MURST'2000 - Modello B - Visualizza modello

Problemi matematici delle teorie cinetiche

Mathematical Problems of Kinetic Theories

CERCIGNANI	CARLO
(cognome)	(nome)
Politecnico di MILANO	Facoltà di INGEGNERIA
(università)	(facoltà)
A03X	Dipartimento di MATEMATICA
(settore scient.discipl.)	(Dipartimento/Istituto)

carcer@mate.polimi.it
(E-mail)

FROSALI	GIOVANNI
(cognome)	(nome)

Professore ordinario	29/11/1947	FRSGNN47S29I728W
(qualifica)	(data di nascita)	(codice di identificazione personale)

Università degli Studi di FIRENZE	Facoltà di INGEGNERIA
(università)	(facoltà)
A03X	Dipartimento di MATEMATICA APPLICATA
(settore scient.discipl.)	(Dipartimento/Istituto)

055/4796307	055/471787	FROSALI@DMA.UNIFI.IT
(prefisso e telefono)	(numero fax)	(E-mail)

G.Frosali ha svolto i suoi studi presso l'Università di Firenze, dove è stato assistente dal 1973 al 1983 e professore associato di Meccanica Razionale presso la Facoltà di Ingegneria di Firenze dal 1983. Vincitore di concorso nel 1986, è stato professore ordinario di Meccanica Razionale dal 1987 al 1997, presso l'Università di Ancona dove è stato Direttore del Dipartimento di Matematica per due trienni. Attualmente è professore di Meccanica Razionale presso la Facoltà di Ingegneria di Firenze. Ha svolto ricerche nell'ambito della teoria del trasporto di particelle, con particolare riguardo a problemi stazionari e di criticità, a problemi di esistenza ed unicità con metodi di semigruppi, a problemi di runaway, a scattering theory e ad analisi asintotica per equazioni cinetiche. E' autore di più di 60 articoli pubblicati su riviste nazionali ed internazionali, su atti di congressi, e rapporti interni. E' membro della Commissione Scientifica dell'UMI e socio di numerose societa' di matematica pura ed applicata.

Dr. Frosali completed his studies at the University of Florence, where he was assistant professor from 1973 to 1983 and associate professor of Analytical Mechanics at the Faculty of Engineering from 1983. In 1986, he was promoted professor of Analytical Mechanics from 1987 to 1997 at the University of Ancona, where he was the chairman of the Mathematical Department for six years. Since 1997 he is professor of Analytical Mechanics at the Faculty of Engineering of the University of Florence. He has been interested in transport theory and in mathematical methods in applied sciences, participating at numerous national and international scientific meetings, congresses, and conferences. His research activity is strongly related with the research of numerous groups working in these fields. He authored more than 60 journal articles published in prestigious national and international journals, conference papers, and internal reports. He is member of the Scientific Committee of UMI and member of others societies of pure and applied mathematics.

Nº	Cognome	Nome	Dipart./Istituto	Qualifica	Settore scient.	Mesi uomo
2000	2001

1	FROSALI	GIOVANNI	MATEMATICA APPLICATA	Prof. ordinario	A03X	11	11
2	BARLETTI	LUIGI	MATEMATICA "ULISSE DINI"	Ricercatore	A03X	11	11
3	BORGIOLI	GIOVANNI	ELETTRONICA E TELECOMUNICAZIONI	Prof. associato	A03X	11	11
4	BUSONI	GIORGIO	MATEMATICA "ULISSE DINI"	Prof. ordinario	A03X	11	11
5	MATUCCI	SERENA	ELETTRONICA E TELECOMUNICAZIONI	Ricercatore	A02A	11	5

Nº	Cognome	Nome	Università	Dipart./Istituto	Qualifica	Settore scient.	Mesi uomo
2000	2001

1	DEMEIO	LUCIO	ANCONA	MATEMATICA	Ricercatore	A03X	11	11
2	TOTARO	SILVIA	SIENA	MATEMATICA	Prof. associato	A03X	11	11

Nº	Cognome	Nome	Dipart./Istituto	Anno del titolo	Mesi uomo
2000	2001

Nº	Cognome	Nome	Dipart./Istituto	Anno del titolo	Mesi uomo
1.	MANCINI	SIMONA	MATEMATICA "ULISSE DINI"	2000	22

Nº	Qualifica	Costo previsto	Mesi uomo
1.	LAUREATO	12	11

Modelli matematici per dispositivi a semiconduttore, analisi asintotica in teorie cinetiche ed applicazioni

Mathematical modeling of semiconductor devices, asymptotic analysis in kinetic theories and applications

