Relazione del Gruppo di Ricerca di FIRENZE Gennnaio 2002

Relazione del Gruppo di Ricerca di FIRENZE
GENNAIO 2002

Cofin2000 - Problemi Matematici delle Teorie Cinetiche

Modelli Matematici per Dispositivi a Semiconduttore, Analisi Asintotica in Teorie Cinetiche ed Applicazioni

Componenti: Luigi Barletti, Giovanni Borgioli, Giorgio Busoni, Giovanni Frosali, Simona Mancini, Serena Matucci (Firenze), Lucio Demeio (Ancona), Silvia Totaro (Siena)

MODELLI MODELLI MATEMATICI E NUMERICI DEI DISPOSITIVI A SEMICONDUTTORE.

L'attività preminente del gruppo di ricerca di Firenze si è rivolta a problemi che nascono nella modellistica fisico-matematica dei semiconduttori. La ricerca in questo settore ha riguardato lo studio del trasporto quantistico e le sue applicazioni alla modellazione di dispositivi elettronici. A tale scopo abbiamo individuato nella formulazione Wigneriana della meccanica quantistica uno strumento privilegiato in quanto essa consente di ottenere equazioni per stati misti che sono l'analogo quantistico delle equazioni cinetiche classiche, [6]. Inoltre, il passaggio ai diversi limiti asintotici semiclassici risulta particolarmente agevole in questo formalismo e diversi studi dimostrano anche buone proprietà di implementazione numerica.

