1. Area Scientifico Disciplinare principale	01: Scienze matematiche
2. Coordinatore Scientifico del programma di ricerca	CERCIGNANI Carlo
- Università	Politecnico di MILANO
- Facoltà	Facolta' di INGEGNERIA
- Dipartimento/Istituto	Dip. MATEMATICA
3. Titolo del programma di ricerca	Problemi matematici delle teorie cinetiche

4. Responsabile Scientifico dell'Unità di Ricerca	FROSALI Giovanni
- Università	Universita' degli Studi di FIRENZE
- Facoltà	Facolta' di INGEGNERIA
- Dipartimento/Istituto	Dip. MATEMATICA APPLICATA
5. TITOLO del programma dell'unità di ricerca	ANALISI ASINTOTICA IN TEORIE CINETICHE ED APPLICAZIONI
6. SETTORE principale dell'unità di ricerca:	A03X
7. Finanziamenti assegnati all'unità di ricerca:
- Quota Ateneo	17.400.000 Lire
- Quota MURST	40.400.000 Lire
- Finanziamento totale	57.800.000 Lire

Il progetto di ricerca ha riguardato aspetti teorici ed applicati relativi ai seguenti temi:

1. Analisi asintotica per problemi di trasporto con scattering elastico ed anelastico
2. Modelli matematici e numerici dei dispositivi a semiconduttore basati sull'utilizzo della funzione di Wigner.
3. Teoria della radiazione e trasporto aleatorio
4. Dinamica di sistemi a molte particelle
5. Studio delle soluzioni del sistema di Vlasov-Poisson
6. L'equazione di Vlasov
7. Teoria dei semigruppi e delle equazioni di evoluzione: modelli di trasporto con scambio di carica e modelli di tipo biologico.


Gli obiettivi principali di questa ricerca sono stati l'analisi e l'applicazione di metodi fisico-matematici basati su tecniche di analisi funzionale, di analisi asintotica, di teoria dei semigruppi, con lo scopo di ottenere risultati di esistenza, unicità, regolarità, comportamento asintotico, ecc. per modelli che nascono nelle teorie cinetiche.

1. Analisi asintotica per problemi di trasporto con scattering elastico ed anelastico.

Nel campo dell'analisi asintotica per equazioni cinetiche di trasporto, l'obiettivo primario e' stato lo studio di metodi di analisi asintotica applicati a modelli cinetici in cui le collisioni sono sia di tipo elastico che anelastico. Principalmente si e' considerato l'analisi asintotica per modelli cinetici con scattering anelastico che per la non limitatezza del termine collisionale necessita di una analisi matematica particolare. Allo scopo teorico si è aggiunto anche quello numerico, basato su una serie di simulazioni e confronti. Si è indagato il metodo di Chapman Enskog compresso per la derivazione di approssimazioni idrodinamiche/diffusive dell'equazione di Boltzmann con collisioni anelastiche. La presenza di un termine anelastico ha portato a notevoli difficoltà di tipo analitico nell'applicare la procedura di Chapman-Enskog in spazi di tipo L1, a causa della non limitatezza del termine collisionale, e la dimensione infinita del nucleo di tale termine. Sono stati ottenuti risultati rigorosi di approssimazione, che sono stati poi validati anche numericamente. Inoltre nello studio delle approssimazioni diffusive dell'equazione di Boltzmann con scalature diverse degli operatori di collisione elastico ed anelastico, si è dimostrato come i due limiti conducono ad approssimazioni diffusive completamente diverse.
In questo settore, i risultati conclusivi, relativi all'analisi asintotica in teoria cinetica estesa, sono stati raccolti in un lavoro di review "Interplay of elastic and inelastic scattering operators in extended kinetic models and their hydrodynamic limits-reference manual". Il lavoro contiene un manuale di riferimento dal quale si possono derivare i limiti idrodinamici corrispondenti a varie situazioni fisiche.