1. Modelli matematici e numerici di dispositivi a semiconduttore.
Nella modellizzazione dei semiconduttori di nuova generazione è necessario tenere conto degli effetti quantistici [1.1]. L'effetto dell'interferenza quantistica e delle dimensioni finite dominano il comportamento di queste strutture e controllano il flusso di corrente. La grandezza di maggior interesse nella teoria del trasporto quantistico è la funzione di Wigner, che gioca un ruolo simile a quello della funzione distribuzione classica, ed i cui momenti danno le quantità macroscopiche che caratterizzano il comportamento del sistema. La funzione di Wigner è definita per i sistemi quantistici statistici per mezzo di una trasformazione appropriata, detta trasformazione di Wigner, della funzione d'onda. Questa trasformazione comporta l'integrazione rispetto alla variabile spaziale su tutto lo spazio, creando così tutta una serie di problemi, ancora aperti, relativi all'applicazione di tale formalismo a domini spazialmente limitati [1.2], [1.3], [1.4]. In particolare, non è ancora completamente chiaro il problema di assegnare le condizioni al contorno. Uno dei prototipi fra i semiconduttori di scala nanometrica è il cosiddetto Resonant Tunneling Diode (RTD) le cui proprietà sono state già studiate facendo uso del formalismo di Wigner [1.5], dove le equazioni cinetiche che governano l'evoluzione temporale della funzione di Wigner sono state risolte numericamente.
2. Analisi asintotica in problemi di teoria cinetica e plasma.
Il metodo compresso di Chapman-Enskog [2.1] è stato applicato ad equazioni cinetiche lineari relative alla descrizione di sistemi fisici mostrando in particolare che questo metodo porta alla derivazione dell'approssimazione idrodinamica senza introdurre una scalatura anche della variabile temporale (riscalatura necessaria in molte situazioni quando si fa uso dello sviluppo asintotico di Hilbert). L'approccio basato sullo sviluppo di Chapman-Enskog fornisce una analisi rigorosa che porta ad approssimare la soluzione con l'accuratezza voluta, e con una stima precisa dell'errore commesso. Questo metodo può essere applicato con successo ad un ampio spettro di situazioni incluso modelli per semiconduttori [2.2]. Recentemente il metodo compresso di Chapman-Enskog è stato applicato allo studio di limiti idrodinamici dell'equazione lineare di Boltzmann con scattering anelastico [2.3].
Un altro tipo di modello diffusivo ottenuto tramite l'analisi asintotica può essere usato per descrivere il trasporto di elettroni nei propulsori a plasma [2.4]. In certe specie di propulsori ionici per satelliti, gli elettroni si muovono in regioni delimitate da due piani paralleli dove sono soggetti a campi elettrici e magnetici ed inoltre vengono diffusi tramite collisioni con i piani. In questo problema nascono diverse questioni di originale interesse matematico.
3. Operatori d'onda e di scattering
Gli operatori d'onda sono di grande interesse nella meccanica quantistica, per la loro importanza nei problemi evolutivi nei quali c'è conservazione della norma della variabile dipendente in un opportuno spazio funzionale, come ad esempio accade in alcuni modelli fisici dove non c'è decadimento ad uno stato stazionario. Queste proprietà hanno attratto molti ricercatori di teorie cinetiche a partire dai primi lavori di Hejtmanek, Simon, Protopopescu e Voigt negli anni settanta ed ottanta. Più recentemente, Arlotti, Busoni, Frosali, e van der Mee hanno considerato l'esistenza di operatori d'onda in problemi di runaway di particelle cariche; Busoni ha investigato l'esistenza di operatori d'onda in problemi di scambio di carica che sono di interesse nella fisica dei plasmi. E' interessante studiare se esiste una specie di dipendenza uniforme dalla distribuzione rispetto all'istante di tempo che viene considerato come iniziale per l'evoluzione. Allo scopo di ottenere dettagliate risposte a questa questione, si ha in programma di studiare il problema di evoluzione (possibilmente dipendente dal tempo) in uno spazio funzionale creando un nuovo problema di evoluzione autonomo, la cui asintotica può comportarsi come un'onda sotto opportune ipotesi. Primi risultati in questa direzione sono stati ottenuti in [3.1]. Altri campi di interesse sono le teorie di plasmi con una componente di polvere [3.2], e nel trasporto di radiazione nei mezzi interstellari.
4. Il sistema di Vlasov-Poisson e onde nonlineari di plasma
Il sistema di Vlasov-Poisson (VP) è il modello base per la descrizione cinetica delle onde di plasma. Le equazioni nonlineari descrivono l'evoluzione di una funzione di distribuzione di elettroni e del campo elettrico auto-consistente in un plasma con ioni fissi in assenza di campo magnetico. Sebbene questo sistema sia stato studiato per parecchi anni, esso presenta ancora importanti problemi aperti. A causa della nonlinearità, il sistema ammette una grande varieta' di soluzioni, ciascuna delle quali relativa ad una diversa situazione fisica. Tra le classi di soluzioni che sono state studiate analiticamente, due sono considerate rilevanti dal punto di vista fisico:
(i) la soluzione lineare di Landau (1946); questa è la soluzione del sistema linearizzato intorno ai punti di equilibrio spazialmente omogenei (equilibri di Vlasov);
(ii) le soluzioni nonlineari stazionarie di Bernstein, Greene e Kruskal (modi BGK) [4.1]; essi mostrarono che si possono costruire molte strutture stazionarie spazialmente periodiche, ciascuna delle quali genera un'intera famiglia di soluzioni mediante una trasformazione galileiana con velocità di fase arbitraria.
E' sempre sembrato naturale che i fenomeni descritti dal sistema VP, in particolare le onde di plasma, si possano spiegare considerando un problema evolutivo, con dati iniziali vicini ai punti di equilibrio spazialmente uniformi. A questo scopo, la teoria di Landau fornisce un punto di partenza e la successiva comprensione delle onde di plasma discende direttamente dal sistema linearizzato. D'altra parte, per molto tempo i modi BGK sono sembrati di secondaria importanza, e non si conosceva nessuna relazione fra loro e la soluzione di Landau. Negli ultimi anni, invece, nuovi risultati ottenuti mediante l'analisi nonlineare [4.2] e le simulazioni numeriche, [4.3],[4.4], hanno mostrato che i modi BGK sono importanti per capire il comportamento delle soluzioni per tempi lunghi. Questi studi hanno mostrato che il sistema di Vlasov-Poisson ammette soluzioni che corrispondono a modi BGK arbitrariamente vicini ad un equilibrio di Vlasov, inclusi equilibri stabili come la Maxwelliana, ma queste soluzioni non possono essere ritrovate dalla teoria lineare di Landau.
Simulazioni numeriche hanno a loro volta mostrato che l'evoluzione di una perturbazione di un equilibrio di Vlasov tende asintoticamente ad una struttura nello spazio delle fasi che può essere adeguatamente descritta da una combinazione appropriata di due (o più) modi BGK. Un tentativo di capire il ruolo dei modi BGK nell'evoluzione temporale degli equilibri di Vlasov perturbati è stato fatto recentemente da Buchanan e Dorning in una serie di lavori [4.5], [4.6], [4.7]. Essi hanno introdotto un principio di sovrapposizione di modi BGK, in base al quale i potenziali dei singoli modi si sovrappongono linearmente ma le distribuzioni si combinano invece con una regola nonlineare. Questo principio di sovrapposizione nonlineare potrebbe essere di aiuto nello spiegare il comportamento per tempi lunghi delle soluzioni di Vlasov osservate nelle simulazioni numeriche. Uno studio numerico su alcuni aspetti di questo principio di sovrapposizione fu presentato ad Atlanta all'International Conference on Transport Theory dove furono confrontate le evoluzioni temporali di sovrapposizioni lineari e nonlineari di modi BGK determinate dalla dinamica di Vlasov, e ne venne studiato il comportamento [4.8].

