Analisi II - Esercizi - 20-11-00

20 Novembre 2000

Massimi e minimi liberi

Calcolare massimo e minimo della funzione f(x,y)=(y+1)e^xy per (x,y) tali che $\vert c\vert +\vert y\vert\leq 2$
Calcolare, se esistono, massimo e minimo della funzione f(x,y)=x²-y²+4xy-2x+3y+7 nel dominio compreso tra le rette y=-1, y=x/2-1/2, y=1-x e y=x+1.
Determinare se esistono, massimo e minimo di $f(x,y)=\arctan\sqrt{\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}}$ nel dominio $D=\{(x,y) : x^2+y^2\leq 1, x^2-y^2\geq 0 \}$ .
Suggerimento: Scrivere l'espressione di f in coordinate polari.
Determinare estremi relativi ed assoluti della funzione f(x,y)=3x²+4y²-6x-12
Sia f(x,y)=2xy-x²-y⁴. Determinare massimo e minimo di f nel quadrato $Q=(0,1)\times(0,1)$ .

Massimi e minimi vincolati

Determinare gli estremi della funzione f(x,y,z)=x²+y²+z² sotto la condizione x+y+z+1=0
Calcolare massimo e minimo di $f(x,y)=\frac{x+1}{y+1}$ sul vincolo y=(x-1)²
Dimostrare che la funzione $f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$ è dotata di estremi assoluti in $E=\mathbb R^2 \setminus \{(0,0)\}$ e determinarli.
Suggerimento: Dimostrare prima che f è omogenea (ovvero che $f(\lambda x, \lambda y)=f(x,y)$ quindi restringere il problema alla circonferenza di centro l'origine e raggio 1.
Calcolare, se esistono, massimo e minimo della funzione f(x,y,z)=xyz sulla superficie

$\begin{displaymath}\begin{cases} xy+yz+zx=1\\ x\geq 0, y\geq 0, z\geq 0 \end{cases}\end{displaymath}$

Nota: Questo esercizio si trova svolto su ``Enrico Giusti - Esercitazioni di Analisi Vol.2 - Boringhieri``.

Francesco Mugelli
2000-11-20