models [10]and models of fluids in which the runaway phenomenon is related to the intensity of electric field, while in integro-differential models (Boltzmann-like) it is related to the behaviour of collision frequency at high energies.
[8] G.Frosali and C.van der Mee, Scattering theory relevant to the linear transport of particle swarms, J.Stat.Phys. 56, 139-148 (1989)
[9] M.D. Kruscal and I.B. Bernstein, Runaway electrons in an ideal Lorentz plasma, Phys.Fluids 7, 407-418 (1964)
[10] N. Corngold and D. Rollins, Diffusion with varying drag. The runaway
problem. I, Phys.Fluids 29, 1042-1048 (1986)

In italiano

1. Analisi asintotica in teoria cinetica con processi anelastici.
Questo programma riguarda l'applicazione del metodo modificato di Chapman-Enskog alla derivazione delle equazioni fluidodinamiche dalle equazioni cinetiche per alcuni modelli di gas debolmente o fortemente ionizzati.Lo scopo principale e' lo studio di modelli di trasporto di particelle cariche con scattering di tipo anelastico, e quelli simili che compaiono nei modelli per semiconduttori, dove il nucleo di collisione ha dimensione infinita. I nuclei di collisione anelastici includono le leggi di microreversibilta`. Si intende applicare il metodo modificato di Chapman-Enskog ad equazioni per semiconduttori, allo scopo di ottenere prima formalmente le equazioni per la parte idrodinamica e per la parte cinetica, poi, risolvendo il problema per piccoli tempi, di assegnare con l'approssimazione voluta la nuova condizione iniziale per l'equazione diffusiva. Si vuole anche applicare il metodo di Chapman-Enskog compresso alla derivazione dell'approssimazione diffusiva per l'equazione lineare di Boltzmann, per un modello che comprende sia collisioni elastiche che collisioni anelastiche; in questo contesto si intende anche esplorare la possibilita` di uno scaling diverso dell'operatore elastico da quello anelastico con il parametro epsilon che definisce il limite asintotico. Si vuole compiere tale studio prima nel limite del gas di Lorentz per poi estenderlo a modelli piu` generali. Si vuole iniziare lo studio di approssimazioni diffusive dell'equazione di Boltzmann mediante il metodo di Chapman-Enskog compresso a casi non ancora studiati per questa via (ad es. inclusione di campi magnetici, operatore di Fokker-Planck, etc.). Accanto allo studio teorico, sono in programma anche verifiche di tipo numerico.
2. Equazione di Vlasov. Applicazioni ai semiconduttori.
Si vogliono ricercare metodi e tecniche adatti per la risoluzione di problemi lineari e nonlineari nella teoria cinetica dei semiconduttori che e` basata principalmente sull'equazione di Vlasov e sull'equazione di Boltzmann (nella loro versione classica e quantistica). Verranno presi in considerazione principalmente applicazioni a semiconduttori ed a gas rarefatti in regioni limitate da bordi non regolari, periodici ed eventualmente stocastici. E` in programma l'esame degli aspetti fisici e fisico-matematici dei fenomeni di trasporto di cui sopra, cosi, da essere in grado di scegliere in modo ottimale gli spazi funzionali in cui studiare i problemi, le definizioni degli operatori e le tecniche analitiche piu` adatte a mettere in evidenza le caratteristiche fisiche dei problemi in studio. Saranno considerate approssimazioni diffusive di questi problemi nonche' lo studio teorico di un'eventuale approssimazione numerica.