1. Mathematical and numerical modeling of semiconductor devices
Quantum transport has become the main tool used in the description and modeling of nanometer scale semiconductor devices [1.1]. Quantum interference and finite size effects dominate the behaviour of these structures and control the flow of current. The main quantity of interest in quantum transport theory is the Wigner function, which plays a role close to that of the particle distribution function in the classical transport and whose moments give the macroscopic quantities that characterize the behaviour of the system. The Wigner function is defined for statistical quantum systems by a suitable transformation (called Wigner transformation) from the wave function. This transformation involves integrals in the space variable over the whole space, and this creates a number of important, still open, problems related to the applications of the Wigner function formalism to spatially bounded domains [1.2], [1.3], [1.4]. In particular, it is still unclear what are the proper boundary conditions which should be assigned to the quantum kinetic equations. The prototype of such nanometer scale semiconductor devices is the Resonant Tunneling Diode (RTD), whose properties have already been studied with the Wigner function approach [1.5]. The kinetic equations which govern the time evolution of the Wigner function in the RTD case have been solved numerically.
2. Asymptotic analysis in kinetic and plasma physics problems
The compressed Chapman-Enskog asymptotic expansion [2.1] was applied to linear kinetic equations describing various physical systems showing in particular that this method yields hydrodynamic/diffusive approximation without resorting to any time rescaling (which in many instance is necessary when one uses the Hilbert asymptotic expansion). The approach based on the Chapman-Enskog expansion furnishes a fully rigorous asymptotic analysis enabling to find a limit/approximate solution up for any given degree of accuracy, and proving an estimate on the resulting error. This rigorous and powerful method can be applied to a wide range of situations including for example semiconductor models [2.2] where the presence of an acceleration term makes the mathematical analysis much more challenging. In recent years the compressed Chapman-Enskog procedure has been applied to study the hydrodynamic limits of the linear Boltzmann equation with inelastic scattering [2.3].
Yet another type of diffusive model obtained by the asymptotic analysis can be used to describe electron transport in plasma thrusters [2.4]. In certain kind of ion propellors for satellites, electrons are moving in the gap between two solid plane parallel plates where they are subjected to crossed electric and magnetic fields and also diffuse by collisions with the plates. In this problem there appear many interesting mathematical questions which currently attract many researchers worldwide.
3. Wave and scattering operators
Wave operators are of large interest in quantum mechanics due to their importance in isometric evolutions, that is, in the study of physical models where there may be no decay to a steady state. These properties have attracted many researchers in kinetic theories since the pioneering works by Hejtmanek, Simon, Protopopescu and Voigt in the seventies and eighties. More recently, Arlotti, Busoni, Frosali, and van der Mee considered the existence of wave operators in the electron runaway problems; Busoni investigated the existence of wave operators in the charge exchange problems which are of interest in plasma physics. It is interesting to investigate if there is some kind of uniform dependence on the "initial" distributions with respect to the starting time. In order to obtain some answers to this question, we plan to embed the (possibly time dependent) evolution problem in a wider functional space creating a new autonomous evolution problem, whose asymptotics may behave as a wave under suitable hypothesis to be determined. First results in this direction has been obtained in [3.1]. Other fields of interest for these techniques are dusty plasmas theories [3.2], and radiative transfer in interstellar clumpy media.
4. Vlasov-Poisson system and nonlinear plasma waves
The Vlasov-Poisson system (VP) is the basic model for the kinetic description of plasma waves. The equations are nonlinear and describe the time evolution of the electron distribution function and of the self-consistent electric field of an unmagnetized plasma with immobile ions. Although this system has been studied for several decades, it still offers several important questions wich are open to investigation. Because of the nonlinearity, the system supports a wealth of solutions each of them describing different physical situations. In this project we intend to address some aspects of the question concerning the long-time behaviour of perturbed Vlasov equilibria. Analitically, two classes of solutions of the system have been considered of physical relevance:
(i)the linear solution of Landau (1946); this is the solution of the system linearized about spatially uniform equilibria (Vlasov equilibria);
(ii) the nonlinear steady-state solutions of Bernstein, Greene and Kruskal (BGK modes) [4.1]; they showed that one can construct many spatially periodic steady-state structures, and that each of them generates a whole family of solutions by a Galilean transformation with arbitrary phase velocity. It has always seemed natural that the kind of phenomena which are described by the VP system, noticeably plasma waves, can be explained by considering an initial value problem with initial data which are near to the spatially uniform equilibrium. For this purpose, Landau's theory provides a firm background. One the other hand, for a long time the BGK modes have seemed to play a little role, if any, in describing the physical reality, and no relationship between them and the linear solution was known. In recent years, however, new results from nonlinear bifurcation analysis [4.2] and numerical computations, [4.3],[4.4], have shown that BGK modes are indeed important and instrumental to the understanding of the long-time behaviour of Vlasov solutions. Nonlinear bifurcation analysis has shown that the Vlasov-Poisson system admits solutions which correspond to BGK modes arbitrarily close to any Vlasov equilibrium, including stable equilibria such as the Maxwellian. These nonlinear solutions cannot be recovered from Landau's linear theory, even in the limit of zero amplitude. Computer simulations have in turn demonstrated that the time evolution of a small perturbation to a Vlasov equilibrium, under conditions in which linear theory applies, tends asymptotically in time to a phase-space structure which can be adequately described by some kind of superposition of two (or possibly more) counterpropagating BGK modes.
An attempt to understand the role of BGK modes in the time evolution of perturbed Vlasov equilibria has been made recently by Buchanan and Dorning, [4.5], [4.6], [4.7]. They have introduced a nonlinear superposition principle of BGK modes, according to which the potentials of the individual modes superpose linearly but the distribution functions combine according to a specific nonlinear rule. The state constructed in this way satisfies the VP system in the limit of small wave amplitude. This nonlinear superposition principle might be of help in explaining the long-time behaviour of Vlasov solutions observed in the numerical simulations. A numerical investigation on some aspects of this nonlinear superposition principle has been presented in Atlanta International Conference on Transport Theory, where we compared the time evolution of linear and nonlinear superpositions of BGK modes given by the Vlasov dynamics, and studied their behaviour as the phase velocities and the amplitudes were varied [4.8].

