Facsimile delle domande della seconda prova intercorso

 
Domanda 1
Sia $f:{\bf R}^2\rightarrow {\bf R}$ una funzione $C^\infty$ e sia $\phi (x,y,z)=f(x-y,(x+y)/e^z),$ allora
1. $\phi_x+\phi_y+2\phi_z\equiv 0$
2. $\phi_x+\phi_y+2\phi_z\equiv e^z$
3. $(x+y)(\phi_x+\phi_y)+ 2\phi_z\equiv 0$
4. $e^{-z}(\phi_x+\phi_y)+2\phi_z\equiv 0$
 
Domanda 2
L' approssimazione di Taylor di ordine 2 centrata in $(0,1,0)$ di $y^2e^z+ze^x-xy$ e'
1. $1-x+2y+2z-y^2-xy+2xz$
2. $1-x+2(y-1)+2z+(y-1)^2+z^2/2-x(y-1)+xz+2z(y-1)$
3. $1-x+2(y-1)+z-y^2-xy+2xz$
4. $1-x+2(y-1)+2z-y^2-xy+xz$
 
Domanda 3
L' approssimazione di Taylor di ordine 10 centrata in $(0,0)$ di $\cos(x^2y)-1$ e'
1. $-x^4y^2/2+x^6y^4/24$
2. $-x^4y^2/2$
3. $-x^4y^2/2+x^8y^2/24$
4. $-x^8y^4/24$
 
Domanda 4
La funzione $\frac{x^2-y^2}{1+x^4}$
1. non e' superiormente limitata
2. e' superiormente limitata ma non ha massimo
3. ha massimo uguale a -1
4. ha massimo che vale 1/2
 
Domanda 5
Sia $P=(1,-1)$ e $f(x,y)=xy^2+x^2+3xy-y^2-3y+3$
1. $P$ e' un punto di sella per $f$
2. $P$ e' un punto di massimo locale (relativo) per $f$
3. $P$ e' un punto di minimo locale (relativo) per $f$
4. $P$ non e' un punto stazionario per $f$
 
Domanda 6
Sia $P=(1,0,\pi)$ e $f(x,y,z)=3x^2+y^2-3y-\cos(z)$
1. $P$ e' un punto di massimo per la funzione $f$ vincolata a $2x^2+y^2=1$
2. $P$ e' un punto di massimo per la funzione $f$ vincolata a $x^2+2y^2=1$
3. $P$ e' un punto di minimo per la funzione $f$ vincolata a $x^2+2y^2=1$
4. $P$ non e' un punto stazionario per $f$ vincolata a $x^2+2y^2=1$
 
Domanda 7
Sia $P=(0,-\sqrt 2 /2,0)$ e $f(x,y,z)=3x^2+y^2-3y-\cos(z)$
1. $P$ e' un punto di minimo per la funzione $f$ vincolata a $x^2+2y^2=1$
2. $P$ e' un punto di massimo per la funzione $f$ vincolata a $x^2+2y^2=1$
3. $P$ e' un punto di minimo per la funzione $f$ vincolata a $x^2+y^2=1$
4. $P$ non e' un punto stazionario per $f$ vincolata a $x^2+2y^2=1$
 
Domanda 8
Il volume del solido ottenuto ruotando $A=\{ (x,z) : x\in [0,\pi/2] \ ,\ 0\leq z\leq \cos(x) \}$ intorno all'asse $z$ e'
1. $\pi/2-1$
2. $\pi-2$
3. $2-\pi$
4. $\pi^2-2\pi$
 
Domanda 9

$$\int^{3\sqrt 3/2}_0 y(\int_{y/\sqrt 3}^{\sqrt{9-y^2}}x\,dx)\,dy =\int\int_Ax^3\cos(y)\sin(y)\,dx\,dy$$

1. se $A= \{(x,y) : x^2+y^2\leq 9\ ,\ y\leq \sqrt 3 \}$
2. se $A= \{(x,y) : x^2+y^2\leq 9\ ,\ y\leq \sqrt 3\ , \ y\geq 0 \}$
3. se $A=[0,3]\times [0,\pi/3]$
4. per nessun $A\subset {\bf R}^2$ e' soddisfatta l'uguaglianza
 
Domanda 10
Quali dei seguenti grafici meglio rappresenta $\gamma =\{(x,y) :\cos(xy)+xe^y=0 \}$ vicino al punto $(-1,0)?$
 
 

 

 

 

 
 
Domanda 11
Per quali valori di $\beta \in {\bf R}$ la funzione definita implicitamente da

$$x\sin(z)+ze^y+\beta xy\ ,\ z(0,0)=0$$

ha un minimo locale in $(0,0)?$
1. per $\beta >0$
2. per $\beta <0$
3. per nessun valore di $\beta \in {\bf R}$
4. per $\beta \neq 0$