2. Modelli matematici e numerici dei dispositivi a semiconduttore basati sull'utilizzo della funzione di Wigner.

Questo punto del programma di ricerca riguarda la formulazione di modelli matematici e numerici di trasporto per lo studio di dispositivi a semiconduttore mediante l'utilizzo della funzione di Wigner. Ci sono molti problemi ancora aperti sulle applicazioni del formalismo di Wigner a sistemi finiti. La funzione di Wigner e' definita per sistemi statistici quantistici mediante una particolare trasformazione della funzione d'onda, trasformazione che comprende integrazioni nella variabile spaziale su intervalli infiniti. Questo rende problematica l'applicazione a sistemi finiti. In particolare, non e' chiaro quali siano le condizioni al contorno appropriate da assegnare alle equazioni cinetiche.

L'attività del gruppo di ricerca in questo settore è stata indirizzata, in parte, allo studio dell'equazione di Wigner in domini spaziali limitati e si e' focalizzata sulle problematiche relative alle condizioni al contorno. E' stato condotto uno studio di buona posizione per condizioni semiclassiche di tipo "inflow" oggi largamente utilizzate e studiate, e che permettono di aggirare l'ostacolo dell'assegnazione delle condizioni al contorno. La buona posizione delle condizioni "inflow" per l'equazione stazionaria e' stata finora dimostrata solo introducendo un'artificiosa ipotesi di cut-off sulle velocita'. In un lavoro in collaborazione con J.Banasiak si e' studiato il problema senza tale ipotesi, gettando le basi per la sua completa risoluzione. D'altra parte si e' investigata la possibilità di assegnare condizioni al contorno alternative, che contengano un'informazione fisica piu' aderente all'effettiva situazione reale rispetto a quella fornita dalle condizioni semiclassiche. Si e' iniziato l'applicazione ad un dispositivo detto Resonant Interband Tunneling Diode, con simulazioni numeriche e confronto coi dati sperimentali (in collaborazione con il Dipartimento di Elettronica dell'Università di Firenze).
Il Resonant Interband Tunneling Diode (RITD) e' un dispositivo di grande interesse, che si differenzia dall'RTD principalmente per il fatto che gli elettroni di valenza giocano un ruolo determinante nel controllare il flusso di corrente. I risultati sperimentali evidenziano l'esistenza di regioni multiple con resistivita' differenziale negativa (Swexu, 1989). Il calcolo delle curve teoriche di corrente mediante l'uso delle probabilita' quantistiche di transizione nell'ambito del modello di Kane e' in corso di studio.
L'equazione cinetica che governa l'evoluzione temporale della funzione di Wigner in assenza di collisioni e' l'equazione di Liouville. Se si tiene conto del campo autoconsistente, si ottiene il sistema di Wigner-Poisson (WP), che, nel limite classico, diventa il sistema di Vlasov-Poisson (VP). Molti dei metodi numerici che si usano per il sistema di VP sono quindi adattabili al sistema di WP con poche modifiche soltanto. In particolare, poiche' l'equazione di Liouville per la funzione di Wigner contiene un operatore pseudo-differenziale, al posto del termine di accelerazione dell'equazione di Boltzmann o Vlasov, i metodi numerici che utilizzano le trasformate di Fourier sono immediatamente utilizzabili per il sistema di WP.
Fino ad ora, sono stati affrontati due problemi:
1) la soluzione numerica del sistema di WP mediante lo splitting scheme;
2) la definizione della funzione di Wigner per un insieme di elettroni il cui moto avviene sotto l'azione del potenziale periodico del cristallo e l'equazione di evoluzione tenendo conto dell'accoppiamento fra bande.
I risultati ottenuti per questi due punti sono i seguenti.
1) Soluzioni numeriche del sistema di Wigner-Poisson.
Abbiamo scritto e testato un programma che risolve numericamente l'equazione di Wigner. L'algoritmo utilizzato e' una semplice generalizzazione della versione Fourier-Fourier dello splitting scheme (Klimas e Farrell, 1994). L'inclusione del campo autoconsistente e delle collisioni e' ancora in corso. Il programma e' stato testato su alcuni semplici sistemi quantici, quali la trasmissione e la riflessione di un insieme di particelle da una barriera di potenziale di altezza ed ampiezza variabili. Il codice e' stato impiegato sia nel regime fortemente quantistico, dove dominano gli effetti di interferenza, sia in quello debolmente quantistico, dove il comportamento e' vicino a quello classico.
2. Funzione di Wigner a piu' bande.
La funzione di Wigner per un insieme statistico di elettroni che si muovono sotto l'azione del potenziale periodico del cristallo e' solitamente definita soltanto per la popolazione della banda di conduzione nell'ambito dell'approssimazione della massa efficace. La struttura delle equazioni cinetiche e' la stessa che nel caso di elettroni liberi sotto un potenziale esterno, struttura che chiameremo di tipo Vlasov. L'effetto del potenziale periodico e' rappresentato dalla massa efficace nel termine di streaming, mentre il campo esterno appare nell'operatore pseudo-differenziale. Gli effetti di non-parabolicita' della banda non vengono considerati. Generalizzando un risultato precedente (Markowich et al. 1994), ottenuto per una singola banda, abbiamo definito la funzione di Wigner per un insieme statistico di elettroni con un numero di bande qualsiasi e di forma arbitraria. Se si prendono in considerazione M bande, la funzione di Wigner e' una somma di M^2 termini caratterizzati da un doppio indice di banda. Abbiamo scritto l'equazione di evoluzione temporale esatta in assenza di campo esterno per ciascuno di questi termini e ne abbiamo anche ricavato le approssimazioni di massa efficace. L'approssimazione di massa efficace e' molto importante per le applicazioni pratiche, perche' le equazioni esatte hanno una struttura molto differente dalla solita struttura di tipo Vlasov e sono difficili da risolvere. L'inclusione del campo esterno e' in fase di studio.

