L'attivita` del gruppo di ricerca di Firenze nel periodo 2002-2003 si è rivolta a problemi fisico-matematici che si possono su

Relazione del Gruppo di Ricerca di FIRENZE
GENNAIO 2004

Cofin2002 - Problemi Matematici delle Teorie Cinetiche

(Mathematical problems of Kinetic Theories)

Modelli Matematici per Dispositivi a Semiconduttore, Metodi Matematici in Teorie Cinetiche ed Applicazioni

Componenti: Luigi Barletti, Stefano Biondini, Giovanni Borgioli, Giorgio Busoni, Matteo Camprini, Giovanni Frosali, Meri Lisi, Francesco Mugelli (Firenze), Chiara Manzini (Pisa) Lucio Demeio (Ancona), Silvia Totaro (Siena)

L'attività del gruppo di ricerca di Firenze nel periodo 2002-2003 si è rivolta a problemi fisico-matematici che si possono suddividere nei tre principali filoni

1. MODELLI MATEMATICI E NUMERICI DEI DISPOSITIVI A SEMICONDUTTORE,

2. MODELLI CINETICI PER COAGULAZIONE DI POLVERI E PLASMI,

3. PROBLEMI DI ESISTENZA ED UNICITA' E PROBLEMI INVERSI IN TEORIA DEL TRASPORTO

1. MODELLI MATEMATICI E NUMERICI DEI DISPOSITIVI A SEMICONDUTTORE

La ricerca in questo settore è stata preminente ed ha riguardato lo studio del trasporto quantistico e le sue applicazioni alla modellazione di dispositivi. A tale scopo abbiamo proseguito nell’uso della formulazione Wigneriana della meccanica quantistica come strumento privilegiato che consente di ottenere equazioni per stati misti che sono l'analogo quantistico delle equazioni cinetiche classiche. Inoltre, il passaggio ai diversi limiti asintotici semiclassici risulta particolarmente agevole in questo formalismo e diversi studi dimostrano anche buone proprietà di implementazione numerica e di derivazione di modelli idrodinamici. Analizziamo in particolare i temi principali che sono stati oggetto di risultati.

1.1 Modelli di trasporto quantistico multibanda.

Nello studio dei problemi di trasporto quantistico nei semiconduttori mediante l'approccio della funzione di Wigner, è stato sviluppato un modello che supera le tradizionali approssimazioni di singola banda e di banda parabolica. In [27, 26, 11, 28] è stato introdotto un modello multibanda, mediante l'uso della rappresentazione della matrice densità nella base di Bloch, giungendo così a scomporre la funzione di Wigner nelle sue componenti di Floquet. Si sono scritte anche le equazioni di evoluzione in presenza di profilo di banda non parabolico, con l'aggiunta anche di un campo esterno. Risultati numerici ottenuti con l'uso dello Splitting Scheme, in caso di singola banda non parabolica con campo esterno costante, sono stati presentati in [24]. I dettagli del modello sono contenuti in [29], dove si esegue anche un confronto tra la soluzione quantistica e quella semiclassica in caso di singola banda non parabolica e campo esterno costante. In [30], sempre per il modello studiato in [24], è stato aggiunto un operatore di collisione di tipo Boltzmann per descrivere lo scattering con i fononi, e si sono esaminate transizioni indotte dalle interazioni da potenziale di deformazione ed ottica polare.

Nell’ambito dell’analisi asintotica, si è condotta un'analisi asintotica del modello k.p, descrivente un elettrone nel reticolo ionico di un semiconduttore, rispetto a un parametro piccolo proporzionale al passo reticolare. Si è dimostrato che tale modello fornisce un livello di approssimazione intermedio tra la dinamica esatta e la dinamica di massa efficace, il che ha permesso anche di ridimostrare i classici teoremi di massa efficace in una forma più forte, [4].

Si e' iniziata l’analisi del modello di Kohn-Luttinger nella sua formulazione cinetica (equazioni Kohn-Wigner), con particolare attenzione alla sua applicabilità nel campo dei sistemi a doppia banda. Sono sotto indagine le possibili tecniche risolutive numeriche applicabili ad equazioni con operatori pseudo-differienziali (splitting scheme, differenze finite, FFT, polimoni di Hermite), utilizzabili per la ricerca di soluzioni stazionarie di sistemi Wigner a singola e doppia banda.