3. Problemi di diffusione di contaminante.
Si ha in programma di studiare le soluzioni di equazioni stazionarie e non stazionarie per problemi di diffusione di una sostanza contaminante in una regione ospite piena di gas rarefatto avente all'estremita` un filtro a scheda. Questo problema presenta condizioni al contorno non omogenee (entrata di contaminante da un lato della regione, assorbimento del contaminante da parte del filtro ed eventuale accumulo o uscita di contaminante dall'altro lato).
Problemi correlati a questo possono presentare difficolta` matematiche rilevanti, dovute al fatto che il coefficiente di diffusione del contaminante puo` dipendere in modo non lineare dalla densita` del contaminante stesso. Si cerchera` di ottimizzare la scelta del tipo di filtro e del momento in cui cambiare il filtro per minimizzare la quantita` di contaminante presente nella regione e l'accumulo.
4. Operatori d'onda e di scattering.
L'evoluzione temporale di sistemi particellari presenta aspetti interessanti anche per tempi grandi positivi e negativi. Mimando il linguaggio della meccanica quantistica, si e` interessati a indagare condizioni sulle grandezze fisiche, tipicamente sezioni d'urto microscopiche e macroscopiche, che permettono la esistenza di comportamenti di tipo ondoso allorche' il tempo viene fatto tendere a piu' o meno infinito; si studiano cioe` gli operatori d'onda e di scattering. Tali situazioni si possono presentare nei fenomeni di runaway di particelle cariche, di scambio di carica fra ioni e neutri di pari massa, di interazioni di neutroni, e di fotoni, con agglomerati di materia diffondente, assorbente e riproducente.
5. Problemi di runaway.
Si vogliono studiare alcuni problemi ancora aperti nella descrizione matematica dei fenomeni di runaway. Nei modelli integrodifferenziali tipo Boltzmann, l'insorgere del runaway dipende dall'integrabilita` della frequenza di collisione. In regime di runaway, le soluzioni delle equazioni cinetiche tendono, asintoticamente nel tempo, a funzioni che si comportano come onde viaggianti nello spazio delle velocita`. Sotto opportune condizioni sulla frequenza di collisione, la soluzione rilassa dapprima ad uno stato quasi stazionario, al quale corrisponde un valore costante per la velocita` media. Per tempi piu` lunghi, lo stato quasi stazionario viene distrutto lentamente e la soluzione tende alla sua forma asintotica. Si vuole sviluppare un modello che offra espressioni analitiche esplicite per la dipendenza temporale delle soluzioni delle equazioni cinetiche e della velocita` media, per poi confrontare la dipendenza temporale delle soluzioni delle equazioni cinetiche in regime di runaway nel caso dei modelli integrodifferenziali tipo Boltzmann (per esempio, il termine di collisione BGK) con il caso dei modelli differenziali di collisione, tipo Fokker-Planck. In particolare, si vuole chiarire il ruolo del campo critico che compare in altri modelli.