3. Teoria della radiazione e trasporto aleatorio

Si sono studiati problemi di trasporto di radiazione con fenomeni di aleatorieta' nel background e/o nelle sorgenti. Problemi di questo tipo sorgono in astrofisica (trasporto di radiazione nel mezzo interstellare o intergalattico), in ingegneria nucleare (efficienza dei reattori a fusione, stima dell'efficacia delle schermature) e in fisica medica (comportamento dei traccianti radioattivi). Sono stati presi in considerazione modelli in cui l'informazione probabilistica e' contenuta in un numero finito di variabili aleatorie reali. Per tali modelli è stata studiata una formulazione matematica rigorosa nell'ambito dell'analisi funzionale. Cio' ha permesso di dimostrare teoremi di buona posizione e di comportamento asintotico, prima assenti dalla letteratura. Inoltre si e' potuto studiare in maniera piu' chiara ed efficace il cosidetto "problema della media". Tale problema, di fondamentale importanza applicativa, consiste nel formulare una gerarchia di equazioni di evoluzione alle quali ubbidisca, con accuratezza arbitraria, il valore atteso della soluzione. Sono stati proposti e implementati metodi che hanno dimostrato una buona efficienza rispetto ai metodi tradizionali. L'attenzione si e' focalizzata sulle applicazioni di tipo astrofisico e in quest'ambito è stata condotta un'analisi di confronto con differenti tipi di approccio già presenti in letteratura, i quali si basano fondamentalmente sulla teoria dei processi Markoviani e sul cosiddetto "metodo dello smoothing". La ricerca condotta fino a questo momento ha aperto la strada a temi di ricerca che sono attualmente affrontati come problemi inversi, stime e disuguaglianze, implementazioni numeriche.

