Analisi II - Esercizi - 20-10-00 e 23-10-00

Serie numeriche

Serie telescopiche. Criterio del confronto asintotico. Studio di convergenza di alcune serie numeriche. Calcolo della somma quando possibile.

Calcolare la somma della serie geometrica $\sum_{n=n_0}^{\infty} q^n$ , esaminando prima il caso n₀=0.
Calcolare la somma della serie di Mengoli $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n(n+1)}$ dopo averne dimostrata la convergenza. Quanto vale $\sum_{n=4}^{\infty}\frac1{n(n+1)}$ ?
Calcolare la somma della serie $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{2n+1}{n(n+1)}$
Studiare la convergenza della serie telescopica $\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)$
Studiare, al variare di $\alpha\in \mathbb R$ , la convergenza della serie $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sin\left(\frac{\alpha}{n}\right)\right)^2$ .
Studiare la convergenza della serie $\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{\lambda n+1}{\sqrt{n^2-1}}\right)$ al variare di $\lambda > 0$ .
Studiare la convergenza della serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{\sqrt{n}+3^n}$
Studiare la convergenza della serie $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{\sin^2 n}{n^2}$ . NOTA: Verificare se è applicabile il criterio di Leibniz.
Studiare la convergenza della serie $\sum_{n=1}^{\infty} \left(1-\cos^2\left(\frac{n}{1+2n}\right)\right)^n$
Studiare, al variare di $x\in \mathbb R^+$ la convergenza della serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+\vert\ln x\vert^n}$
Studiare al variare di $\alpha\in \mathbb R$ la convergenza della serie $\sum_{n=1}^{\infty}n!\left(\frac{\alpha}{n}\right)$ .
Suggerimento: ricordare che la successione $a_n=\left(1+\frac1n\right)^n$ è crescente ed ha come limite il numero e.
Studiare la convergenza della serie $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2+\sin n}{4}\right)^n$

Successioni di funzioni

Riepilogo sulle definizioni dei vari tipi di convergenza: convergenza puntuale, uniforme. Differenza tra convergenza uniforme su tutto $\mathbb R$ e convergenza uniforme sui compatti.

Studiare convergenza puntuale e uniforme di $f_n(x)=\frac{x^n}{1+x^n}$ per $x\in [0,1)$ e per $x\in [0,1-\varepsilon)$ per $\varepsilon >0$ piccolo a piacere.
Sia $f_n(x)=\frac{nx}{1+n^2x^2}$ . Che tipo di convergenza c`è in [0,2]? E in [1,2]?
In quali domini la successione $f_n(x)=\arctan (x+n)$ converge uniformemente?
Studiare convergenza della successione $f_n(x)=\arctan(nx)$ . In quali domini la convergenza è uniforme?
Dire se la successione $f_n(x)=(\sin x)^\frac1n$ , $x\in [0,\pi]$ converge puntualmente e/o uniformemente.

Serie di funzioni

Dire se la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac xne^{-nx}$ converge totalmente in $I=[0,\infty)$
Dimostrare che la serie $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n x^n$ converge uniformemente in $\left[-\frac12,\frac12\right]$ .
Verificare se $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac 1n \frac{1}{1+n^2x^2}$ converge uniformemente ma non assolutamente su $\mathbb R$ .
Sia $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{sin(nx)}{n!}$ . Dimostrare che f(x) è una funzione continua su tutto $\mathbb R$ .

Serie di potenze

Calcolare il raggio di convergenza della serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$
Calcolare il raggio di convergenza della serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{1+\alpha^n}$ al variare di $\alpha\in \mathbb R$ .
Calcolare il raggio di convergenza della serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}x^n$
Calcolare il raggio di convergenza della serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2^n}$

Somma di serie numeriche

Calcolare la somma $\sum_{n=1}^{\infty}nx^n$ . Per quali valori di x ha senso la sommatoria?
Calcolare la somma $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{n!}$ .
Calcolare la somma $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{2n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$ .
Suggerimento: 2n=(2n+1)-1.

Domini di funzioni da $\mathbb R^2$ in $\mathbb R$ e disequazioni in due variabili

Determinare il dominio di $f(x,y)=\sqrt{x^2-5xy+4y^2}$
Determinare il dominio di $f(x,y)=\sqrt{-\sin^2(x-y)}$
Determinare il dominio di $f(x,y)=\log[\cos(x^2+y^2)]$
Determinare il dominio di $f(x,y)=\sqrt[3]{\log\left(\dfrac{x-y}{xy}\right)}$ .
Determinare il dominio di $f(x,y)=\left\{x\sin\left(\dfrac{\pi}{2}(x^2+y^2)^{\frac12} \right)\right\}^{\frac12}$
Risolvere la disequazione

$\begin{displaymath}\begin{cases}x^2+y+2-9\leq 0\\ x^2-y^2\geq 0\end{cases}\end{displaymath}$

Limiti in $\mathbb R^2$ e continuità

Studiare il comportamento in prossimità dell'origine della funzione

$\begin{displaymath}f(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}.\end{displaymath}$

Suggerimento: provare prima avvicinandosi all'origine orizzontalmente, verticalmente, lungo rette del tipo y=kx, quindi lungo la parabola di equazione y=x². Trarne le conclusioni. Provare infine a fare i conti in coordinate polari e verificare che il limite è zero per ogni $\vartheta$ ma che non è uniforme.
Sia P=(x,y). Calcolare $\lim_{P\rightarrow \infty}\dfrac{x}{x^2+y^2}$ e $\lim_{P\rightarrow (0,0)}\dfrac{x}{x^2+y^2}$ .
Sia P=(x,y). Calcolare, se esiste $\lim_{P\rightarrow \infty}\dfrac{x+y}{\sqrt{x^2-y^2}}$
Calcolare $\lim_{(x,y)\rightarrow (2,1)} \dfrac{(y-1)^2\sin(\pi x)}{(x-2)^2+(y-1)^2}$ utilizzando le coordinate polari.
Calcolare $\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac{x^4-y^4}{x^2+y^2}$ .
Verificare che la funzione $f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy}{x^2+y^2}\;\;\text{ per }(x,y)\neq(0,0)\\ \qquad 0\quad\;\;\text{ per }(x,y)=(0,0)\end{cases}$ è continua separatamente nelle variabili x e y ma non è continua come funzione di $\mathbb R^2$ .

Francesco Mugelli
2000-10-25