1. Mathematical and numerical modeling of semiconductor devices
[1.1] P.Markowich, Ch.A.Ringhofer, Ch.Schmeiser, Semiconductor equations, Springer Verlag, Wien, 1990
[1.2] W.R. Frensley, Wigner-Function Model of a Resonant-Tunneling Semiconductor Device, Phys. Rev B, 36(3), 1570-1580 (1987).
[1.3] W.R. Frensley, Boundary Conditions for Open Quantum Systems Driven far from Equilibrium, Rev. Modern Phys., 62(3), 745-791 (1990).
[1.4] L. Barletti and P. F. Zweifel, Parity-Decomposition Method for the Stationary Wigner Equation with Inflow Boundary Conditions, Transport Theory and Stat. Phys., to appear (2000).
[1.5] N. C. Kluksdahl, A. M. Kriman, D. K. Ferry and C. Ringhofer, Self-Consistent Study of the Resonant-Tunneling Diode, Phys. Rev B, 39(11),7720-7735 (1989).
[1.6] M. Sweeney and Jingming Xu, Resonant Interband Tunnel Diodes, Appl. Phys. Lett. 54(6), 546-548 (1989).
[1.7] E. C. Kane, Energy Band Structure in p-Type Germanium and Silicon, J. Phys. Chem. Solids, 1, 82-89 (1956).
[1.8] E. C. Kane, Zener Tunneling in Semiconductors, J. Phys. Chem. Solids, 12, 181-188 (1959).
[1.9] A. J. Klimas and W. M. Farrell, A Splitting Algorithm for Vlasov Simulation with Filamentation Filtration, J. of Computat. Phys. 110(1), 150-163 (1994).
[1.10] L. Demeio, The inclusion of collisional effects in the splitting scheme, J. Computat. Phys. 99, 203 (1992).
2. Asymptotic analysis in kinetic and plasma physics problems
[2.1] J.R.Mika and J.Banasiak, Singularly perturbed evolution equations with applications to kinetic theory, World Scientific, Singapore 1995.
[2.2] J. Banasiak, Diffusion approximation for the linear Boltzmann equation of semiconductor theory with analysis of the initial layer, J. Math. Anal. Appl. 205, 216-238 (1997)
[2.3] J. Banasiak, G. Frosali G. Spiga, Inelastic scattering models in transport theory and their small mean free path analysis, Math. Methods Appl. Sci. 23, 121-145 (2000)
[2.4] P.Degond, V.Latocha, L.Garrigues, J.P.Boeuf, Electron transport in stationary plasma thrusters, Transp.Theory Stat.Phys. 27, 203-221 (1998)
3. Wave and scattering operators
[3.1] G. Busoni, H. Emamirad, Stationary scattering theory for a charge particle transport problem, J.Stat.Physics 96,377-401 (1999)
[3.2] V.N. Tsytovich, U. de Angelis, Kinetic theory of dusty plasmas. I, and II, Phys. Plasmas 6(1999), 1093-1106, and 7, 554-563 (2000)
4. Vlasov-Poisson system and nonlinear plasma waves
[4.1] I. B. Bernstein, J. M. Greene and M. D. Kruskal, Exact nonlinear plasma oscillations, Physical Review, 108, 546 (1957).
[4.2] J. Holloway and J. J. Dorning, Undamped plasma waves, Phys. Rev. A, 44, 3856 (1991).
[4.3] M. M. Shoucri, Nonlinear evolution of the bump-on-tail instability, Phys. Fluids 22, 2038 (1979).
[4.4] L. Demeio and J. P. Holloway, Numerical simulations of BGK modes, Journal of Plasma Physics, 46, 63 (1991).
[4.5] M. Buchanan and J. J. Dorning, Superposition of nonlinear plasma waves, Phys. Rev. Letters, 70, 3732 (1993).
[4.6] M. Buchanan and J. J. Dorning, Near-equilibrium multiple-wave plasma states, Phys. Rev. E, 50, 1465 (1994).
[4.7] M. Buchanan and J. J. Dorning, Nonlinear electrostatic waves in collisionless plasmas, Phys. Rev. E, 52, 3015 (1995).
[4.8] L. Demeio, A numerical study of linear and nonlinear superpositions of BGK modes Transport Theory Stat. Physics, (in press)
[4.9] C. G. Cheng and G. Knorr, The integration of the Vlasov equation in configuration space, J. Computat. Phys. 22, 330 (1976).
[4.10] A. J. Klimas, A method for overcoming the velocity space filamentation problem in collisionless plasma model solutions, J. Computat. Phys. 68, 202 (1987).
[4.11] A. J. Klimas and W. M. Farrell, A Splitting Algorithm for Vlasov Simulation with Filamentation Filtration, J. Computat. Phys. 110, 150-163 (1994).