Problemi al contorno per l'equazione di Wigner in domini limitati.
I problemi al contorno per l'equazione di Wigner in domini limitati sono di grande interesse applicativo in quanto forniscono modelli di interfaccia tra l'unità funzionale del dispositivo e i contatti esterni. L'analogia della teoria Wigneriana con le teorie cinetiche classiche permette la formulazione di condizioni al contorno di tipo "inflow", tipiche dei problemi di trasporto. Dal punto di vista strettamente matematico, la buona posizione dell'equazione di Wigner stazionaria con condizioni di inflow non è stata ancora dimostrata ed è un problema attualmente all'attenzione dei matematici specializzati nel settore.
In [7] è stato introdotto un nuovo metodo per affrontare il problema che ha permesso di dimostrare la buona posizione, nell'ipotesi aggiuntiva di una soglia minima (arbitrariamente piccola) per le velocità degli elettroni. Possibili strategie per estendere la dimostrazione al caso generale sono state discusse in [3]. Recentemente abbiamo anche ottenuto risultati, ancora non pubblicati, sul sistema non-lineare di Wigner-Poisson con condizioni al contorno di inflow.
Modelli di trasporto "multibanda."
Il prototipo dei dispositivi a semiconduttore è il Resonant Tunneling Diode (RTD), che è già stato oggetto di studi mediante la funzione di Wigner. Le equazioni cinetiche che governano l'evoluzione temporale della funzione di Wigner devono essere risolte per via numerica. Un altro dispositivo di grande interesse è il Resonant Interband Tunneling Diode (RITD), che si differenzia dall'RTD principalmente per il fatto che gli elettroni di valenza giocano un ruolo determinante nel controllare il flusso di corrente. I risultati sperimentali evidenziano l'esistenza di regioni multiple con resistività differenziale negativa.
Per la descrizione cinetica dell'RITD mediante la funzione di Wigner, è necessaria la formulazione di un modello di trasporto multibanda, finora assente in letteratura. Solitamente, la funzione di Wigner per un insieme statistico di elettroni che si muovono sotto l'azione del potenziale periodico del cristallo ed in presenza di un campo esterno, è definita soltanto per la popolazione della banda di conduzione nell'ambito dell'approssimazione della massa efficace. La struttura delle equazioni cinetiche è la stessa che nel caso di elettroni liberi sotto un potenziale esterno. L'effetto del potenziale periodico è rappresentato dal termine di streaming con la massa efficace , mentre il campo esterno compare sotto forma di simbolo in un operatore pseudo-differenziale. Gli effetti di non-parabolicità della banda non vengono considerati.
Dal punto di vista matematico, il fenomeno relativo al passaggio degli elettroni da una banda di energia all'altra si traduce nel fatto che le proiezioni della funzione d'onda degli elettroni sugli autospazi relativi alle bande (sottospazi di Floquet) risultano accoppiate dall'equazione di Schrodinger.
Lungo questa linea di ricerca, abbiamo definito la funzione di Wigner per un insieme statistico di elettroni comprendente le popolazioni di tutte le bande di energia e si è scritta l'equazione di evoluzione temporale esatta in assenza di campo esterno [19] per bande di forma qualsiasi. Se si prendono in considerazione M bande, la funzione di Wigner è una somma di MxM termini caratterizzati da un doppio indice di banda.
Il risultato ottenuto è una generalizzazione di un risultato precedente, dovuto a Markowich et al. ed ottenuto per una singola banda. Il modello è stato quindi esteso al caso in cui l'evoluzione temporale della funzione di Wigner sia determinata, oltre che dal potenziale periodico del reticolo cristallino, anche da un potenziale esterno. Dalle equazioni generali, si è quindi ricavato un modello multibanda semplificato, applicando l'approssimazione di massa efficace a ciascuna banda [20].
Un altro modello, basato sulla trasformazione di Wigner delle cosiddette funzioni di inviluppo di Wannier-Slater, che si ottengono dalla funzione d'onda trascurando le oscillazioni rapide dovute al reticolo cristallino, è stato proposto in [8].
Applicazioni numeriche.
La soluzione numerica delle equazioni ottenute dai vari modelli multibanda è attualmente in fase di studio e rappresenta il prossimo punto nello sviluppo di questo tema di ricerca. Si sono innanzitutto simulate numericamente semplici transizioni interbanda in mezzi omogenei infiniti; l'applicazione del modello a semiconduttori e dispositivi reali comporta la determinazione numerica preliminare delle funzioni di Bloch per i cristalli in questione, ed è quindi più complessa. Un'ulteriore applicazione del modello generale è la simulazione numerica degli effetti di non parabolicità sul trasporto dei portatori, anche soltanto nell'approssimazione di singola banda.
Queste ricerche sono condotte in collaborazione con il laboratorio di microelettronica dell'Università di Firenze, dove sono state effettuate misure e confronti su alcuni prototipi industriali. Gli elettronici si sono interessati inizialmente al calcolo delle curve teoriche di corrente mediante l'uso delle probabilità quantistiche di transizione nell'ambito del modello di Kane, che è stato oggetto di studio da parte nostra.
Nell'ambito del formalismo di Wigner, ricordiamo anche il lavoro [14], in cui si cui si ottiene la versione di Wigner del classico modello di Kane a due bande. Un tale modello si basa su una opportuna approssimazione delle funzioni di Bloch, utilizzando il metodo k.P per una approssimazione dell'Hamiltoniana.

METODI NUMERICI PER DISPOSITIVI A SEMICONDUTTORE.
L'equazione cinetica che governa l'evoluzione temporale della funzione di Wigner in assenza di collisioni è l'equazione di Liouville. Se si tiene conto del campo autoconsistente, si ottiene il sistema di Wigner-Poisson (WP), che, nel limite classico, diventa il sistema di Vlasov-Poisson (VP). Molti dei metodi numerici che si usano per il sistema di VP sono quindi adattabili al sistema di WP. In particolare, poichè l'equazione di Liouville per la funzione di Wigner contiene un operatore pseudo-differenziale, al posto del termine di accelerazione dell'equazione di Boltzmann o Vlasov, i metodi numerici che utilizzano le trasformate di Fourier sono immediatamente utilizzabili per il sistema di WP.
Fino ad ora, è stato affrontato il problema della soluzione numerica del sistema di WP mediante lo splitting scheme. Abbiamo scritto e testato un programma che risolve numericamente l'equazione di Wigner. L'algoritmo utilizzato è una semplice generalizzazione della versione Fourier-Fourier dello splitting scheme (Klimas e Farrell, 1994). L'inclusione del campo autoconsistente e delle collisioni è in corso. Il programma è stato testato su alcuni semplici sistemi quantici, quali la trasmissione e la riflessione di un insieme di particelle da una barriera di potenziale di altezza ed ampiezza variabili. Il codice è stato impiegato sia nel regime fortemente quantistico, dove dominano gli effetti di interferenza, sia in quello debolmente quantistico, dove il comportamento è vicino a quello classico.
Attualmente si ha anche in corso uno studio per la soluzione numerica del sistema Wigner-Poisson tenendo conto delle collisioni con i fononi. In questo campo si procede su due direzioni: la prima si basa su modelli di collisione con il metodo dei Wigner path dovuto a C.Jacoboni ed ai suoi coautori, la seconda si basa si metodi approssimati che riadattano i modelli di rilassamento, metodi questi utilizzati nella letteratura microelettronica dei circuiti equivalenti.

