Facsimile delle domande della prova intercorso

 
Domanda 1
La successione di funzioni $f_n(x)=\sqrt[n]{\arccos(x)}\ ,\ n\geq 4$
1. non e' definita in nessun intervallo
2. converge puntualmente a $0$ in $(-1,0)$
3. converge uniformemente in $[-1,1/2]$
4. converge uniformemente in $(0,1)$

Domanda 2
Il raggio di convergenza della serie $\sum_{n\geq 4} \ln(n^2/(n+1))\,x^n$
1. non e' $7$
2. e' $0$
3. non esiste
4. e' $2$

Domanda 3
La somma della serie $\sum_{n\geq 1} \frac{(x-1)^{n}}{n}$
1. e' $\ln(x-1)$ su $[0,1)$
2. e' $-\ln(2-x)$ su$(1,2)$
3. $\ln(2-x)$ su $[1,2]$
4. nessuna delle altre domande e' giusta

Domanda 4
Una delle seguenti affermazioni e' sbagliata: la serie $\sum_{n\geq 1} \sin(\frac{1}{n^k})$
1. non e' convergente per $k<1$
2. e' convergente per ogni $k>0$
3. e' convergente per $k\geq 7$
4. per alcuni valori di $k$ e'convergente

Domanda 5
La serie $\sum_{n\geq 1} \frac{(\exp(x))^{n}}{n^2}$
1. converge uniformemente su $[-1/3,1/3]$
2. non converge su nessuna semiretta
3. e' totalmente convergente su $(-\infty,0]$
4. e' totalmente convergente su ogni semiretta $(-\infty,a)$

Domanda 6
Sia $z$ la variabile complessa, allora $\lim_{z\rightarrow 1+i}\frac{3z-2\bar z-5i-1}{z+\bar z -2}$
1. dipende dal segno dell'argomentodi $z$
2. non esiste
3. e' uguale a $5i/2$
4. e' uguale a $\infty$

Domanda 7
Sia $f(x,y,z)=\arcsin(x^2+y^2+z^2-1)$
1. l'insieme dei punti in cui $f$ e' differenziabile e' compatto
2. $f$ e' differenziabile nell'origine
3. $f$ ha massimo e minimo globali
4. $f$ e' continua su un insieme illimitato

Domanda 8
Il piano tangente al grafico della funzione $f(x,y)=\sin(xy)+x^2$ nel punto di coordinate $(3,-1,f(3,-1))$
1. e' ortogonale al vettore $(-\cos(3)+6,3\cos(3),-1)$
2. e' ortogonale al vettore $(-\cos(-3)+6,3\cos(-3))$
3. e' parallelo al vettore $(-\cos(3)+6,3\cos(3),-1)$
4. e' orizzontale

Domanda 9
Il sostegno della curva $\gamma (t)=(e^t,t)$
1. e' una parabola
2. e' un'ellisse
3. ha nel punto $(1,0)$ una retta tangente di equazione $y=x-1$
4. ha nel punto $(e,1)$ una retta tangente di equazione $y-1=e(x-e)$

Domanda 10
Siano $f(x,y,z)=xyz$ e $\gamma (t) =(2e^t,\ln(1+t),1)$
1. la derivata in $0$ della funzione $f\circ \gamma$ e' $2$
2. la derivata in $1$ della funzione $f\circ \gamma$ e' $2e\ln 2$
3. la derivata in $-1$ della funzione $f\circ \gamma$ e' $-\infty$
4. la funzione non e' derivabile in $0$

Domanda 11
Sia $\gamma (t)=(t\cos (t),\sin(t))$ e sia $f\in C^1({\bf R}^2)$ tale che $\nabla f(0,0)$ = (3,-1)
1. la funzione $f\circ \gamma$ ha derivata nulla nell'origine.
2. la funzione $f\circ \gamma$ ha derivata $4$ nell'origine.
3. la funzione $f\circ \gamma$ puo' essere nonderivabile in $\pi /2$.
4. e' derivabile in $\pi /4,$ ma le informazioni non sono sufficienti a calcolare la derivata