1. Modelli matematici nei dispositivi a semiconduttore
Recentemente il diodo risonante interbanda (Resonant Interband Tunneling Diode -RITD) e' stato oggetto di notevole interesse da parte di ricercatori sia teorici che sperimentali. Il diodo RITD si distingue dal comune RTD (intrabanda) per il ruolo giocato dagli elettroni della banda di valenza nel controllo del flusso di corrente. Risultati sperimentali sull'RITD mostrano regioni multiple con resistenza differenziale negativa [1.6]. Calcoli teorici del diagramma I-V (corrente in funzione del voltaggio applicato) per questo dispositivo facendo uso delle probabilità di transizione quantistica nell'ambito del modello di Kane [1.7], [1.8] sono attualmente in studio.
Un'altra classe di sistemi di notevole interesse nelle nuove tecnologie di semiconduttori sono i Quantum Dots (QD), che sono un sistema di pozzi di potenziale di InAs su un substrato di GaAs, le cui dimensioni sono comparibili alla lunghezza d'onda di De Broglie degli elettroni. Lo scopo è di costruire un transistor dove il flusso di corrente è dovuto all'effetto tunnel di un basso numero di elettroni da un pozzo all'altro. Lo scopo di questo progetto è iniziare una linea di ricerca finalizzata alla modellistica sia teorica che numerica dei dispositivi a semiconduttore facendo uso del formalismo di Wigner per sistemi finiti. Questi risultati teorici saranno applicati a sistemi specifici in modo da poterli confrontare con risultati sperimentali ottenuti in laboratorio. Questa parte di ricerca si svolge in collaborazione con ricercatori del Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni di Firenze.
L'equazione cinetica che governa l'evoluzione temporale della funzione di Wigner in assenza di collisioni è l'equazione di Liouville. Quando siamo in presenza di un campo elettrico auto-consistente, allora si ha un sistema di equazioni, detto sistema di Wigner-Poisson (WP). Si puo' mostrare che, nel limite classico, il sistema di WP diventa il sistema di Vlasov-Poisson (VP).
Questo fatto rende i metodi numerici sviluppati per risolvere il sistema di Vlasov-Poisson facilmente adattibili a risolvere numericamente il sistema WP. In particolare, poichè l'equazione di Liouville per la funzione di Wigner coinvolge un operatore pseudodifferenziale - al posto dell'usuale termine di accelerazione della equazione classica di Boltzmann o di Vlasov -, tutti i metodi che usano la trasformata di Fourier possono essere facilmente usati per il sistema WP. Sulla base della nostra esperienza nella ricera numerica delle soluzioni del sistema VP, si vogliono scrivere codici numerici per la soluzione del sistema WP. In particolare, si porra' la nostra attenzione sulle applicazioni del formalismo di Wigner a situazioni di interesse pratico per la modellistica dei dispositivi a semiconduttore. La versione Fourier-Fourier dello "splitting scheme" [1.9], che integra il sistema classico di Vlasov-Poisson lungo le caratteristiche, sembra essere il migliore algoritmo disponibile per questo scopo. Si ha in programma di iniziare la nostra ricerca in questo campo con la simulazione numerica di un dispositivo RITD, usando lo "splitting scheme" per la funzione di Wigner. L'implementazione dell'algoritmo è immediata, ma si deve porre una attenzione particolare nel trattare il legame fra gli elettroni in banda di valenza e quelli in banda di conduzione. Le simulazioni descritte sopra devono inoltre includere le collisioni degli elettroni e delle lacune con i fononi del reticolo. L'operatore di collisione che descrive gli effetti collisionali contiene difficoltà e complicazioni sia di tipo matematico che numerico. Per questa ragione, si terranno conto degli effetti collisionali solo attraverso operatori in forma semplificata, come ad esempio gli operatori di tipo BGK (relaxation-time operators) con una opportuna scelta dei parametri di rilassamento. Un operatore collisionale di tipo BGK è stato già incluso nell'algoritmo "splitting scheme" per la soluzione numerica del sistema VP [1.10], e quindi la generalizzazione al sistema WP sembra immediata. Operatori collisionali più realistici saranno inclusi in questa ricerca in un secondo momento. Con gli strumenti descritti sopra, si intende esaminare un dispositivo RITD al fine di ottenere un diagramma I-V per questo sistema. Inoltre si vuole esplorare la possibilità di impiegare il formalismo basato sulla funzione di Wigner per un sistema di quantum dots. In questo caso, il sistema non è più monodimensionale ed il problema appare più complicato sia teoricamente che numericamente. La simmetria sferica dei pozzi di potenziale, comunque, dovrebbe ridurre la complessità del modello.
2. Analisi asintotica in problemi di teoria cinetica e di fisica del plasma.
Lo scopo principale di questa ricerca è lo studio di metodi asintotici per il passagio da modelli complicati (come l'equazione di Boltzmann) a modeli più semplici (come l'equazione di diffusione o della fluidodinamica). Teoricamente, l'analisi asintotica stabilisce i legami fra differenti modelli che descrivono lo stesso sistema fisico in vari regimi, e serve a specificare i domini dei parametri fisici per cui un dato regime può essere usato. In molti casi l'analisi asintotica può essere usata per validare tali modelli.
Dal punto di vista pratico, i metodi asintotici forniscono la possibilità di ridurre in modo significativo le difficoltà computazionali nel risolvere equazioni tipo Boltzmann sostituendole con equazioni più semplici di tipo fluido-dinamico o diffusivo. I metodi asintotici sono utili anche nell'analizzare la tendenza del sistema a stati di equilibrio o stazionari e nello studio di strati limite di transizione fra due differenti descrizioni macroscopiche.