4. Dinamica dei sistemi a molte particelle

Gli stati di sistemi con infinite particelle interagenti sono descritti da successioni di funzioni di distribuzione ridotte che devono soddisfare una successione infinita di equazioni lineari integro-differenziali, conosciute come gerarchia di Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon (BBGKY). Ovvio l'interesse di tale teoria nel problema della derivazione rigorosa delle equazioni di tipo cinetico, come l'equazione di Boltzmann o l'equazione del trasporto (Boltzmann lineare). In quest'ambito si sono condotte ricerche sui cosiddetti modelli a velocita' discrete (DVM) per l'equazione di Enskog, che descrive il comportamento di un gas moderatamente denso. Sono state affrontate tematiche di tipo puramente modellistico nonche' di tipo analitico, legate alle proprieta' di generazione di semigruppo dei DVM. Gli obiettivi della ricerca erano lo studio della convergenza delle equazioni dinamiche a quelle cinetiche, il comportamento asintotico e lo studio di limiti idrodinamici.
L'approccio esatto fornito dalle gerarchie di equazioni del tipo BBGKY e` stato applicato allo studio del problema di evoluzione per le osservabili fisiche associate a sistemi di particelle classiche, di numero finito o infinito. La versione astratta di tale sistema di equazioni e` stata studiata con metodi della teoria di semigruppi di operatori, raggiungendo risultati di esistenza globale ed unicita`.


5. Studio delle soluzioni del sistema di Vlasov-Poisson.

L'obiettivo di questa ricerca è stato quello di proseguire lo studio numerico sull'andamento delle soluzioni per tempi lunghi, poiche' è ancora aperta la congettura sull'andamento per tempi lunghi delle soluzioni del sistema di Vlasov-Poisson con condizioni iniziali vicine ad equilibri di Vlasov. Alcuni risultati numerici (Shoucri, Demeio, Klimas) indicano che la soluzione asintotica può essere bene descritta da sovrapposizioni di modi BGK con velocità di fase vicine a quelle date dalla teoria lineare. E' stata formulata di recente una teoria in cui si introduce un principio di sovrapposizione nonlineare di modi BGK che potrebbe spiegare in prima approssimazione tali stati asintotici (Buchanan e Dorning 1992-95). In questa ricerca si e' studiato numericamente l'evoluzione temporale di queste sovrapposizioni nonlineari determinata dalla dinamica di Vlasov. Fra i risultati si è confermato numericamente la validità del principio di sovrapposizione nonlineare di Buchanan e Dorning. L'evoluzione temporale di questi stati secondo la dinamica di Vlasov mostra andamenti molto vicini a quelli osservati numericamente nelle soluzioni del sistema di Vlasov-Poisson con condizioni iniziali vicine all'equilibrio Maxwelliano.

6. Equazione di Vlasov
L'equazione di Vlasov modella il trasporto di particelle che si muovono nel vuoto sotto l'azione di un campo elettrico e/o magnetico. Interessi recenti nel campo dei semiconduttori sono stati rivolti allo studio di tale equazione in un dominio limitato, poichè differenti tipi di condizioni al contorno, per descrivere differenti comportamenti fisici, necessitano di ulteriori studi matematici.
Nell'ambito dell'analisi asintotica per modelli di trasporto in regioni limitate, è stato studiato un problema che nasce dalla modellizzazione di un thruster ionico. Questa ricerca in collaborazione con P.Degond dell'Università di Toulouse ha avuto l'obiettivo di presentare una derivazione matematicamente rigorosa di una equazione di diffusione precedentemente introdotta per modellare la diffusione di particelle cariche che si muovono fra due piani paralleli. Le particelle sono soggette a campi elettrici e magnetici e a collisioni elastiche contro la superficie delle lastre solide. In questo primo approccio si trascurano le collisioni delle particelle cariche contro le particelle neutre del mezzo ospite (gas ionizzato). Cosi' l'equazione in studio è l'equazione di Vlasov con condizioni al contorno con un coefficiente di "accomodazione". Con un appropriato scaling, la funzione distribuzione delle particelle converge ad una funzione dell'energia e delle sole coordinate di posizione londitudinali, che evolve nel tempo in accordo all'equazione di diffusione.