MODELLI CINETICI PER COAGULAZIONE DI POLVERI E PLASMI

Questa parte dell'attività di ricerca riguarda lo studio di modelli di tipo cinetico non-lineari con termini di coagulazione e/o scambio di cariche. Le motivazioni applicative di tale ricerca provengono soprattutto dall'astrofisica e in particolare dallo studio del mezzo interstellare, in cui sono di notevole interesse modelli di plasmi rarefatti di elettroni, ioni e "polveri.'' Per questo motivo la ricerca è svolta in collaborazione con ricercatori del Gruppo Nazionale per la Fisica Cosmica del CNR di Firenze.
Partendo da un noto modello astrofisico, abbiamo elaborato e analizzato un sistema di equazioni cinetiche che descrivono l'evoluzione di una nube composta da due tipi di grani di polvere, differenti per composizione chimica e dimensioni. in cui particelle "piccole" si coagulano con particelle "grandi", [11,17]. Il modello ha permesso di ricavare stime sul tempo di estinzione della popolazione di particelle piccole, in buon accordo con i valori osservati.
Attualmente sono allo studio modelli cinetici per "plasmi polverosi'', in cui elettroni e ioni si coagulano con grani di polvere i quali, di conseguenza, si caricano per quantità discrete. Tutto il sistema è inoltre sotto l'azione di un campo elettrostatico esterno. Il sistema è costituito da equazioni cinetiche per le densità di elettroni e delle infinite numerabili densità dei granelli di polvere portanti 1, 2, 3, .. n .. cariche elettroniche. I termini di produzione e di perdita risultano non lineari per le interazioni fra elettroni e grani. Il comportamento asintotico di tale sistema è stato studiato nell'ipotesi addizionale di omogeneità delle distribuzioni nello spazio delle fasi (modello "a parametri concentrati"). Due lavori contenenti risultati di esistenza e unicità in diversi casi sono in preparazione.

TEORIA DEI SEMIGRUPPI, PROBLEMI DI ESISTENZA ED UNICITÀ, E PROBLEMI INVERSI IN TEORIA DEL TRASPORTO.