Nell'ambito della teoria cinetica estesa, si intende applicare il metodo compresso di Chapman-Enskog per la derivazione di limiti idrodinamici/diffusivi per l'equazione lineare di Boltzmann per un modello che include sia lo scattering elastico che quello anelastico. Questa parte del progetto è già in fase di esecuzione ed al presente si sta esplorando la possibilità di differenti scalings degli operatori elastico ed anelastico rispetto ad un parametro epsilon, che è correlato con il cammino libero medio fra due collisioni successive e che perciò caratterizza il limite asintotico.
Si vuole estendere questo studio a modelli di particelle cariche con nucleo di scattering anelastico, simili a quelli che si incontrano nella teoria cinetica dei semiconduttori, dove l'operatore di collisione che modella lo scattering con i fononi ha un nucleo infinito dimensionale.
Nell'ambito dell'analisi asintotica per problemi di fisica del plasma in regioni limitate, ci si propone lo studio di un modello che nasce nella simulazione di propulsori ionici. Lo scopo è presentare una derivazione matematicamente rigorosa dell'equazione di diffusione che modella l'evoluzione degli elettroni che si muovono fra due piani paralleli. Le particelle sono soggette a campi elettrici e magnetici assegnati e collidono con la superficie dei piani paralleli. In un primo approccio si trascurano le collisioni degli elettroni contro le molecole neutre del mezzo ospite (un gas ionizzato). Così, l'equazione da studiare è l'equazione di Vlasov opportunamente completata con condizioni al contorno di accomodamento. Con un appropriato scaling, la funzione di distribuzione delle particelle converge a una funzione dell'energia e della posizione longitudinale, che evolve nel tempo secondo una equazione di diffusione (SHE model). Attualmente, è in fase di studio il caso di collisioni isotrope degli elettroni contro le molecole del mezzo ospite. Altri aspetti del modello sono ancora da studiare in dettaglio, generalizzando le proprietà del campo magnetico e considerando le collisioni anisotrope. Infine questo studio potrà essere applicato ad altri problemi fisici modellati da equazioni simili.
3. Operatori d'onda e di scattering.
Un interessante aspetto dell'evoluzione temporale di sistemi di particelle è il comportamento asintotico per tempi lunghi sia positivi che negativi. Con analogia alla meccanica quantistica, si intende investigare sotto quali condizioni sulle quantità fisiche (tipicamente le sezioni d'urto microscopica e macroscopica) il comportamento asintotico, quando il tempo tende sia a più infinito che a meno infinito, può essere descritto da operatori d'onda e di scattering. Queste situazioni accadono, per esempio, nei processi di runaway, nei processi di scambio di carica fra ioni e particelle neutre di eguale massa, e nell'interazione di neutroni e fotoni con aggregati di mezzi diffusivi, assorbenti e moltiplicativi.
4. Il sistema di Vlasov-Poisson e onde nonlineari di plasma.
In questo progetto si vuole investigare un altro aspetto della teoria di Buchanan and Dorning, più precisamente la dipendenza dell'ampiezza dei modi BGK asintotici dall'ampiezza della perturbazione iniziale. Si ha in programma di esaminare prima la distribuzione di equilibrio del tipo "bump-on-tail" e poi generalizzare il calcolo ad altri equilibri di Vlasov. Tutte le simulazioni numeriche si baseranno su una nostra versione dell'algoritmo "splitting scheme" di Cheng and Knorr [4.9]. Questo lavoro è in collaborazione con il Prof. J. J. Dorning (University of Virginia, Charlottesville, VA, USA) ed il Dr. C. Lancellotti (Rutgers University, NJ, USA). Si vuole inoltre esplorare la possibilità di una nuova e più accurata formulazione dei metodi numerici per la soluzione del sistema VP dove ancora un gran numero di problemi rimangono aperti.
La principale difficoltà nella soluzione numerica è dovuta alla filamentazione della funzione distribuzione, cioè, il formarsi, nello spazio delle fasi, di strutture sempre più fini al crescere del tempo. Queste strutture possono essere descritte accuratamente dal metodo numerico solo per un breve intervallo di tempo, dependente dalla griglia scelta per la discretizzazione dello spazio delle fasi, e questo rende inaccurati i risultati delle simulazioni per tempi lunghi. D'altra parte, i dettagli della funzione di distribuzione sono poco imporanti, perché la funzione di distribuzione viene integrata per ottenere la densità di carica ed il campo elettrico.
Alcuni metodi per superare il problema della filamentazione sono stati trovati in passato, ma essi od alterano l'evoluzione temporale della funzione di distribuzione del campo elettrico in modo incognito [4.9], oppure sono molto difficili da implementare, [4.10], [4.11].
Il contributo principale al processo di filamentazione è dovuto alla presenza dell'operatore di free streaming nell'equazione di Vlasov, che trasforma perturbazioni iniziali di tipo onda nello spazio fisico in strutture di tipo onda nello spazio delle velocità, la cui lunghezza d'onda è sempre più piccola al passare al tempo. Questo contributo nella filamentazione è presente già nella soluzione del sistema VP linearizzato come è noto in letteratura. In questo progetto si vuole investigare la possibilità di introdurre opportune modificazioni nella soluzione del problema lineare, possibilmente attraverso coefficienti incogniti variabili nel tempo, al fine di ottenere un insieme equivalente di equazioni, anch'esse da risolvere numericamente, ed in cui la filamentazione è risolta in modo analitico. E' possibile che per la soluzione del sistema lineare si possa usare un insieme di autofunzioni di Case con opportuni coefficienti.