La ricerca e' proseguita con lo studio dell'equazione di Vlasov unidimensionale con campo elettrico costante ed in assenza di campo magnetico accoppiata a condizioni al contorno non omogenee che descrivono il flusso entrante di particelle in una regione limitata.
E' stata studiata l'esistenza , l'unicita' e la positivita' di una soluzione del problema approssimandolo con problemi di evoluzione governati da operatori ellittici dandone anche una forma esplicita. Lo stesso tipo di problema e' stato studiato con condizioni al contorno piu' complicate che mettono in relazione i flussi entranti e uscenti di particelle.
Studiando questo tipo di problemi sono emersi vari problemi matematici legati alla forma dell'operatore di trasporto in domini limitati ma con velocita' non limitate. In questo caso, usando tecniche di semigruppi integrati e C-semigruppi e' stata dimostrata esistenza, unicita' e positivita' della soluzione di un problema di trasporto in un dominio limitato con velocita' non limitate e con condizioni al contorno lineari e non lineari sia di tipo dissipativo-conservativo che di tipo moltiplicante. Questo tipo di problematiche ha suggerito nuovi approcci e studi analitico-funzionali che sono stati fatti per trovare la soluzione di problemi di evoluzione governati da operatori non lineari che hanno proprieta' simili ad operatori di trasporto con particolari condizioni al contorno.

7. Teoria dei semigruppi e delle equazioni di evoluzione: modelli di trasporto con scambio di carica e modelli di tipo biologico.

Parallelamente ai temi di ricerca sopra esposti sono stati approfonditi alcuni aspetti di matematica pura ad essi collegati. Questi vertono essenzialmente sulla teoria degli operatori e sulle equazioni di evoluzione in spazi di Banach. In particolare sono stati condotti studi sui semigruppi integrati, sugli operatori affini e le relative equazioni di evoluzione, sulle applicazioni del teorema di generazione di Arendt, sulle equazioni di evoluzione aleatorie regolari, sugli operatori d'onda e di scattering in spazi di Banach. In particolare sono stati approfonditi argomenti della teoria classica del trasporto con metodi dell'analisi funzionale. Tali argomenti comprendono problemi al contorno per l'equazione di Boltzmann lineare per modelli con condizioni al contorno non-locali e semitrasparenti e per modelli a due popolazioni di particelle con scambio di carica. Gli aspetti applicativi che hanno indirizzato le ricerche riguardano fra l'altro la biomatematica (evoluzione di popolazioni a piu' stadi biologici) e l'astrofisica (trasporto di radiazione nel mezzo interstellari). Riguardo alla modelizzazione dello scambio di carica in un gas monoatomico ionizzato, si e' applicata la teoria dello scattering alla sua dinamica. La dinamica libera corrisponde all'evoluzione della distribuzione totale delle particelle e la dinamica perturbata corrisponde all'evoluzione delle particelle neutre, che e' soluzione del problema di trasporto nonautononomo. Si e' applicato il formalismo di Howland per costruire una teoria dello scattering stazionaria per questo problema di trasporto nonautonomo, studiando l'equazione di evoluzione che ne deriva. Si prova l'esistenza degli operatori d'onda, analizzando la similarita' fra gli operatori perturbato ed imperturbato. Nel campo della biomatematica si e' formulato un modello matematico di una popolazione di individui caratterizzati dal sesso. Si e' tenuto conto del concepimento come conseguenza di accoppiamenti fra i due sessi, con un periodo di gestazione che introduce un tempo di ritardo nel sistema di equazioni integrodifferenziali. Il modello consiste di un sistema di due equazioni nonlineari alle derivate parziali che sono nonlinearmente accoppiate attraverso le condizioni al contorno legate al tasso di nascita. Ulteriori generalizzazioni del modello sono considerate dividendo le sottopopolazioni dei due sessi in fertili e non fertili, ottenendo sistemi con piu' alto numero di funzioni di distribuzione dipendenti.
E` stato iniziato lo studio di un gas costituito da elettroni e polveri cariche di nessuno, uno o piu' elettroni, tenendo conto della possibilita' di coagulazione ed evaporazione delle cariche elementari sui granelli di polvere.