1.2 Equilibrio termodinamico quantistico multi-banda (funzione di Wigner per l'equilibrio termodinamico)

Si è studiata la funzione di Wigner (a valori matriciali) che descrive l'equilibrio termodinamico di un sistema governato da un'Hamiltoniana di tipo k.p a due bande, nota anche come modello di Kane. I termini dello sviluppo semiclassico di tale funzione sono stati calcolati esplicitamente fino all'ordine 2 e si è data un'espressione dei termini successivi sotto forma di una serie di Dyson-Phillips, [9]. Successivamente, si è cominciato ad affrontare il problema da un punto di vista rigoroso (e più generale) utilizzando la teoria dei semigruppi, [12].

1.3 Modelli idrodinamici quantistici a due bande.

Sono state ottenute le equazioni dei momenti a partire dal sistema di Kane sotto forma di equazione di Wigner-Boltzmann per il trasporto quantistico a due bande. Sono state inoltre ottenute le equazioni idrodinamiche operando direttamente sul sistema di tipo Schrödinger con il classico metodo WKB, sia per stati puri (con analogia al fluido di Madelung a temperatura zero) sia per stati misti e confrontate con quelle ottenute dalla gerarchia dei momenti. La chiusura della gerarchia delle equazioni dei momenti con un'opportuno sviluppo alla Chapman-Enskog delle equazioni di Wigner-Boltzmann è ancora in fase di studio.

Le prime ricerche sulla forma delle equazioni quanto-idrodinamiche, nel caso di un sistema governato da una Hamiltoniana di Kane, hanno riguardato anche la possibilità di scrivere un sistema di equazioni dei momenti formalmente analogo a quello del caso di singola banda, cui applicare il metodo di chiusura di Levermore-Ringhofer-Degond. Nel caso dello stato puro è stato possibile scrivere equazioni chiuse di tipo Madelung, [10]. Recentemente si è estesa l’analisi ad un sistema quantistico a due bande con una Hamiltoniana di tipo Kohn, ottenendo anche in questo caso il corrispondente modello quanto-idrodinamico.

L’utilizzo di questi sistemi di equazioni per applicazioni numeriche e per confronti con i dati sperimentali noti in letteratura per i diodi risonanti a tunnel interbanda è l’attuale obiettivo di ricerca.

1.4 Problemi al contorno per il sistema di Wigner-Poisson (in domini limitati).

Nell’ambito dei modelli quanto-cinetici di sistemi quantistici aperti, si è dimostrato un teorema di esistenza globale e unicità della soluzione del sistema non-lineare di Wigner-Poisson con condizioni al contorno di tipo inflow nel caso unidimensionale, [42, 43], estendendo così i risultati esistenti in letteratura, che riguardavano esclusivamente condizioni di non-rientro, trasparenti o periodiche. Il teorema è stato esteso al caso di dimensione 3 ma solo con esistenza locale, [44]. E' stato inoltre considerato il sistema Wigner-Poisson-Fokker-Planck in dimensione 3 e su tutto lo spazio, per il quale si è dimostrata esistenza locale e unicità della soluzione, [2], e si è studiata la convergenza verso uno stato stazionario del QDS (quantum dynamical semigroup) che descrive l’evoluzione del sistema nell’ambito delle matrici densità, riferendosi al concetto di entropia quantistica relativa, [3].

Nell’ambito del sistema stazionario di Wigner-Poisson, si sono studiate le soluzioni stazionarie del sistema di Wigner-Poisson con condizioni al contorno periodiche (modi BGK quantistici), che è l'analogo quantistico del sistema di Vlasov-Poisson della fisica del plasma. Siccome il limite semiclassico dell'equazione di Wigner è proprio l'equazione di Vlasov, si possono usare tecniche perturbative per calcolare la forma delle soluzioni quantistiche vicine a quelle classiche. In [23], si è calcolata in tal modo la correzione quantistica di ordine più basso ai modi BGK classici, mentre in [25] si sono evidenziate le correzioni alle orbite di fase.