1. Mathematical and numerical modeling of semiconductor devices
A new device which has attracted attention is the Resonant Interband Tunneling Diode (RITD), whose properties differ from those of the RTD because of the role played by the valence-band electrons in the control of the current flow. Experimental results on the RITD show multiple regions with negative differential resistance [1.6]. Calculations of the theoretical I-V curves (current versus applied voltage)for this device by using quantum transition probabilities in the framework of the Kane model [1.7], [1.8] are under way.
Another class of systems which are under scrutiny in semiconductor technology are the Quantum Dots (QD), that is, arrays of InAs potential wells on a substrate of GaAs whose dimensions are comparable to the De Broglie wave length of electrons. The goal is to build a transistor device where the current flow is due to the tunneling of a very low number of electrons from dot to dot.
The aim of this project is to initiate a strong line of research in the mathematical and numerical modeling of semiconductor devices with the Wigner function formalism for finite systems. These theoretical results will be then applied to specific systems so that they can be compared with experimental data. This part of the project will be developed in collaboration with researchers of the Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni of University of Florence.
The kinetic equation governing the time evolution of the Wigner function in absence of collisions is the Liouville equation. When a self-consistent electric field is included, we have a governing system of equations, the Wigner-Poisson system (WP). It can be shown that, in the classical limit, the WP system becomes the Vlasov-Poisson system (VP). This makes many numerical methods developed for solving the VP system available, subject to only minor adjustments, for the WP system. In particular, since the Liouville equation for the Wigner function involves a pseudodifferential operator - in place of the usual acceleration term of the classical Boltzmann or Vlasov equation -, all methods that employ Fourier transforms can be readily used forthe WP system.
Basing on our experience in the numerical solutions of the VP system, we intend to write numerical codes for solving WP system. We shall concentrate on situations which are of practical interest for the modeling of semiconductor devices by the Wigner function approach. The Fourier-Fourier formulation of the splitting scheme [1.9], which performs the integration of the classical VP system along characteristics, seems to be the best available algorithm for this purpose.
We intend to begin our research in this field by a numerical analysis of the RITD, using the splitting scheme algorithm for the Wigner function. The implementation of the algorithm to the RITD is straightforward, but particular care has to be exercised when dealing with the interplay between the populations of the valence band and of the conduction band. The simulations described above have to include collisions of the electrons and holes with the phonons of the lattice. The collision operator describing the collisional effects is very complicated and difficult to treat both mathematically and numerically. For this reason, we will take into account the collisional effects only through simpler operators, such as the relaxation-time operators (BGK-type operators) with optimal choice of the relaxation parameters. A BGK collision operator has already been included in the splitting scheme algorithm for the numerical solution of the VP system [1.10], and the generalization to the WP system is straightforward. More detailed collision operators will be considered at a later stage. With the tools described above, we intend to examine the RITD in order to obtain I-V curves for this system. Also, we intend to explore the possibility of employing the Wigner function formalism to the arrays of QD. In this case, the system is no longer 1-d and the problem looks theoretically and numerically more complicated. The spherical symmetry of the potential wells, however, should reduce considerably the complexity of the models.
2. Asymptotic analysis in kinetic and plasma physics problems
The main aim of this research is to study asymptotic methods which demonstrate the passage from a complicated model (like Boltzmann equation) to a simpler one (like the diffusion or fluid equation). Theoretically, asymptotic analysis establishes links between different models describing the same system in various regimes, and to specify the ranges of physical parameters for which a given regime can be used. In many cases asymptotic analysis can be used also to validate some models. On the practical side, asymptotic methods provide possibilities to reduce significantly the computational effort of solving the Boltzmann type equations by replacing them with much simpler equations of diffusion or fluid dynamics type. Asymptotic methods are also useful in analysing the trend to equilibrium or to steady states, and in investigation of the boundary layers of transition between two different macroscopic descriptions.
In the context of extended kinetic theory, we intend to apply the compressed Chapman-Enskog procedure to the derivation of the hydrodynamic/diffusive limits of the linear Boltzmann equation for a model which includes both elastic and inelastic scattering. This part of the project is already in progress and at present we explore the possibility of different scalings of the elastic and the inelastic operators with respect to the parameter epsilon, which is related to the mean free path between successive elastic/inelastic collisions, and therefore governs the the asymptotic limit.
We want to extend this study to charged particles with inelastic scattering kernels, similar to the ones that occur in the kinetic theory of semiconductors, where the collision operator has an infinite dimensional kernel to model phonon scattering.
In the context of the asymptotic analysis and of plasma physics problems defined on bounded region, we propose the study of a model arising in the simulations of ionic thrusters. The goal is to present a mathematically rigorous derivation of a diffusion equation which would model the evolution of electrons moving in the gap between two plane parallel plates. The particles are subjected to a given and crossed electric and magnetic fields, and also collide with the surface of the solid plates. In a first approach, the collisions of the electrons against the neutral molecules of the host medium (a ionized gas) are neglected. Thus, the equation to be studied is a Vlasov equation equipped with accommodation boundary conditions. Under an appropriate scaling, the particle distribution function converges to a function of the energy and of the longitudinal position only, which evolves in time according to a diffusion equation (SHE model). At the state of the art, the case of isotropic collisions of the electrons against the molecules of the host medium is in progress. Other aspects of the model are to be studied in more detail, and to be generalized so as to allow a curved magnetic field and/or anisotropic collisions. This study may be also applied in other physical problems modeled by similar equations.
3. Wave and scattering operators
An interesting aspect of the time evolution of particle systems is the asymptotic behaviour for large positive and negative times. Borrowing the terminology of quantum mechanics, we intend to investigate under which conditions on the physical quantities (typically on the microscopic and macroscopic cross-sections) the long-time behaviour, as the time goes to plus or minus infinity, is described by wave or scattering operators. These situations occur, for example, in runaway processes, in the processes of charge exchange between ions and neutral particles of equal masses, and in the interactions of neutrons and photons with aggregates of diffusing, absorbing and multiplicative media.
4. Vlasov-Poisson system and nonlinear plasma waves
This project intends to investigate another aspect of the theory of Buchanan and Dorning, namely the dependence of the amplitudes of the asymptotic BGK modes from the amplitude of the initial perturbation. We plan to examine first the one sided bump-on-tail equilibrium distribution and then carry the calculations over to other Vlasov equilibria. All numerical simulations are performed with our own version of the splitting scheme algorithm of Cheng and Knorr [4.9]. This work is being done in collaboration with Prof. J. J. Dorning of the University of Virginia, Charlottesville, VA, USA and Dr. C. Lancellotti of the Rutgers University, NJ, USA. We also intend to explore the possibility of formulating new and more accurate methods for the numerical solution of the VP system where still a number of problems remain open. The main difficulty with the numerical solution is due to the filamentation of the distribution function, that is, the formation of finer and finer structures in phase space as time proceeds. These small scale structures can be taken into account properly only for a short time, depending on the size of the grid chosen for the discretization of the phase space, and this makes the results of the long-time simulations inaccurate. On the other hand, not all the details of the distribution function are interesting, since the information on many of them is lost when the distribution function is integrated over to yield the charge density and the electric field. Some methods for overcoming the filamentation problem have been devised in the past, but they either alter the time evolution of the distribution function and of the electric field in unknown ways [4.9], or are very hard to implement, [4.10], [4.11].
The main contribution to the filamentation process is due to the free streaming operator in the Vlasov equation, which turns initial wave-like perturbations in the physical space into wave-like structures in the velocity space, whose wavelength become smaller and smaller in time. This contribution to the filamentation is present already in the solution of the linearized VP system which has been known for many years in various forms. We intend to investigate the possibility of introducing suitable modifications in the solution of the linear problem, possibly through unknown time-dependent coefficients, in order to obtain an equivalent set of equations, also to be solved numerically, and in which the filamentation is taken into account in an analytic way. It is possible that the set of Case eigenfunctions for the solution of the linear problem, with suitable expansion coefficients, can be used for this purpose.