1.	BANASIAK J.; FROSALI G.; SPIGA G.; 2000; Inelastic scattering models in transport theory and their small mean free path analysis; Rivista: Math. Methods Appl. Sci.; Volume: 23; pp.: 121-145
2.	BANASIAK J.; FROSALI G.; SPIGA G.; 2000; Interplay of elastic and inelastic scattering operators in extended kinetic models and their hydrodynamic limits - reference manual; Rivista: Transport Theory Statist. Physics; (submitted)

1.	AIELLO S., BARLETTI L.,BELLENI-MORANTE A., CECCHI-PESTELLINI C., ; 2000; Mathematical methods for photon transport in random media ; Rivista: J.Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer ; Volume: 65; pp.: 835-851
2.	S.MANCINI and S.TOTARO,; 2000; Vlasov equation with non-homogeneous boundary conditions; Rivista: Math. Methods Appl.Sci.; Volume: 23(7); pp.: 601-614

La ricerca in oggetto e' principalmente di tipo teorico e quindi i risultati ottenuti sono tutti reperibili su pubblicazioni, molte gia' stampate su riviste scientifiche, altre in corso di stampa.

Si elencano qui le principali riviste su cui sono reperibili i risultati di questa ricerca:
Transport Theory and Statistical Physics
Mathematical Methods and Models in the Applied Sciences
Mathematical Methods in the Applied Sciences
J.Statistical Physics
IMA Journal of Applied Mathematics
Asymptotic Analysis
Nonlinear Analysis
Advances in Mathematical Sciences and Applications
Applicationes Mathematicae
J. of Fluids and Structures
Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena
Rend. Seminario Univ. Milano
Rend. Circolo Matematico Palermo
Riv. Mat. Univ. Parma
J.of Quantititative Spectroscopy and Radiative Transfer
New Astronomy
etc.

All'indirizzo
http://www.dma.unifi.it/~frosali/cofin98/biblio/pub9800.htm
e' possibile trovare l'elenco completo delle pubblicazioni degli afferenti all'Unita' di Ricerca di Firenze, nel periodo 1998-2000.

Altre risultati sono reperibili sugli Atti di Convegni Nazionali ed Internazionali, a cui hanno partecipato gli afferenti all'Unita' di Ricerca.


Inoltre poiche' uno degli aspetti della ricerca riguardava le soluzioni numeriche del sistema di Wigner-Poisson, e' stato scritto e testato un programma che risolve numericamente l'equazione di Wigner. L'algoritmo utilizzato e' una semplice generalizzazione della versione Fourier-Fourier dello splitting scheme (Klimas e Farrell, 1994). Il programma e' stato testato su alcuni semplici sistemi quantici, quali la trasmissione e la riflessione di un insieme di particelle da una barriera di potenziale di altezza ed ampiezza variabili. Il codice e' stato impiegato sia nel regime fortemente quantistico, dove dominano gli effetti di interferenza, sia in quello debolmente quantistico, dove il comportamento e' vicino a quello classico. Il codice puo' essere usato per simulare il Resonant Tunneling Diode. Questo algoritmo dovrebbe risultare piu' efficace ed economico degli altri algoritmi esistenti, quasi tutti basati sui metodi agli elementi finiti.

nº	Cognome	Nome	Qualifica	Facoltà	Dipartimento/Istituto Università	mesi uomo dal modello		mesi uomo effetiv. impegnati		Nota
						I anno	II anno	I anno	II anno
1.	BORGIOLI	Giovanni	Prof. Associato	Facolta' di INGEGNERIA	Dip. ELETTRONICA E TELECOMUNICAZIONI Univ. FIRENZE	11	11	11	11
2.	BUSONI	Giorgio	Prof. Ordinario	Facolta' di SCIENZE MATEMATICHE FISICHE e NATURALI	Dip. MATEMATICA "ULISSE DINI" Univ. FIRENZE	11	11	11	11
3.	DEMEIO	Lucio	Ricercatore	Facolta' di INGEGNERIA	Dip. MATEMATICA Univ. ANCONA	11	11	11	11
4.	FROSALI	Giovanni	Prof. Ordinario	Facolta' di INGEGNERIA	Dip. MATEMATICA APPLICATA Univ. FIRENZE	11	11	11	11
5.	TOTARO	Silvia	Prof. Associato	Facolta' di SCIENZE MATEMATICHE FISICHE e NATURALI	Dip. MATEMATICA Univ. SIENA	11	11	11	11

