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Corsi di Laurea in Ingegneria Civile e Edile
 
Programma di Anali Matematica I A.A. 98/99 , prof. G. Stefani
I numeri reali. Proprieta' algebriche, relazione d'ordine, valore assoluto. Intervalli, distanza, intorni, punto medio. Massimo e minimo di un insieme. Estremo inferiore e superiore. Proprie-ta' di completezza e proprieta' degli intervalli incapsulati limitati e chiusi (senza dimostrazione). Potenze a esponente reale, logaritmo.
Funzioni. Definizione, dominio, immagine, grafico. Successione come esempio di funzione. Funzioni limitate. Massimi e minimi globali (assoluti), estremo inferiore e superiore. Restrizione ed estensione. Operazioni fra funzioni: somma prodotto per scalari, quoziente, composizione. Funzione identita', polinomi, funzioni razionali. Funzioni monotone. Funzioni iniettive e suriettive, relazioni con le equazioni, funzione inversa e suo grafico. Funzioni pari, dispari, periodiche. Funzioni elementari e loro grafico.
Continuita' e limiti. Definizione di continuita'. Teorema di permanenza del segno e di limitatezza locale. Continuita' delle funzioni elementari (senza dimostrazione), continuita' di somma, prodotto, quoziente e composizione. Definizione di limite, unicita' del limite. Relazioni fra limiti e continuita'. Asintoti. Operazioni sui limiti, forme indeterminate. Limiti di successioni. Limiti delle funzioni composte e cambiamento di variabile. Il numero e (senza dimostrazione). Teoremi della permanenza del segno e del confronto. Limiti di funzioni monotone. Proprietà globali delle funzioni continue su intervalli: teorema dei valori intermedi e algoritmo di bisezione, teorema di Weierstrass (idea della dimostrazione). Funzioni continue su intervalli e loro inverse: relazioni con la monotonia (senza dimostrazione ). Continuita' uniforme: teorema delle piccole oscillazioni (senza dimostrazione) e significato in termini di approssimazione.
Calcolo differenziale. Derivata: definizione, significato in termini di approssimazione, significato fisico e geometrico, retta tangente. Punti angolosi e cuspidi. Derivata di somma prodotto e quoziente. Derivata della composizione. Derivata della funzione inversa (senza dimostrazione). Massimi e minimi relativi e derivate: teorema di Fermat. Ricerca di massimi e minimi assoluti. Teoremi di Rolle e Lagrange: dimostrazione, significato geometrico e in termini di approssimazione. Derivate di ordine superiore. Funzioni Cn. Derivata del monomio e definizione di n!. Limiti della funzione derivata. Derivate della funzione inversa. Differenziale. Infinitesimi. Approssimazione di Taylor con resto di Peano e Lagrange (senza dimostrazione). Binomio di Newton e coefficienti binomiali. Studio dei punti critici mediante l'approssimazione di Taylor. Regola di de l' Hôpital (senza dimostrazione). Convessita' e concavita' di una funzione definita su un intervallo in termini di corde, tangenti e derivate seconde (senza dimostrazione).
Integrali. Integrale di Riemann: definizione, proprieta', integrale orientato, criterio di integrabilita'. Classi di funzioni integrabili. Teorema della media. Teorema e formula fondamentale del calcolo. Primitive e primitive generalizzate. Integrale indefinito e ricerca delle primitive: funzioni razionali (con denominatore di secondo grado), regola di integrazione per parti e per sostituzione. Integrale improprio: definizione, criteri del confronto e confronto asintotico.
Equazioni differenziali. Equazioni differenziali del primo ordine e problema di Cauchy. Equazioni a variabili separabili: definizione e metodo di risoluzione. Equazioni lineari del primo e secondo ordine: integrale generale e problema di Cauchy.
 
Testi consigliati
M. Giaquinta-G. Modica: Analisi matematica-1. Funzioni di una variabile, Pitagora editore
T.M. Apostol: Calcolo vol. I-Analisi 1, Bollati Boringhieri editore
A. Bacciotti-F. Ricci: Analisi matematica I, Liguori editore
P. Marcellini-C. Sbordone: Esercitazioni di matematica I, Liguori editore


 
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Gianna Stefani
1998-12-09