Analisi II - Esercizi - 27-11-00

Massimi e minimi vincolati

• Determinare le dimensioni del parallelepipedo di volume massimo con spigoli paralleli agli assi inscritto nell'elissoide
  
  
  
  

• Determinare gli estremi della funzione f(x,y)=(y-x²)³ nella regione

• Determinare gli estremi della funzione nel cerchio

• Determinare gli estremi della funzione
  
  f(x,y,z)=x²-x+y²+y(z+x-1)
  
  
  con i vincoli
  
  
  
  
  Prima con i moltiplicatori di Lagrange poi parametrizzando il vincolo.

Funzioni implicite

• Mostrare che l'equazione definisce in un intorno del punto con x=1 una sola funzione y=y(x) derivabile e tale che . Calcolare inoltre y'(-1).

• Data l'equazione 2xe^y+y+1=0,

  i)

  dimostrare che l'equazione definisce implicitamente una funzione y=y(x) derivabile in un intorno del punto con x=0 (y=-1).

  ii)

  determinare il dominio della funzione y=y(x) definita al punto precedente.

• Verificare che x²+2x+e^y+y-2z³=0 definisce, in un intorno del punto P=(-1,0,0) una superficie di equazione y=g(x,z).

  Scrivere l'equazione del piano tangente in P a tale superficie.

• Sia F(x,y)=e^x-y+x²-y²-e(x+1)+1. Dimostrare che F(x,y)=0 definisce una funzione y=y(x) in un intorno di x=0 con y(0)=-1.

  Si dimostri che x=0 è un minimo relativo per y(x).

• L'equazione x⁴-2x³+y²=0, definisce implicitamente una curva del piano.

  i)

  Studiare i punti singolari della curva

  ii)

  Determinare i punti della curva con tangente verticale e con tangente orizzontale.

  iii)

  Tracciare un grafico qualitativo della curva.

• Data la curva di equazione implicita (x²+y²)²-2xy=0,

  i)

  Studiare la natura dell'origine (punto isolato? , cuspide?, nodo?)

  ii)

  Disegnare un grafico qualitativo della curva

  iii)

  Svolgere il punto ii) scrivendo l'equazione implicita in coordinate polari