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MINISTERO DELL'ISTRUZIONE DELL'UNIVERSITÅ E DELLA RICERCA |
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Programmi di ricerca cofinanziati - Modello C
Rendiconto di unita' di ricerca - ANNO 2000
prot. MM01168817_005
Descrizione della Ricerca eseguita e dei risultati ottenuti
L'attivita` del gruppo di ricerca di Firenze nel periodo 2000-2002 si è rivolta a problemi fisico-matematici che si possono suddividere nei tre principali filoni:- MODELLI MATEMATICI E METODI NUMERICI nella modellistica dei dispositivi a semiconduttore,
- MODELLI CINETICI PER COAGULAZIONE DI POLVERI E PLASMI,
- TEORIA DEI SEMIGRUPPI, PROBLEMI DI ESISTENZA ED UNICITA', E PROBLEMI INVERSI IN TEORIA DEL TRASPORTO.
1. MODELLI MATEMATICI E METODI NUMERICI NELLA MODELLISTICA DEI DISPOSITIVI A SEMICONDUTTORE
La ricerca in questo settore è stata la preminente ed ha riguardato lo studio del trasporto quantistico e le sue applicazioni alla modellistica di dispositivi. A tale scopo abbiamo individuato nella formulazione Wigneriana della meccanica quantistica uno strumento privilegiato in quanto essa consente di ottenere, per gli stati misti, equazioni che sono l'analogo quantistico delle equazioni cinetiche classiche [5]. Inoltre, il passaggio ai diversi limiti asintotici semiclassici risulta particolarmente agevole in questo formalismo e diversi studi dimostrano anche buone proprietà di implementazione numerica. Analizziamo in particolare i temi principali che sono stati oggetto di risultati.1.1 Problemi al contorno per l'equazione di Wigner in domini limitati.
I problemi al contorno per l'equazione di Wigner in domini limitati sono di grande interesse applicativo in quanto forniscono modelli di interfaccia tra l'unita` funzionale del dispositivo e i contatti esterni. L'analogia della teoria Wigneriana con le teorie cinetiche classiche permette la formulazione di condizioni al contorno di tipo "inflow". Dal punto di vista strettamente matematico, la buona posizione dell'equazione di Wigner stazionaria con condizioni di inflow non è stata ancora completamente dimostrata ed è attualmente all'attenzione dei matematici del settore.
In [9] è stato introdotto un nuovo metodo per affrontare il problema che ha permesso di dimostrare la buona posizione, nell'ipotesi aggiuntiva di una soglia minima (arbitrariamente piccola) per le velocità degli elettroni. Possibili strategie per estendere la dimostrazione al caso generale sono state discusse in [2].
Oltre ad un'analisi di modelli matematici basati sull'equazione di Wigner [2], [5], [9] si è investigato rigorosamente il sistema non-lineare di Wigner-Poisson con condizioni al contorno semiclassiche di tipo "inflow".
In particolare, nel caso del sistema non-lineare di Wigner-Poisson, la ricerca, effettuata in collaborazione con la Dott.ssa Chiara Manzini (SNS-Pisa), ha portato a risultati di buona posizione in spazi L2 con peso nel caso unidimensionale. Il caso tridimensionale è tuttora sotto esame, con risultati finora molto incoraggianti.
1.2 Modelli di trasporto multibanda.
Il prototipo dei dispositivi a semiconduttore è il Resonant Tunneling Diode (RTD), che è già stato studiato mediante il formalismo di Wigner e le cui equazioni cinetiche devono essere risolte per via numerica. Un altro dispositivo di grande interesse è il Resonant Interband Tunneling Diode (RITD), che si differenzia dall'RTD principalmente per il fatto che gli elettroni di valenza giocano un ruolo determinante nel controllare il flusso di corrente. Per la descrizione cinetica dell'RITD mediante la funzione di Wigner, è necessaria la formulazione di un modello di trasporto multibanda, finora assente in letteratura, e che noi abbiamo sviluppato nel corso degli ultimi due anni.
Solitamente, la funzione di Wigner per un insieme statistico di elettroni che si muovono sotto l'azione del potenziale periodico del cristallo ed in presenza di un campo esterno, è definita soltanto per la popolazione della banda di conduzione nell'ambito dell'approssimazione della massa efficace. La struttura delle equazioni cinetiche è la stessa che nel caso di elettroni liberi sotto un potenziale esterno. L'effetto del potenziale periodico è rappresentato dal termine di streaming con la massa efficace, mentre il campo esterno appare nell'operatore pseudo-differenziale.
