Relazione del Gruppo di Ricerca di FIRENZE

Cofin2000 - Problemi Matematici delle Teorie Cinetiche

Modelli Matematici per Dispositivi a Semiconduttore, Analisi Asintotica in Teorie Cinetiche ed Applicazioni

Componenti: Luigi Barletti, Giovanni Borgioli, Giorgio Busoni, Giovanni Frosali, Simona Mancini, Serena Matucci (Firenze), Lucio Demeio (Ancona), Silvia Totaro (Siena)

MODELLI MATEMATICI DEI DISPOSITIVI A SEMICONDUTTORE BASATI SULL'UTILIZZO DELLA FUNZIONE DI WIGNER.

L'attivita' preminente del gruppo di ricerca di Firenze si e' rivolta a problemi che nascono nella modellistica fisico-matematica dei semiconduttori. In particolare le ricerche sono state rivolte alla modellistica per il Resonant Interband Tunneling Diode (RITD), che e' un diodo che si differenzia dai dispositivi tradizionali intrabanda principalmente per il fatto che gli elettroni di valenza giocano un ruolo determinante nel controllare il flusso di corrente. I contatti scientifici con il laboratorio di microelettronica dell'Universita' di Firenze hanno spinto il nostro gruppo ad interessarsi degli aspetti fisico-matematici dei fenomeni interbanda. E' ormai noto che risultati sperimentali in laboratorio evidenziano l'esistenza di regioni multiple con resistivita' differenziale negativa; in particolare il laboratorio ha effettuato misure su alcuni prototipi industriali. Gli elettronici si sono interessati inizialmente al calcolo delle curve teoriche di corrente mediante l'uso delle probabilita' quantistiche di transizione nell'ambito del modello di Kane, che e' stato oggetto di studio da parte nostra.

I problemi relativi alla modellistica dei semiconduttori iniziati nel 2000 affrontati nel corso del 2001 si possono raggruppare in due gruppi: uno teorico relativo all'uso della funzione di Wigner nel tunneling interbanda ed un numerico/teorico relativo a Vlasov-Poisson e Wigner-Poisson.

Nell'ambito del formalismo di Wigner, limitiamoci a ricordare i recenti lavori:

  1. Wigner approach to the two-band Kane model for a tunneling diode (G.Borgioli, G.Frosali, P.F.Zweifel), in cui si ottiene la versione di Wigner del classico modello di Kane a due bande. Un tale modello si basa su una opportuna approssimazione delle funzioni di Bloch, utilizzando il metodo k.P per una approssimazione dell'Hamiltoniana.
  2. Wigner function for multiband transport in semiconductors (L.Demeio, L.Barletti, P.Bordone, C.Jacoboni). Questo lavoro raccoglie solo parte dei risultati ottenuti in collaborazione con alcuni fisici di Modena. Il metodo consiste nel proiettare le equazioni di Wigner esatte nei sottospazi di Floquet relativi alle bande di interesse. Il sistema di equazioni cosi' ottenuto e' stato poi trattato nell'approssimazione di massa efficace.
  3. Wigner envelope functions for charge transport in semiconductors (L.Barletti). In questo lavoro si studia la trasformazione di Wigner per le funzioni di inviluppo di Wannier-Slater, che si ottengono dalla funzione d'onda trascurando le oscillazioni rapide dovute al reticolo cristallino.

I lavori suddetti, pur nella loro diversita', si inseriscono nello stesso progetto di ricerca finalizzato all'elaborazione dei modelli matematici di dispositivi elettronici basati sull'effetto di tunneling interbanda.

METODI NUMERICI PER DISPOSITIVI A SEMICONDUTTORE INTERBANDA.

L'equazione cinetica che governa l'evoluzione temporale della funzione di Wigner in assenza di collisioni e' l'equazione di Liouville. Se si tiene conto del campo autoconsistente, si ottiene il sistema di Wigner-Poisson (WP), che, nel limite classico, diventa il sistema di Vlasov-Poisson (VP). Molti dei metodi numerici che si usano per il sistema di VP sono quindi adattabili al sistema di WP. In particolare, poiche' l'equazione di Liouville per la funzione di Wigner contiene un operatore pseudo-differenziale, al posto del termine di accelerazione dell'equazione di Boltzmann o Vlasov, i metodi numerici che utilizzano le trasformate di Fourier sono immediatamente utilizzabili per il sistema di WP.

Fino ad ora, sono stati affrontati due problemi:

I risultati ottenuti per questi due punti sono i seguenti.

1) Soluzioni numeriche del sistema di Wigner-Poisson.

Abbiamo scritto e testato un programma che risolve numericamente l'equazione di Wigner. L'algoritmo utilizzato e' una semplice generalizzazione della versione Fourier-Fourier dello splitting scheme (Klimas e Farrell, 1994). L'inclusione del campo autoconsistente e delle collisioni e' ancora in corso. Il programma e' stato testato su alcuni semplici sistemi quantici, quali la trasmissione e la riflessione di un insieme di particelle da una barriera di potenziale di altezza ed ampiezza variabili. Il codice e' stato impiegato sia nel regime fortemente quantistico, dove dominano gli effetti di interferenza, sia in quello debolmente quantistico, dove il comportamento e' vicino a quello classico.