Nel corso del 2000 si è iniziato lo studio di alcuni problemi inversi in teoria del trasporto. In particolare si è cercato di applicare le tecniche usate nel corso degli ultimi anni per studiare problemi di trasporto per determinare soluzioni di problemi inversi in ambito astrofisico.
Come primo risultato si sono determinate le dimensioni di una nube interstellare e il coefficiente di interazione totale, conoscendo la densità di fotoni presenti nella nube stessa. Il modello adottato, in questa prima fase unidimensionale, si basa sull'equazione di Boltzmann lineare per i fotoni ed utilizza un'approssimazione quasi-statica della soluzione allo scopo di risolvere il problema inverso [24]. Sono previste generalizzazioni al caso tridimensionale. Si prevede inoltre di raffinare il procedimento di determinazione delle approssimazioni usate per risolvere il problema inverso in modo da migliorare anche numericamente i risultati. Nell'ambito dello studio sulle relazioni tra possibile reversibilità nei processi di trasporto, condizioni al contorno, e proprietà spettrali dell'operatore di streaming è stato studiato lo spettro dell'operatore di streaming nel caso di slab infinito o semi-infinito [32]. In entrambi i casi lo spettro è risultato essere residuo e solo sull'asse immaginario. Sono state indagate le proprietà di generazione di semigruppo dell'operatore di streaming che a causa della mancanza delle condizioni al contorno risulta generare un gruppo.
In un lavoro in collaborazione con J.Banasiak e F.Mugelli [5], si è rivisitato il problema per l'esistenza di soluzioni per l'equazione di Boltzmann lineare per gli elettroni in un semiconduttore, dove l'interazione elettroni-fononi è modellata da un operatore non limitato con termini di tipo delta. L'analisi del problema con tecniche di semigruppi di operatori richiede alcune attenzioni dovute alla presenza di perturbazioni non limitate. L'esistenza è ottenuta tramite la teoria dei semigruppi substocastici, con una generalizazione del teorema di Kato-Voigt dovuta a L.Arlotti ed a J.Banasiak. Nel lavoro si ottiene inoltre una caratterizzazione del generatore del semigruppo.
È in corso di stesura una analisi spettrale del problema del trasporto lineare, caratterizzato da una frequenza di collisione non limitata. Quest'ultimo lavoro è in collaborazione con C. van der Mee e F.Mugelli.

Si riportano le pubblicazioni più importanti dei componenti del Gruppo negli anni 2000-2001 (per la lista completa vedi www.dma.unifi.it/~frosali/cofin00/biblio/).

PUBBLICAZIONI (2000/2001)

