Teoria degli insiemi (cenni). Insiemi, quantificatori, implicazioni, algebra di Boole. Funzioni, f.ni iniettive, suriettive, biunivoche, funzione inversa, identità, composizione. Insiemi numerabili, finiti e infiniti.

Numeri reali. Proprietà algebriche, relazione d'ordine, proprietà di Archimede,

densità dei razionali, assioma di completezza (senza dimostrazione). Principio di induzione, binomio di Newton, simbolo di sommatoria. Intervalli, insiemi limitati, massimo, minimo, estremo inferiore e superiore di un insieme. Intorni, insiemi aperti, chiusi, punti interni, aderenti, isolati, di accumulazione.

Funzioni reali di variabile reale. Dominio, grafico, grafico della funzione inversa. Funzioni monotone, pari, dispari, periodiche. Massimi, minimi, estremo inferiore e superiore di funzioni. Funzioni elementari e loro grafici. Logaritmo come inversa dell'esponenziale e sue proprietà. Polinomi: radici, decomposizione, divisione, principio di identità (senza dimostrazione). Funzioni continue: definizione, teorema della permanenza del segno e di limitatezza locale, continuità della composizione e delle operazioni algebriche.

Limiti di funzioni e successioni. Definizione e significato geometrico di limite, unicità del limite. Limiti e continuità, classificazione delle discontinuità. Operazioni sui limiti, forme indeterminate. Teoremi di confronto.

Limiti e continuità delle funzioni monotone. Limiti delle funzioni composte e cambiamento di variabile. Infinitesimi e infiniti. Operazioni sugli infinitesimi (senza dimostrazione). Asintoti verticali orizzontali ed obliqui. Successioni convergenti, divergenti, indeterminate. Proprietà definitivamente verificate. Teoremi di collegamento. Il numero e. Sottosuccessioni. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Successioni di Cauchy. Successioni definite per ricorrenza, punti fissi e bacino di attrazione.

Proprietà globali delle funzioni continue. Il teorema degli zeri, il teorema dei valori intermedi, il teorema di Weierstrass.

Calcolo differenziale. Derivata: definizione e sua interpretazione fisica e geometrica. Derivata e approssimazione al primo ordine. Tangenti al grafico, derivate laterali, punti angolosi e cuspidi. Derivata della composizione e delle operazioni algebriche. Derivata della funzione inversa (senza dimostrazione). Differenziale. Teoremi di Rolle e Lagrange. Estremi locali, punti critici, condizioni necessarie e condizioni sufficienti per max e min locali e assoluti.

Regola di de l’Hopital (Senza dimostrazione). Limiti della funzione derivata.

Derivate di ordine superiore. Approssimazione di Taylor, resto in forma di Peano, Lagrange, integrale (senza dimostrazione). Applicazioni al calcolo dei limiti. Convessità, concavità, flessi e relazione con le derivate (senza dimostrazione). Primitiva e primitiva generalizzata di una funzione. Insieme delle primitive. Regole di integrazione. Primitive di funzioni razionali.

Integrali. Integrale di funzioni a scala. Integrale secondo Riemann di una funzione limitata su un intervallo limitato e sue proprietà. Integrabilità delle funzioni continue su intervalli chiusi, teorema e formula fondamentale del calcolo integrale. Integrabilità delle funzioni continue a tratti e monotone (senza dimostrazione). Integrale orientato e sue proprietà. Teorema della media. Regole di integrazione definita. Integrali impropri: criteri di convergenza (senza dimostrazione).

Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate, condizione necessaria di convergenza. Serie armonica. Serie a termini non negativi: criteri del confronto, del rapporto, della radice. Convergenza assoluta. Serie a termini di segno alterno, criterio di Leibinitz (senza dimostrazione). Operazioni sulle serie (senza dimostrazione).

A. Bacciotti-F. Ricci: Analisi matematica I, Liguori editore