2. MODELLI CINETICI PER COAGULAZIONE DI POLVERI E PLASMI

Nell'ambito della teoria del trasporto si è proseguito lo studio di problemi inversi, in campo astrofisico, con riferimento allo studio di alcune proprietà caratteristiche delle nube interstellari. Grazie all'utilizzo dell'equazione quasi-statica, buona approssimazione di quella di Boltzmann, è stato possibile determinare la dimensione e il coefficiente di interazione totale propri di una data nube interstellare con sorgente interna (ad esempio una stella), di cui si conosca soltanto la densità di fotoni emessi. E' stato affrontato il problema della determinazione delle dimensioni di una nube interstellare conoscendo l'intensità dell'emissione di fotoni, facendo alcune ipotesi a priori sulla forma della nube. Sono state stabilite alcune proprietàdi monotonia per le soluzioni del problema diretto (determinazione dell'intensit à a partire da dimensioni e forma della nube) [13],[14].

Si sono studiati metodi di approssimazione delle soluzioni con discretizzazione di variabili. Si è iniziato lo studio della localizzazione della sorgente di fotoni in funzione della luce emessa nel caso di nebulose ad emissione.

Sono stati usati i semigruppi B-limitati non lineari per studiare un esempio di problema di trasporto con condizioni al contorno non omogenee e si è trovata una interessante relazione tra semigruppi B-limitati lineari e non lineari.

3. PROBLEMI DI ESISTENZA ED UNICITA' E PROBLEMI INVERSI IN TEORIA DEL TRASPORTO

Nell’ambito dei modelli cinetici per coagulazione di polveri e plasmi in un mezzo interstellare, sono stati studiati modelli cinetici per vari tipi di fenomeni occorrenti in una nube interstellare. In particolare sono stati analizzati

a) un modello non-lineare di interazione fra elettroni e grani di polvere con coagulazione e scambio di cariche, [21,22];

b) un modello di coagulazione di polveri, sul quale sono stati effettuati anche test numerici, [15];

c) un problema inverso di trasporto radiativo in un mezzo polveroso, consistente nell'individuare le densità di due tipi diversi di assorbitori mediante misure del flusso radiativo a diverse frequenze, [32].

In ambito biomatematico, è stato applicato il metodo di Chapman-Enskog per studiare un modello matematico per una popolazione di larve di sogliole, la cui evoluzione è regolata da due scale di tempi. Dopo aver dimostrato che il modello aggregato è una buona approssimazione del modello esatto, è stata fatta un'analisi asintotica della soluzione, studiando anche le opportune correzioni di initial, boundary e corner layer, necessarie per poter rendere la bulk part in grado di soddisfare le condizioni del sistema. L'analisi del corner layer ha permesso di dare una migliore approssimazione della soluzione.

PUBBLICAZIONI CONFIN2002 - anni 2002/2003

[1] G.Alì, G.Frosali, On the zero-temperature quantum hydrodynamic model for the two-band Kane system, in preparation

[2] A. Arnold, E. Dhamo, C. Manzini, On the three-dimensional Wigner-Poisson-Fokker-Planck system, in preparation

[3] A. Arnold, C. Manzini, C. Sparber, in preparation

[4] N. Ben Abdallah, L. Barletti, Quantum transport in crystals: effective-mass theorem and k.p Hamiltonians, in preparazione (presentato al XVIII International Conference on Transport Theory, Rio de Janeiro 20-25 luglio 2003 e al convegno Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 18-20 Dicembre 2003).

[5] J.Banasiak, G.Frosali and G.Spiga, Interplay of elastic and inelastic scattering operators in extended kinetic models and their hydrodynamic limits-reference manual, Transport Theory Statist. Phys. 31(3), 187-248 (2002).

[6] J.Banasiak, G.Frosali and F.Mugelli, Space homogeneous solutions of the linear Boltzmann equation for semiconductors: a semigroup approach, Proc. WASCOM2001 XI Int.Conf. on Waves and Stability in Continuous Media, Word Scientific, Singapore 2002, pp.34-40.

[7] L.Barletti, A mathematical introduction to the Wigner formulation of quantum mechanics, Boll. Unione Mat. Ital. B, 6-B(8), 693-716 (2003)

[8] L. Barletti, Wigner envelope functions for electron transport in semiconductor devices, Transport Theory Stat. Phys. 32(3/4), 253-277 (2003).