In inglese

1. Asymptotic analysis of inelastic kinetic processes.
This project deals with the application of the modified Chapman-Enskog procedure for the derivation of the hydrodynamic equations from the kinetic equations for some models of weakly and strongly ionized gas. Our goal is to study models of charged particles transport with inelastic scattering kernels, similar to the ones that occur in the kinetic theory of semiconductors, where the collision operator has an infinite dimensional kernel. These inelastic collision kernels take into account the microreversibility relations. We intend to apply the modified Chapman-Enskog method to the semiconductor equations, in order to derive formally the equations for the hydrodynamic and the kinetic part of the distribution function and, subsequently, on the small time scale, to assign the initial condition to the diffusion equation within the desidered approximation. We also intend to apply the compressed Chapman-Enskog method to the derivation of the diffusion approximation to the linear Boltzmann equation for a model which includes both elastic and inelastic scattering; we shall also explore the possibility of a different scaling of the elastic and the inelastic operators with respect to the parameter epsilon which defines the asymptotic limit. This study is to be performed first in the Lorentz gas limit and then extended to more general models. Finally, we want to start investigating diffusion approximations to the Boltzmann equation by the compressed Chapman-Enskog method in cases which have not yet been explored in this way (e.g. inclusion of magnetic fields, Fokker-Planck operators, etc.). In addition to the theoretical studies, some numerical investigations will also be carried out.
2. The Vlasov equation. Applications to semiconductors.
We intend to look for suitable methods and techniques for the solution of linear and nonlinear problems in the kinetic theory of semiconductors, mainly based on the Vlasov or the Boltzmann equation in their classical and quantum versions. Applications to semiconductor and rarefied gases occupying regions with irregular, periodic or stochastic boundaries will be considered. We intend to address the physical and mathematical issues of the transport processes mentioned above, in order to select the most convenient functional spaces in which the problems ought to be studied, the definitions of the operators and the analytical techniques most suitable to describe the physical aspects of the problems under study. We will study diffusion approximations to these problems and also investigate theoretically the possibility of a numerical solution.
3. Diffusion of pollutants.
We intend to study the stationary and time dependent solutions of the equations describing the diffusion of a pollutant substance through a region filled with a rarefied gas having a "card-type" filter at one end. The boundary conditions in this problem are non homogeneous (in flow of pollutant on one side of the region, absorption of pollutant by the filter and possible accumulation or out flow of pollutant on the other side). This type of problems presents serious mathematical difficulties, due to the nonlinear dependence of the diffusion coefficient of the pollutant upon the density of the pollutant itself. We will optimize the choice of the type of filter and of the changing schedule of the filter in order to minimize the amount of contaminant present in the region and avoid its accumulation.
4. Wave and scattering operators.
An interesting aspect of the time evolution of particle systems is the asymptotic behaviour for large positive and negative times. Borrowing the terminology of quantum mechanics, we intend to investigate under which conditions on the physical quantities, typically microscopic and macroscopic cross sections, the asymptotic time behaviour, as time goes to plus or minus infinity, is described by wave or scattering operators. These situations occur, for example, in runaway processes, charge exchange processes between ions and neutral particles of equal masses, interactions of neutrons and photons with aggregates of diffusing, absorbing and multiplicative media.
5. Runaway processes
We intend to investigate some open problems in the mathematical description of runaway phenomena. In the integrodifferential, Boltzmann-type models, the occurrence of runaway depends upon the integrability of the collision frequency. In runaway regime, the solutions of the kinetic equations tend, asymptotically in time, to functions which behave like travelling waves in velocity space. Under suitable conditions on the collision frequency, the collision first relaxes to a quasi steady state in which the average velocity has a constant value. On a longer time scale, the quasi steady state is slowly destroyed and the solution tends to the asymptotic form. We intend to develop a model which yields explicit expressions for the time dependence of the solutions of the kinetic equations and for the average velocity, which are valid globally in time. Subsequently, we want to use such expressions in order to compare the time behaviour of the solutions of the kinetic equations in runaway regime in the case of integrodifferential Boltzmann-type models (for example, the BGK collision model) and in the case of differential, Fokker-Planck type, collision models. In particular, we want to clarify the role of the critical field which appears in some of the models.

ATTREZZATURA I

Descrizione

In italiano

In inglese

valore presunto: (milioni)

ATTREZZATURA II

Descrizione

In italiano

In inglese

valore presunto: (milioni)

3.1 Costo complessivo del Programma dell’Unità di Ricerca
 

Voce di spesa	Spesa in milioni	Descrizione
		In italiano	In inglese
Materiale inventariabile	13,000	Libri, software e hardware	Books, software and hardware
Grandi Attrezzature
Materiale di consumo	3,000	Carta, cancelleria, cartucce, etc.	Paper, stationary, refils, etc.
Spese per calcolo ed elaborazione dati	2,000	Rimborso centro di calcolo	Computing center reimbursement
Personale a contratto
Servizi esterni	12,000	Dattiloscrittura, reprints, etc.	Typing, reprints, etc.
Missioni	18,000	Comprende contatti con collaboratori stranieri	Inclusive contacts with foreign coworkers
Altro	10,000	Comprende contatti con collaboratori stranieri	Inclusive contacts with foreign coworkers

QUADRO RD
 

4.1.1 Altro

QUADRO RA

4.2.1 Altro