Lungo questa linea di ricerca, abbiamo definito la funzione di Wigner per un insieme statistico di elettroni comprendente le popolazioni di tutte le bande di energia e si è scritta l'equazione di evoluzione temporale esatta in assenza di campo esterno [17] per bande di forma qualsiasi. Se si prendono in considerazione M bande, la funzione di Wigner è una somma di MxM termini caratterizzati da un doppio indice di banda. Il modello è stato quindi esteso al caso in cui l'evoluzione temporale della funzione di Wigner sia determinata, oltre che dal potenziale periodico del reticolo, anche da un potenziale esterno. Dalle equazioni generali, si è quindi ricavato un modello multibanda semplificato, applicando l'approssimazione di massa efficace a ciascuna banda [16].
Nello sviluppare modelli di trasporto quantistico in semiconduttori con effetti di accoppiamento tra bande di energia si sono definite opportune "distribuzioni di Wigner multibanda", scrivendone le relative equazioni dinamiche, in vari casi:
a) per proiezioni di Floquet "pure" della funzione d'onda;
b) per funzioni di inviluppo di tipo Wannier-Slater;
c) per funzioni di inviluppo di Luttinger-Kohn (modello di Kane).
I vari modelli sono stati analizzati per dimostrarne la buona posizione e per metterne in luce le diverse caratteristiche matematiche e il diverso significato fisico.
Le equazioni differenziali del modello multibanda così ottenuto presentano ancora notevoli difficolta' alla risoluzione numerica. Abbiamo quindi utilizzato il modello per lo studio di alcuni fenomeni elementari, per i quali le equazioni si semplificano ulteriormente:
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(i) effetto della non parabolicita' del profilo di banda nel caso di
singola banda in assenza di campo esterno e confronto con la soluzione
free-streaming dell'approssimazione di massa efficace [18]; |
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(ii) studio di una transizione interbanda di un gruppo di elettroni
spazialmente omogeneo (funzione di Wigner indipendente dalla coordinata
spaziale) sotto l'azione di un campo esterno costante; |
| (iii) evoluzione di un gruppo di elettroni in singola banda con profilo (non parabolico) che presenta un minimo centrale ed un minimo satellite, ed in presenza di campo esterno costante. In quest'ultimo caso, è stato scelto un profilo di banda con caratteristiche molto vicine a quelle del GaAs. |
Parallelamente a questi argomenti, è stato anche studiato, nell'ambito delle tematiche di base del trasporto quantistico, il problema delle soluzioni stazionarie del sistema di Wigner-Poisson con condizioni al contorno periodiche (modi BGK quantistici) [14]. Queste sono generalizzazioni quantistiche delle soluzioni stazionarie del sistema di Vlasov-Poisson della fisica del plasma.
Nell'ambito del formalismo di Wigner, ricordiamo anche il lavoro [11], in cui si ottiene la versione di Wigner del classico modello di Kane a due bande. Un tale modello si basa su una opportuna approssimazione delle funzioni di Bloch, utilizzando il metodo k.P per una approssimazione dell'Hamiltoniana. Queste ricerche sono in collaborazione con il laboratorio di microelettronica dell'Universitè di Firenze, dove sono state effettuate misure su alcuni prototipi industriali, e con il gruppo di ricerca del Prof. C. Jacoboni (Univ. di Modena).
1.3 Analisi asintotica del modello di Luttinger-Khon
Si è iniziato lo studio matematico rigoroso della teoria delle funzioni di inviluppo di Luttinger e Khon. Tale teoria è uno dei capisaldi della modellizzazione matematica del trasporto quantistico in semiconduttori. Il nostro studio è rivolto soprattutto all'analisi asintotica rispetto ad un "parametro piccolo" legato al periodo del potenziale periodico del cristallo semiconduttore. La ricerca è svolta in collaborazione col Prof. Naoufel Ben Abdallah (Lab. MIP-UPS, Toulouse).
1.4 Equilibrio termodinamico quantistico multi-banda
Si è studiato l'equilibrio termodinamico di un sistema quantistico descritto da una Hamiltoniana di Kane a due bande, [6]. Utilizzando un'estensione al caso multi-banda del formalismo di Wigner e lo sviluppo perturbativo di Dyson-Phillips si è trovato uno sviluppo asintotico in potenze di h della matrice che descrive l'equilibrio termodinamico del sistema. I termini dello sviluppo fino all'ordine 2 sono stati calcolati esplicitamente. Il lavoro è in corso di stesura definitiva.