[9] L. Barletti, On the thermal equilibrium of a quantum system described by a two-band Kane Hamiltonian, preprint del Dipartimento di Matematica U.Dini, Università di Firenze, 3/2003 (sottoposto a J. Stat. Phys.).

[10] L. Barletti, Quantum moment equations for a two-band k.p Hamiltonian, presentato al XVII Congresso U.M.I., Milano 8-13 settembre 2003 (invited paper) e sottoposto al Boll. Unione Mat. Ital. B.

[11] L. Barletti, L. Demeio, Wigner-function approach to multiband transport in semiconductor devices, Proc. VI Congresso SIMAI, Chia Laguna (CA-Italy) May 27-31, 2002. Versione su CD

[12] L. Barletti, C. Manzini, in preparazione.

[13] A. Belleni Morante, F. Mugelli, An inverse problem in photon transport theory: identification of the boundary surface of an interstellar cloud, Conferenze del Seminario di Matematica dell'Università di Bari n.282 - 2002

[14] A. Belleni-Morante, F. Mugelli, Identification of the boundary surface of an interstellar cloud from a measurement of the photon far-field, To appear on Math. Methods. Appl. Sci. (MMAS)

[15] A. Belleni-Morante, L. Barletti, R. Monaco, F. Salvarani, A kinetic approach to dust coagulation, Rapporto interno del Dip. di Matematica del Politecnico di Torino, 23/2003(sottoposto ad Astrophysics and Space Science).

[16] S. Biondini e G. Borgioli, Kane models for interband tunneling: a review, Rapporto Interno del Dip. Elettronica e Telecomunicazioni DET-04-03, 10 nov. 2003

[17] S. Biondini, G. Frosali, F. Mugelli, Quantum hydrodynamic equations for a two-band Wigner-Kane model, In S. Pennisi et al. (Eds.), Proceedings WASCOM2003 - 12th Conference on Waves and Stability in Continuous Media," World Scientific, Singapore, (in print)

[18] G. Borgioli, S. Biondini, Rigorous derivation of Kane models for interband tunneling, Proc. XII Int. Conf. on Waves and Stability in Continuous Media, Villasimius, June 1-7, 2003, Word Scientific (Singapore) 2003 (to appear)

[19] G.Borgioli, M.Camprini, Schrodinger -like model for interband tunneling in heterogeneous semiconductor devices: a current estimate, Proc. WASCOM2001 XI Int.Conf. on Waves and Stability in Continuous Media, World Scientific, Singapore 2002, pp.

[20] G.Borgioli, G. Frosali, P.F.Zweifel, Wigner approach to the two-band Kane model for a tunneling diode, Transport Theory Statist. Phys. 32(3&4), 347-366, 2003

[21] G. Busoni, L. Barletti, A kinetic model of a dusty plasma with discrete charges, Transport Theory Stat. Phys. 32(2), 133-155 (2003).

[22] G. Busoni, L. Barletti, A discrete dusty plasma model, Proc. VI Congresso Nazionale SIMAI - Chia Laguna (CA), 27-31 Maggio 2002. Versione su CD 13 pagg.

[23] L. Demeio, Perturbative approach to Quantum BGK Modes, Proc. VI Congresso SIMAI, Chia Laguna (CA), 27-31 Maggio 2002. Versione su CD 13 pagg.

[24] L. Demeio, Splitting-scheme Solution of the Collisionless Wigner Equation with Non-Parabolic Band Profile, Proc. IX International Workshop on Computational Electronics (IWCE9), Monte Porzio Catone (Rome), Italy, May 25-28, 2003 (in corso di stampa sul Journal of Computational Electronics).

[25] L. Demeio, Classical and Quantum BGK Modes in Phase Space, First Int. Workshop on the Theory and Applic. of the Vlasov Equation, Nancy, Francia, 26-28 Novembre 2003 (mandato in pubblicazione a Transport Theory and Stat. Phys.).

[26] L. Demeio, L. Barletti, A. Bertoni, P. Bordone and C.Jacoboni, Wigner-function approach to multiband transport in semiconductors, Physica B, vol. 314, 104-107 (2002).

