truept

Corsi di Laurea in Ingegneria Civile e Edile
Analisi Matematica II e Probabilita'
 
Prof. G. Stefani
 
Esercizi svolti o proposti a lezione dal 21 al 24/11/00

1. Calcolare l'approssimazione di Taylor centrata in (0,0) di ordine 4 della funzione
   
   $$f(x,y)=(log(1+x-y^2))^2$$
   
   

2. Data la funzione
   
   $$f(x,y)=\frac{x^2+y^2}{1+y^2}-x$$
   
   
   e l'insieme
   
   $$K=\{ (x,y) : \vert x\vert\leq 2 \}$$
   
   
   determinare gli estremi superiore e inferiore di $f$ su $K$ e gli eventuali massimi e minimi globali (assoluti) su $K$ e su $\R^2$.
3. Verificare che in $P=(0,1)$ le ipotesi del teorema della funzione implicita (Dini) per la funzione
   
   $$f(x,y)=3\sin(y-1)+2e^{x+y-1}-\ln(x+y)-2 .$$
   
   
   Disegnare il grafico della funzione implicita definita da
   
   $$f(x,y)=0\ , \ y(0)=1$$
   
   
   vicino al punto $(0,1)$ mettendo in evidenza crescenza, decrescenza, concavita', convessita'.
4. Determinare gli eventuali massimi e minimi locali della funzione
   
   $$f(x,y,z)=xy+2yz+xz$$
   
   
   vincolata a
   
   $$x\geq 0\ ,\ y\geq 0 \ ,\ z\geq 0 \ ,\ xyz=2$$
   
   

5. Determinare gli eventuali massimi e minimi globali (assoluti) della funzione
   
   $$f(x,y)=x^4+2y^2$$
   
   
   vincolata a
   
   $$x^4+y^4\leq 1$$
   
   

6. Calcolare $${\int _D f }$$ se
   
   $$f(x,y)=\vert x\vert y\quad \mbox{e}\quad D=\{ (x,y) : x^2+y^2\leq 1,\ x+y\geq 0 \}$$
   
   

7. Verificare che $P=(0,0,0)$ soddisfa le ipotesi del teorema della funzione implicita (Dini) per l'equazione
   
   $$f(x,y,z)=x^2e^{z}+ze^y+xy=0.$$
   
   
   Calcolare il polinomio di taylor di ordine due centrato in $(0,0)$ della funzione implicita definita da
   
   $$f(x,y,z)=0\ , \ z(0,0)=0$$
   
   

8. Verificare che esiste un unico $\bar z\in\R$ tale che $P=(1,0,\bar z)$ che soddisfa le ipotesi del teorema della funzione implicita (Dini) per l'equazione
   
   $$f(x,y,z)=x^2e^{z}+ze^y+xy=0.$$
   
   
   Calcolare il polinomio di taylor di ordine due centrato in $(1,0)$ della funzione implicita definita da
   
   $$f(x,y,z)=0\ , \ z(1,0)=\bar z$$
   
   

9. Verificare che per ogni $(\bar x,\bar y)\in \R^2$ esiste un unico $\bar z\in\R$ tale che $P=(\bar x,\bar y,\bar z)$ che soddisfa le ipotesi del teorema della funzione implicita (Dini) per la funzione
   
   $$f(x,y,z)=x^2e^{z}+ze^y+xy.$$
   
   
   Calcolare il polinomio di taylor di ordine due centrato in $(\bar x,\bar y)$ della funzione implicita definita da
   
   $$f(x,y,z)=0\ , \ z(\bar x,\bar y)=\bar z$$
   
   

10. Verificare che $P=(0,0,0)$ soddisfa le ipotesi del teorema della funzione implicita (Dini) per la funzione
    
    $$f(x,y,z)=-x^2-y^2+z\sin(x)+\beta \sin(z)\ ,\ \beta\in \R\ ,\ \beta\neq 0$$
    
    
    Determinare i valori del parametro $\beta$ per cui la funzione implicita definita da
    
    $$f(x,y,z)=0\ , \ z(0,0)=0$$
    
    
    ha un minimo relativo in $(0,0).$
11. Determinare il baricentro della regione limita di piano compresa fra le curve
    
    $$2y=x^2\ ,\ y=x.$$
    
    

12. Considerare il problema di massimizzare la funzione
    
    $$f(x,y,z)=2x^2+x+3-2z^2$$
    
    
    con il vincolo
    
    $$y^2+6z=2.$$
    
    
    Verificare che $P=(-1/4, 0, 1/3)$ e' l'unico punto che verifica le condizioni necessarie del primo ordine del problema vincolato e non quelle del problema libero.
13. Determinare il dominio di integrazione come integrale doppio dell'integrale iterato
    
    $$\int_0^2\int_{y^2}^{8-2y}f(x,y)dx\, dy$$
    
    
    e cambiare ordine di integrazione.