1.5 Equazioni idrodinamiche quantistiche
Si è iniziato lo studio di equazioni idrodinamiche quantistiche per sistemi multi-banda. Si sono dedotti sistemi (non chiusi) di equazioni idrodinamiche sia a partire dal modello di Kane, usando un ansatz WKB per stati misti, sia prendendo i momenti dalle equazioni di Wigner multi-banda descritte precedentemente. Un primo passo per affrontare il problema della chiusura dei sistemi di equazioni cosi' ottenuti è costituito dalla conoscenza della distribuzione di Wigner all'equilibrio termodinamico (si veda il precedente punto 1.4).
1.6 Metodi numerici per dispositivi a semiconduttore interbanda.
E' noto che il sistema di Wigner-Poisson (WP), nel limite classico, diventa il sistema di Vlasov-Poisson (VP). Quindi molti dei metodi numerici che si usano per il sistema di VP sono quindi adattabili al sistema di WP. In particolare, poiché l'equazione di Liouville per la funzione di Wigner contiene un operatore pseudo-differenziale, al posto del termine di accelerazione dell'equazione di Boltzmann o Vlasov, i metodi numerici che utilizzano le trasformate di Fourier sono immediatamente utilizzabili per il sistema di WP. E' stato affrontato il problema della soluzione numerica del sistema di WP mediante lo splitting scheme. Abbiamo scritto e testato un programma che risolve l'equazione di Wigner. L'algoritmo utilizzato è una semplice generalizzazione della versione Fourier-Fourier dello splitting scheme (Klimas e Farrell). Il programma è stato testato su alcuni semplici sistemi quantistici, quali la trasmissione e la riflessione di un insieme di particelle da una barriera di potenziale di altezza ed ampiezza variabili. Il codice è stato impiegato sia nel regime fortemente quantistico, dove dominano gli effetti di interferenza, sia in quello debolmente quantistico, piu' vicino a quello classico.
Attualmente si ha anche in corso uno studio per la soluzione numerica del sistema Wigner-Poisson tenendo conto delle collisioni con i fononi. In questo campo si procede su due direzioni: la prima si basa su modelli di collisione con il metodo dei Wigner path dovuto a C.Jacoboni ed ai suoi coautori, la seconda si basa si metodi approssimati che riadattano i modelli di rilassamento, metodi questi utilizzati nella letteratura microelettronica dei circuiti equivalenti.
2. MODELLI CINETICI PER COAGULAZIONE DI POLVERI E PLASMI
Questa parte della ricerca riguarda lo studio fisico-matematico di modelli di tipo cinetico non-lineari con termini di coagulazione e/o scambio di cariche [12],[13]. Le motivazioni applicative di tale ricerca provengono soprattutto dall'astrofisica e in particolare dallo studio del mezzo interstellare, in cui sono di notevole interesse modelli di plasmi rarefatti di elettroni, ioni e polveri. Per questo motivo la ricerca è svolta in collaborazione con ricercatori del Gruppo Nazionale per la Fisica Cosmica del CNR di Firenze.In particolare, si è considerato un modello per una distribuzione "bimodale" di masse, ovvero in cui sono presenti due specie di polveri le cui masse tipiche differiscono per alcuni ordini di grandezza. Le particelle "piccole" sono scatterate o catturate dalle "grandi" secondo un parametro che dipende dalle masse e dalle velocità relative. Di tale modello sono stati discussi la buona posizione e il comportamento asintotico, ricavando, tra l'altro, un valore per il tasso di estinzione delle particelle piccole in buon accordo con i dati sperimentali.
Un altro modello considerato è stato quello di un "plasma polveroso", in cui elettroni e ioni urtano e coagulano con grani di polvere caricandoli per quantit&@224; discrete. Tutto il sistema è inoltre sotto l'azione di un campo elettrostatico esterno. Il modello matematico consiste in un sistema integro-differenziale non-lineare di un'infinità numerabile di equazioni cinetiche per le densita' di elettroni e per le infinite densità dei granelli di polvere portanti cariche elettroniche. La buona posizione e il comportamento asintotico sono stati studiati con successo in una versione unidimensionale "a parametri concentrati". Lo studio del modello completo tridimensionale à tuttora in corso.