[27] L. Demeio, L. Barletti, P. Bordone and C. Jacoboni, Wigner function for multiband transport in semiconductors, Transport Theory Stat. Phys. 32 (3-4), 307-325 (2003).

[28] L. Demeio, P. Bordone, C. Jacoboni, Numerical and analytical applications of multiband transport in semiconductors, Proc. XXIII Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Whistler, BC, Canada, July 20-25, 2002, pp. 92-98 (AIP Conference Proceedings vol. 663, New York, 2003).

[29] L. Demeio, P. Bordone, C. Jacoboni, Multi-band, non-parabolic Wigner-function approach to electron transport in semiconductors, Internal Report, Quaderno N. 3/2003, Dipartimento di Scienze Matematiche, Università Politecnica delle Marche, April 2003, (submitted to J. Stat. Phys.)

[30] L. Demeio, P. Bordone, C. Jacoboni, Numerical simulation of an intervalley transition by the Wigner-function approach, Proc. XIII International Conference on Nonequilibrium Carrier Dynamics in Semiconductors (HCIS-13), Modena, Italy, July 28-August 1, 2003 (in corso di stampa su Semiconductor Science and Technology).

[31] S. Donati, M.Lisi, S.Totaro , A mathematical model for a sole larval population with two time scales, Proc. XII Int. Conf. on Waves and Stability in Continuous Media, , June , 2003, World Scientific (to appear).

[32] F. Dragoni, L. Barletti, in preparazione

[33] G. Frosali, C. van der Mee and F. Mugelli, Conditions for runaway phenomena in kinetic theory revisited, Sommari del V Congresso Naz. Soc. Ital. di Matematica Industriale e Applicata, SIMAI 2002, Chia Laguna, 27-31 maggio 2002, Versione su CD - 12 pagg.

[34] G. Frosali, C.van der Mee and F.Mugelli, A characterization theorem for the evolution semigroup generated by the sum of two operators, Math. Methods Appl. Sci. (2000) (in print)

[35] M.Lisi S.Totaro , Quasi-static approximations of photon transport in an interstellar cloud, Proc. XI Int. Conf. on Waves and Stability in Continuous Media, Porto Ercole, June 4-9, 2001, 271-276, Word Scientific (Singapore) 2002.

[36] M.Lisi S.Totaro, Inverse problems related to photon transport in an interstellar cloud, Transp.Theor.Stat.Phys., 32, (3&4) 341-359 (2003).

[37] M.Lisi S.Totaro, A method to discretize the space variable for particle tranport problems in a rod, Quaderno Dipartimento di Matematica, 445, Siena 2003.

[38] M.Lisi S.Totaro, The Chapman-Enskog procedure for a scaled mathematical model of a sole larval population . Quaderno Dipartimento di Matematica, 450, Siena 2003.

[39] M.Lisi S.Totaro, An inverse problem for photon transport in an interstellar cloud: identification of the source, Quaderno Dipartimento di Matematica, 453, Siena 2003.

[40] M.Lisi S.Totaro, The corner layer correction for a singularly perturbed evolution equation of a sole larval population, Quaderno Dipartimento di Matematica, 454, Siena 2003.

[41] S. Mancini, S. Totaro, Study of a transport operator with unbounded coefficients, Adv. Math. Sci. Appl. 12(1) 377-391 (2002)

[42] C. Manzini, L. Barletti, An analysis of the Wigner-Poisson system with inflow boundary conditions, Nonlinear Analysis Theory Meth. Appl.. (to appear)

[43] C. Manzini, L. Barletti, G. Busoni, An analysis of the Wigner-Poisson system, VI Congresso Nazionale SIMAI - Chia Laguna (CA), 27-31 Maggio 2002, Versione su CD – 15 pagg.

[44] C. Manzini, On the three-dimensional Wigner-Poisson problem with inflow boundary conditions, sottoposto a J. Math. Anal. Appl..

[45] A.Tanganelli S.Totaro, B-bounded nonlinear semigroups generated by B-dissipative nonlinear operators: an example, Quaderno Dipartimento di Matematica, 446, Siena 2003.