Corsi di Laurea in Ingegneria Civile e Edile
 
Facsimile della prova intercorso sul Calcolo delle probabilita'

1. Ogni inverno il 70% della popolazione prende un raffreddore, il 40% prende un mal di gola e il 90% prende o l'uno o l'altro. Determinare la probabilità $p_1$ che una persona prenda tutti e due. Determinare la probabilità $p_2$ che una persona che prende un mal di gola prenda anche un raffreddore.
   R1. $p_1=1/5\ \qquad p_2=2/7$
   R2. $p_1=1/7\ \qquad p_2=1/4$
   R3. $p_1=1/7 \qquad p_2=3/10$
   R4. $p_1=1/5 \qquad p_2=1/2$
2. Il 20% della popolazione di un'isola ha gli occhi blu. Il Consiglio Superiore dell'isola consiste di 10 membri. Determinare la probabilità $p$ che almeno 2 fra di loro abbiano gli occhi blu. (Si può assumere che il colore degli occhi non è un requisito per essere eletti nel consiglio e che il consiglio sia composto solo da una piccola parte della popolazione.)
   R1. $p= 0.67$
   R2. $p= 0.39$
   R3. $p= 0.62$
   R4. $p= 0.92$
3. In una scatola ci sono 300 semi di grano, di cui 120 sono stati trattati con un antiparassitario. L'unico modo per determinare se un seme sia stato trattato oppure no, è un test che rileva il trattamento con probabilità del 95% nel caso di semi trattati, e che, nel caso il seme non sia trattato, ha probabilità del 9% di dare una risposta errata. Se un seme scelto a caso e sottoposto al test viene giudicato "trattato", qual'è la probabilità che lo sia veramente?
   R2. 92%
   R1. 88%
   R3. 95%
   R4. Nessuna delle altre risposte
4. Vengono condotte 6500 prove (indipendenti) di un esperimento con probabilità di successo $p=0.001$. Detto $n$ il numero dei successi ottenuti, quale tra i seguenti è il valore di $n$ più probabile?
   R1. $n=2$
   R2. $n=3$
   R3. $n=5$
   R4. $n=8$

5. Una lampadina ha una durata $X$ che è una variabile aleatoria con funzione di densità $f(x)=\alpha {e^{-\alpha t}}$ per $t>0$, con $t$ espesso in mesi. Quale deve essere il valore di $\alpha$ affinché la probabilità che la lampadina duri al più un anno sia uguale al 60% ?
   R1. $\alpha=\ln (2.5) /12$
   R2. $\alpha=\ln (0.4) /12$
   R3. $\alpha=\ln (4) /12$
   R4. Nessuna delle altre risposte

6. In un'urna ci sono 7 palline bianche e 11 nere. Vengono estratte senza reimbussolamento 14 palline e si indica con $X_i\ ,\ i=1,...,14,$ la variabile aleatoria che assegna il valore 1 se la i-esima pallina estratta e' nera e 0 altrimenti. Calcolare il coefficiente di correlazione di $X_2,X_7$
   R1. $3/17$
   R2. $-1/17$
   R3. $3$
   R4. $-7/18$
   
7. La deviazione standard della densita' geometrica $k\mapsto p(1-p)^k$ di parametro $p=1/3$ e':
   R1. $10$
   R2. $1$
   R3. $\sqrt 6$
   R4. Nessuna delle altre risposte
   
8. Quattro persone giocano a poker con un mazzo di 52 carte a cui sono state tolte le carte dal due al sei. Che probabilita' si ha che il maziere abbia colore servito? (a poker si danno 5 carte, il colore consiste nell'avere tutte e 5 le carte dello stesso seme)
   R1. $0.1\%$
   R2. $1\%$
   R3. $0.01\%$
   R4. Nessuna delle altre risposte
   
9. Per una ricerca statistica si e' divisa una popolazione in tre fasce A, B, C contenenti il 40%, 35% e il 25% della popolazione totale rispettivamente. Nella fascia A sono state messi gli individui che fumano meno di 5 sigarette al giorno, nella fascia B quelli che ne fumano da 5 a 20, nella fascia C quelli che ne fumano piu' di 20. Si sono presi in considerazione gli individui ammalati di una malattia polmonare cronica che sono il 30% della popolazione e si e' calcolato che il 40% di questi appartiene alla fascia C, il 35% alla fascia B e il 25% alla fascia A. Calcolare la probabilita' $p$ che un individuo che non fuma si ammali e la probabilita' $q$ che un individuo che fuma 30 sigarette al giorno si ammali.
   R1. $p=3/16 \qquad q=12/25$
   R2. $p= 3/16\qquad q= 1/25$
   R3. $p= 1/25\qquad q=12/25$
   R4. $p=1/16 \qquad q= 1/25$
   
10. La densita' congiunta di due v.a. $X,Y$ e' la densita' uniforme sull'ellisse di equazione $x^2+y^2/4\leq 1.$ Calcolare $\rho_{X\,Y},\sigma_X,\sigma_Y$
    R1. $\rho_{X\,Y}=1/2,\sigma_X=0,\sigma_Y=2$
    R2. $\rho_{X\,Y}=0,\sigma_X=2,\sigma_Y=1$
    R3. $\rho_{X\,Y}=0,\sigma_X=3,\sigma_Y=2$
    R4. $\rho_{X\,Y}=0,\sigma_X=1/2,\sigma_Y=1$
    
11. Per quali valori del parametro $\lambda$ la funzione
    $$f(x)=\begin{cases} \lambda \ln (x)/x^2 &\quad x>2\cr 0 &\quad altrimenti \end{cases}$$
    rappresenta la densita' di una v.a. continua?
    R1. $3/(\ln(2)+1)$
    R2. $2/(\ln(2)+7)$
    R3. $2/(\ln(2)+1)$
    R4. $7/(\ln(2)+1)$