3. TEORIA DEI SEMIGRUPPI, PROBLEMI DI ESISTENZA ED UNICITA', E PROBLEMI INVERSI IN TEORIA DEL TRASPORTO.
Nel corso del 2000 si è iniziato lo studio di alcuni problemi inversi in teoria del trasporto. In particolare si è cercato di applicare le tecniche utilizzate nel corso degli ultimi anni per studiare problemi di trasporto radiativo allo scopo di determinare soluzioni di problemi inversi nell'ambito astrofisico della fisica del mezzo interstellare. Un problema da noi analizzato consiste nel ricavare le abbondanze relative di due specie di polveri presenti in una nube interstellare (note le loro caratteristiche fisiche) a partire dalla misura del flusso di radiazione, per due diverse frequenze, proveniente da una sorgente stellare posta dietro la nube. Sono state ricavate condizioni sufficienti affinché tale problema sia ben posto. La ricerca è effettuata in collaborazione con il Prof. Aldo Belleni-Morante (Univ. di Firenze) e con la Dott.ssa Federica Dragoni (SNS-Pisa). Un articolo contenente i primi risultati della ricerca è in via di stesura.Sempre nel campo del trasporto in ambito astrofisico, si sono determinate le dimensioni di una nube interstellare e il coefficiente di interazione totale, conoscendo la densità di fotoni presenti nella nube stessa. Il modello adottato, in una prima fase unidimensionale, si basa sull'equazione di Boltzmann lineare per i fotoni e si utilizza un'approssimazione quasi-statica della soluzione allo scopo di risolvere il problema inverso [21]. Si prevede inoltre di raffinare il procedimento di determinazione delle approssimazioni usate per risolvere il problema inverso in modo da migliorare anche numericamente i risultati.
Nell'ambito dello studio sulle relazioni tra possibile reversibilità nei processi di trasporto, condizioni al contorno, e proprietà spettrali dell'operatore di streaming è stato studiato lo spettro dell'operatore di streaming nel caso di slab infinito o semi-infinito. In entrambi i casi lo spettro è risultato essere residuo e solo sull'asse immaginario. Sono state indagate le proprieta` di generazione di semigruppo dell'operatore di streaming che a causa della mancanza delle condizioni al contorno risulta generare un gruppo. Per quanto riguarda lo studio di problemi di trasporto si è studiata la relazione fra i vari approcci che vengono usati per determinare le soluzioni (semigruppi fortemente continui, semigruppi integrati, C-semigruppi, semigruppi B-limitati) in relazione con i diversi tipi di condizioni al contorno.
Un altro tema di ricerca ha riguardato la generazione del semigruppo di evoluzione in caso di generatori dati dalla somma di operatori non limitati.
In un lavoro in collaborazione con J.Banasiak e F.Mugelli [4], si è rivisitato il problema per l'esistenza di soluzioni per l'equazione di Boltzmann lineare per gli elettroni in un semiconduttore, dove l'interazione elettroni-fononi è modellata da un operatore non limitato con termini di tipo delta. L'analisi del problema con tecniche di semigruppi di operatori richiede alcune attenzioni dovute alla presenza di perturbazioni non limitate. L'esistenza è ottenuta tramite la teoria dei semigruppi substocastici, con una generalizazione del teorema di Kato-Voigt dovuta a L.Arlotti ed a J.Banasiak. Nel lavoro si ottiene inoltre una caratterizzazione del generatore del semigruppo.
In un successivo lavoro [20] si è considerato il problema astratto di evoluzione caratterizzato dalla somma di due operatori lineari non limitati A e B nell'ipotesi che A generi semigruppo. Si sono studiate le relazioni tra il generatore G del semigruppo e la chiusura dell'operatore A+B. Il risultato si basa sull'analisi spettrale di un operatore tipo risolvente. Varie situazioni si presentano a seconda che il valore 1 sia nel risolvente, nello spettro continuo o nello spettro residuo di tale operatore. Questa ricerca è stata svolta in collaborazione con C. van der Mee (Univ. di Cagliari).
Il numero delle pubblicazioni citate si riferisce alla lista che si trova nella sez.10 (Prodotti della Ricerca eseguita).
Una lista completa dei lavori dei componenti il gruppo di ricerca si può trovare in www.dma.unifi.it/~frosali/cofin00/biblio/