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Corsi di Laurea in Ingegneria Civile e Edile
Programma di Anali Matematica I A.A. 98/99 , prof. G. Stefani
I numeri reali.
Proprieta' algebriche, relazione d'ordine,
valore assoluto. Intervalli, distanza, intorni, punto medio. Massimo e minimo
di un insieme. Estremo inferiore e superiore. Proprie-ta' di completezza e
proprieta' degli intervalli incapsulati limitati e chiusi
(senza dimostrazione). Potenze a esponente reale, logaritmo.
Funzioni.
Definizione, dominio, immagine, grafico. Successione come esempio di funzione.
Funzioni limitate. Massimi e minimi globali (assoluti),
estremo inferiore e superiore. Restrizione ed estensione. Operazioni fra funzioni:
somma prodotto per scalari, quoziente, composizione.
Funzione identita', polinomi, funzioni razionali.
Funzioni monotone.
Funzioni iniettive e suriettive, relazioni con le equazioni, funzione inversa e suo
grafico. Funzioni pari, dispari, periodiche. Funzioni elementari e
loro grafico.
Continuita' e limiti.
Definizione di continuita'. Teorema di permanenza del segno e di limitatezza locale.
Continuita' delle funzioni elementari (senza dimostrazione), continuita'
di somma, prodotto, quoziente e composizione. Definizione di limite, unicita' del limite.
Relazioni fra limiti e continuita'. Asintoti. Operazioni sui limiti, forme indeterminate.
Limiti di successioni. Limiti delle funzioni composte e cambiamento di variabile.
Il numero e (senza dimostrazione). Teoremi della permanenza del segno e
del confronto. Limiti di funzioni monotone. Proprietà globali delle funzioni continue
su intervalli: teorema dei valori intermedi e algoritmo di bisezione, teorema
di Weierstrass (idea della dimostrazione). Funzioni continue su intervalli e loro inverse:
relazioni con la monotonia (senza dimostrazione ). Continuita' uniforme:
teorema delle piccole oscillazioni (senza dimostrazione) e
significato in termini di approssimazione.
Calcolo differenziale.
Derivata: definizione, significato in termini di approssimazione,
significato fisico e geometrico, retta tangente. Punti angolosi e cuspidi.
Derivata di somma prodotto e quoziente. Derivata della composizione.
Derivata della funzione inversa (senza dimostrazione). Massimi e minimi relativi
e derivate: teorema di Fermat. Ricerca di massimi e minimi assoluti. Teoremi di Rolle
e Lagrange: dimostrazione, significato geometrico e in termini di approssimazione.
Derivate di ordine superiore. Funzioni Cn. Derivata del monomio
e definizione di n!. Limiti della
funzione derivata. Derivate della funzione inversa.
Differenziale. Infinitesimi. Approssimazione di Taylor con resto di Peano e Lagrange
(senza dimostrazione). Binomio di Newton e coefficienti binomiali.
Studio dei punti critici mediante l'approssimazione di Taylor.
Regola di de l' Hôpital (senza dimostrazione). Convessita' e concavita' di una
funzione definita su un intervallo in termini di corde, tangenti e derivate seconde
(senza dimostrazione).
Integrali.
Integrale di Riemann: definizione, proprieta', integrale orientato, criterio
di integrabilita'. Classi di funzioni integrabili. Teorema della media. Teorema e
formula fondamentale del calcolo. Primitive e
primitive generalizzate. Integrale indefinito e ricerca delle primitive: funzioni razionali
(con denominatore di secondo grado), regola di integrazione per parti e per sostituzione.
Integrale improprio: definizione,
criteri del confronto e confronto asintotico.
Equazioni differenziali.
Equazioni differenziali del primo ordine e problema di Cauchy.
Equazioni a variabili separabili: definizione
e metodo di risoluzione. Equazioni lineari del primo e secondo ordine: integrale generale
e problema di Cauchy.
Testi consigliati
M. Giaquinta-G. Modica: Analisi matematica-1. Funzioni di una variabile, Pitagora
editore
T.M. Apostol: Calcolo vol. I-Analisi 1, Bollati Boringhieri editore
A. Bacciotti-F. Ricci: Analisi matematica I, Liguori editore
P. Marcellini-C. Sbordone: Esercitazioni di matematica I, Liguori editore
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Gianna Stefani
1998-12-09