Nº	Anno di acquisizione	Descrizione
Testo italiano	Testo inglese

Voce di spesa	Spesa	Descrizione
M£	Euro	Testo italiano	Testo inglese
Materiale inventariabile	12	6.197	Libri, software e hardware	Books, software and hardware
Grandi Attrezzature
Materiale di consumo e funzionamento	6	3.099	Quota spese di Dipartimento. Carta, cancelleria, cartucce, ecc.	Department reimbursement. Paper, stationary, refils, etc.
Spese per calcolo ed elaborazione dati	2	1.033	Rimborso spese di calcolo	Computing center reimbursement
Personale a contratto	12	6.197	Assegno di ricerca	Person under contract
Servizi esterni	5	2.582	Dattiloscrittura, reprints, assistenza webpage	Typing, reprints, webpage, etc.
Missioni	18	9.296	Missioni dei collaboratori (compreso i contatti con i collaboratori stranieri)	Inclusive contacts with foreign coworkers
Altro	5	2.582	Collaboratori stranieri ed assegno di ricerca	Inclusive contacts with foreign coworkers

	M£	Euro
Costo complessivo del Programma dell'Unità di Ricerca	60	30.987

Costo minimo per garantire la possibilità di verifica dei risultati	45	23.241

Fondi disponibili (RD)	18	9.296

Fondi acquisibili (RA)	0

Cofinanziamento richiesto al MURST	42	21.691

Finanziamenti giovani ricercatori del Dot. L. Barletti

Provenienza	Anno	Importo disponibile		nome Resp. Naz.	Note
Provenienza	Anno	M£	Euro	nome Resp. Naz.	Note
Università	1999	12	6.197		ex 60% - Prof. G. Busoni
Dipartimento
MURST (ex 40%)
CNR
Unione Europea
Altro	2000	6	3.099		Finanziamento giovani ricercatori Dot. L.Barletti
TOTAL		18	9.296

Provenienza	Anno della domanda o stipula del contratto	Stato di approvazione	Quota disponibile per il programma		Note
Provenienza	Anno della domanda o stipula del contratto	Stato di approvazione	M£	Euro	Note
Università
Dipartimento
CNR
Unione Europea
Altro
TOTAL			0