nº	Cognome	Nome	Qualifica	Facoltà	Dipartimento/Istituto Università/Ente	mesi uomo effetiv. impegnati		Nota
						I anno	II anno
1.	MANCINI	Simona	PostDot	SCIENZE MATEMATICHE FISICHE e NATURALI	Univ. di Siena	11	11
2.	MATUCCI	Serena	Ricercatore	INGEGNERIA	Univ. di Firenze	11	5
3.	BARLETTI	Luigi	Ricercatore	SCIENZE MATEMATICHE FISICHE e NATURALI	Univ. di Firenze	11	11

nº	Cognome	Nome	Qualifica	Facoltà	Dipartimento/Istituto Università	Inizio del contratto	Durata del contratto in mesi	Costo in lire	mesi uomo		Data comunicazione al MURST	Nota
									I anno	II anno
								0

I dott. Luigi Barletti e Serena Matucci erano post-dottorandi all'epoca della domanda. Attualmente sono ricercatori presso l'Universita' di Firenze e sono stati inseriti in "Altro personale" perche' non inseribili nel primo elenco.

La Dott.ssa Simona Mancini, dopo il dottorato ottenuto presso l'Univ. di Firenze, consorziata con l'Universita' di Siena, ha trascorso l'ultimo periodo di studio in Francia.

I proff. Banasiak Jacek (Natal University - SA) e Palczewski Andrzej (Warsaw University - Poland) hanno collaborato alle ricerche dell'Unita' di Firenze, come testimoniato dai lavori in collaborazione e dalle brevi visite in Italia.

	(mesi uomo)
	I anno	II anno	TOTALE
da personale universitario	55	55	110
altro personale	33	27	60
personale a contratto	0	0	0

	(numero)
partecipazioni a convegni:
in Italia	39
all'estero	10
articoli pertinenti pubblicati:
su riviste italiane con referee	5
su riviste straniere con referee	28
su altre riviste italiane	4
su altre riviste straniere
comunicazioni a convegni/congressi internazionali	5
comunicazioni a convegni/congressi nazionali	17
rapporti interni	15
brevetti depositati

Voce di spesa	Spese indicate nel modello	Fondi utilizzati I anno (relaz.)	Pagato		Rimane da pagare	Impegnato	Totale spese sostenute	Descrizione
			I anno	II anno
Materiale inventariabile	13.000.000	9.400.000	9.400.000	7.149.008	2.849.749		19.398.757	Materiale librario
Grandi Attrezzature	0	0					0
Materiale di consumo	3.000.000	0		1.172.136			1.172.136	Spese postali - Spese di cancelleria
Spese per calcolo ed elaborazione dati	2.000.000	0					0
personale a contratto	0	8.000.000					0
Servizi esterni	12.000.000	0					0
Missioni	18.000.000	12.449.066	12.449.066	12.621.041	900.000		25.970.107	Missioni dei componenti.
Altro	10.000.000	2.020.000	10.020.000	1.239.000			11.259.000	Quota per il Dipartimento. Software. Conferenze. Prestazioni occasionali dei proff. Banasiak e Velasquez (Indicate erroneamente fra i contratti nella relazione 1999)
TOTALE	58.000.000	31.869.066	31.869.066	22.181.185	3.749.749	0	57.800.000

	(in lire)
Totale finanziamento assegnato	57.800.000
Pagato	54.050.251
Rimane da pagare	3.749.749
Impegnato	0
Totale spese sostenute	57.800.000
Fondi non utilizzati	0

(per la copia da depositare presso l’Ateneo e per l’assenso alla diffusione via Internet delle informazioni riguardanti i programmi finanziati legge del 31.12.96 n° 675 sulla "Tutela dei dati personali")

Data 04/01/2001 12:03

Firma .......................................................