2) Funzione di Wigner a piu' bande.

La funzione di Wigner per un insieme statistico di elettroni che si muovono sotto l'azione del potenziale periodico del cristallo e' solitamente definita soltanto per la popolazione della banda di conduzione nell'ambito dell'approssimazione della massa efficace. La struttura delle equazioni cinetiche e' la stessa che nel caso di elettroni liberi sotto un potenziale esterno, struttura che chiameremo di tipo Vlasov. L'effetto del potenziale periodico e' rappresentato dalla massa efficace nel termine di streaming, mentre il campo esterno appare nell'operatore pseudo-differenziale. Gli effetti di non-parabolicita' della banda non vengono considerati. Generalizzando un risultato precedente (Markowich et al. 1994), ottenuto per una singola banda, abbiamo definito la funzione di Wigner per un insieme statistico di elettroni con un numero di bande qualsiasi e di forma arbitraria. Se si prendono in considerazione M bande, la funzione di Wigner e' una somma di M^2 termini caratterizzati da un doppio indice di banda. Abbiamo scritto l'equazione di evoluzione temporale esatta in assenza di campo esterno per ciascuno di questi termini.Il modello e' stato quindi esteso al caso in cui l'evoluzione temporale della funzione di Wigner sia determinata, oltre che dal potenziale periodico del reticolo cristallino, anche da un potenziale esterno. Dalle equazioni generali, abbiamo quindi ricavato le approssimazioni di massa efficace. La soluzione numerica del modello multibanda con potenziale esterno e' in fase di studio.

Attualmente si ha anche in corso uno studio per la soluzione numerica del sistema Wigner-Poisson tenendo conto delle collisioni con i fononi. In questo campo si procede su due direzioni: la prima si basa su modelli di collisione con il metodo dei Wigner path dovuto a C.Jacoboni ed ai suoi coautori, la seconda si basa si metodi approssimati che riadattano i modelli di rilassamento, metodi questi utilizzati nella letteratura microelettronica dei circuiti equivalenti.

MODELLI CINETICI PER COAGULAZIONE DI POLVERI E PLASMI

Sono stati elaborati e studiati modelli di tipo cinetico per l'evoluzione di un "gas di polveri" soggetto a coagulazione e/o a fenomeni di scambio di cariche con plasmi. Tali modelli hanno interesse applicativo in astrofisica, nell'ambito dello studio del mezzo interstellare, e per questo motivo la ricerca e' svolta in collaborazione con ricercatori del Gruppo Nazionale per la Fisica Cosmica del CNR. In particolare, si e' proposto un modello di coagulazione tra particelle di polvere appartenenti a due distinte popolazioni, differenti per composizione chimica e dimensioni. Tale modello ha permesso di fornire una stima del tempo di estinzione in una nube interstellare dei piccoli grani di silicati e carbonati da parte delle polveri di maggiori dimensioni, stima che e' risultata in buon accordo con le indicazioni che derivano dalle osservazioni.

Attualmente e` allo studio un modello di evoluzione di un plasma con polveri cariche. Il sistema e` costituito da equazioni cinetiche per le densita`di elettroni e delle infinite numerabili densita` dei granelli di polvere portanti 1, 2, 3, .. n .. cariche elettroniche. I termini di produzione e di perdita risultano non lineari per le interazioni fra elettroni e grani. Il comportamento asintotico di tale sistema e' stato studiato nell'ipotesi addizionale di omogeneita' delle distribuzioni nello spazio delle fasi (modello "a parametri concentrati").

PROBLEMI INVERSI IN TEORIA DEL TRASPORTO E TEORIA DEI SEMIGRUPPI

Nel corso del 2000 si e` iniziato lo studio di alcuni problemi inversi in teoria del trasporto. In particolare si e` cercato di applicare le tecniche usate nel corso degli ultimi anni per studiare problemi di trasporto per determinare soluzioni di problemi inversi in ambito astrofisico.

Come primo risultato si sono determinate le dimensioni di una nube interstellare e il coefficiente di interazione totale, conoscendo la densita` di fotoni presenti nella nube stessa. Il modello adottato, in questa prima fase unidimensionale, si basa sull'equazione di Boltzmann lineare per i fotoni e si utilizza una approssimazione quasi-statica della soluzione allo scopo di risolvere il problema inverso. Sono previste generalizzazioni al caso tridimensionale. Si prevede inoltre di raffinare il procedimento di determinazione delle approssimazioni usate per risolvere il problema inverso in modo da migliorare anche numericamente i risultati. Nell'ambito dello studio sulle relazioni tra possibile reversibilita` nei processi di trasporto, condizioni al contorno, e proprieta` spettrali dell'operatore di streaming e` stato studiato lo spettro dell'operatore di streaming nel caso di slab infinito o semi-infinito. In entrambi i casi lo spettro e` risultato essere residuo e solo sull'asse immaginario. Sono state indagate le proprieta` di generazione di semigruppo dell'operatore di streaming che a causa della mancanza delle condizioni al contorno risulta generare un gruppo.

4 ottobre 2001