1. S.Aiello, L.Barletti, A.Belleni-Morante and C.Cecchi-Pestellini, A kinetic model for dust coagulation, Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 70 1-9 (2001).
2. J.Banasiak, G.Frosali and G.Spiga, Inelastic scattering models in transport theory and their small mean free path analysis, Math. Methods Appl. Sci.23,121-145 (2000)
3. J.Banasiak, L.Barletti. On the existence of propagators in stationary Wigner equation without velocity cut-off. Transport Theory Stat. Phys. 30(7), 659-672 (2001).
4. J.Banasiak, G.Frosali and G.Spiga, Interplay of elastic and inelastic scattering operators in extended kinetic models and their hydrodynamic limits-reference manual, (2000), submitted on Transport Theory Statist. Physics
5. J.Banasiak, G.Frosali and F.Mugelli, Space homogeneous solutions of the linear Boltzmann equation for semiconductors: a semigroup approach, Proc. XI Int.Conf. on Waves and Stability in Continuous Media, Word Scientific (Singapore) 2001
6. L.Barletti. ``A mathematical introduction to the Wigner formulation of quantum mechanics.'' Quaderni del Dipartimento di Matematica ``U.Dini'' 15/2001, sottoposto a B. Unione Mat. Ital. B.
7. L.Barletti, P.F.Zweifel. Parity-decomposition method for the stationary {Wigner equation with inflow boundary conditions. Transport Theory Stat. Phys. 30, 507-520, 2001.
8. L.Barletti. `Wigner envelope functions for electron transport in semiconductor devices. Preprint (2001), sottoposto a Transport Theory Stat. Phys.
9. L.Barletti, G.Borgioli, M.Camprini, A.Cidronali e G.Frosali, Tunneling current in resonant interband tunneling diode (RITD), Sommari del V Congresso Naz. Soc. Ital. di Matematica Industriale e Applicata, SIMAI 2000
10. L.Barletti, C.Cecchi-Pestellini, A.Belleni-Morante and S.Aiello. Radiative transfer in the stochastic uniiverse. II - The method of projections. New Astronomy, 6, 165-172 (2001)
11. A.BeIleni-Morante, L.Barletti, C.Cecchi-Pestellini, S.Aiello. A Boltzmann-like model for interstellar dust coagulation. Confer.Sem. Mat.Univ.Bari, 278 (2000).
12. G. Borgioli, V .Gerasimenko, The dual BBGKY hierarchy for evolution of observables, Rivista Mat. Univ. Parma (2000) (to appear).
13. G.Borgioli, M.Camprini, Schrodinger -like model for interband tunneling in heterogeneous semiconductor devices: a current estimate, Proc. XI Int. Conf. on Waves and Stability in Continuous Media, 2001
14. G.Borgioli, G.Frosali, P.F.Zweifel, Wigner approach to the two-band Kane model for a tunneling diode, Preprint (2001), sottoposto a Transport Theory Stat. Phys.
15. C.Cecchi-Pestellini, L.Barletti, A.Belleni-Morante and S.Aiello. Mathematical methods for photon transport in random media, Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 65, 835-851 (2000).
16. C.Cecchi-Pestellini, L.Barletti, A.Belleni-Morante and S.Aiello. Radiative transfer in the stochastic universe. I - Observation-related statistics. New Astronomy. 6(3), 151-163 (2001).
17. C.Cecchi-Pestellini, L.Barletti, A.BeIleni-Morante, S.Aiello. A kinetic model for dust coagulation.'' Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 70(1), 1-9 (2001).
18. L.Demeio and G.Frosali, Theoretical and numerical comparison of hydrodynamics limits for kinetic equations with elastic and inelastic scattering, Proceedings WASCOM99 - X Int. Conf. on Waves and Stability in Continuous Media, World Scientific, Singapore, 2001, pp. 146-158
19. L.Demeio, L.Barletti, P.Bordone and C.Jacoboni, Wigner function for multiband transport in semiconductors, submitted on Transport Theory and Statistical Physics, Settembre 2001.
20. L.Demeio, L.Barletti, A.Bertoni, P.Bordone and C.Jacoboni, Wigner-function approach to multiband transport in semiconductors, Physica B, Settembre 2001. 21. L.Demeio and G.Frosali, Diffusion limits of the linear Boltzmann equation in extended kinetic theory: weak and strong inelastic collisions, Rend. Seminario Univ. Milano, (2001)
22. L.Demeio, D. Sani, Multiple time scale analysis of water-salts coupled flow transport equations, Rapporto Interno N.4 2000 del Dipartimento di Matematica "V. Volterra", Università di Ancona.
23. L.Demeio, D.Sani, A proposed model for water-salts coupled flow transport equations, submitted to mathematical and Computational Modelling, December 2000.
24. M.Lisi S.Totaro, Inverse problems related to photon transport in an interstellar cloud, submitted to Transp.Theor.Stat.Phys.
25. S. Mancini, S. Totaro, Solution of the Vlasov equation in a slab with a source terms on the boundaries,Riv. Mat. Univ. Parma (6) 2, 33-47 (2000)
26. S. Mancini, S.Totaro, Vlasov equation with non-homogeneous boundary conditions, Math. Methods Appl. Sci. 23, 601-614 (2000)
27. S. Mancini, Generalized multiplying boundary conditions and B-bounded semigroup, (submitted).
28. S. Mancini, S. Totaro, Study of a transport operator with unbounded coefficients, Rapporto matematico n.405,Università di Siena, Luglio 2000
29.S. Mancini, S.Totaro, Solution of the Vlasov equation in a slab with a source terms on the boundarie, Riv.Mat. Univ. Parma (6)2, 33-47(2000)
30. Special Issue Devoted to the Proceedings of the International Conference on Models and Numerical Methods in Transport Theory and in Mathematical Physics, of Transport Theory Statist. Phys. 29 (1-2), (2000). Guest Editors: G.Frosali and G.Spiga.
31. S.Totaro, B-bounded nonlinear semigroups, Rapporto matematico n.410, Università di Siena, Dic. 2000
32. S.Totaro, On the spectrum of the streaming operator in a slab with infinite thickness, Quaderno Dipartimento di Matematica, 424, Siena 2001.