Analisi Matematica II e Calcolo delle probabilita' - C.d.L. Civile ed Edile
Prova orale A del 3/02/01. Durata: ore 2

 
Rispondere ai seguenti quesiti giustificando le risposte. Risposte senza giustificazione non verranno ritenute valide.
Per superare la prova orale e' necessario rispondere a qualche quesito in ciascuno dei tre esercizi.
 
ES.1 (tempo consigliato : 45 minuti) Sia $f:{\mathbb{R}}^2\mapsto {\mathbb{R}}$ definita da $f(x,y)=x^2-y^2$

a.

Disegnare le linee di livello di $f.$

b.

Giustificare l'esistenza di massimo e minimo di $f$ ristretta alla curva $x^2/4+y^2/9=1$ e calcolarli col metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Enunciare il teorema in ${\mathbb{R}}^2$ e darne una illustrazione geometrica nel caso attuale. Dimostrare il teorema enunciato.

c.

Calcolare la derivata di $f$ in direzione del vettore $v=(1,3)$ nel punto $P=(1,1).$

d.

Sia $\gamma : {\mathbb{R}}\mapsto {\mathbb{R}}^2$ definita da $\gamma(t)=(e^t,t),$ calcolare la derivata di $f\circ\gamma : {\mathbb{R}}\mapsto {\mathbb{R}},$ nel punto $t=1,$ e la matrice Jacobiana di $\gamma\circ f : {\mathbb{R}}^2\mapsto {\mathbb{R}}^2,$ nel punto $P=(1,1).$

e.

Calcolare il piano tangente al grafico $z=f(x,y)$ nel punto $P=(1,-2,-3).$

f.

In quali punti di quali linee di livello di $f$ non si puo' applicare il teorema della funzione implicita?

ES.2 (tempo consigliato : 30 minuti) Considerare la successione di funzioni

$$f_{n}(x)=\frac{2^{nx}}{1+e^{nx}}$$

a.

Studiare la convergenza puntuale e disegnare il grafico della funzione limite.

b.

La successione converge uniformemente in $[-1,1]$? e in $[1,2]$?

c.

Determinare gli intervalli in cui la successione converge uniformemente.

d.

Determinare gli intervalli $[a,b]$ per cui posso affermare

$$\lim_n \int_a^b \frac{2^{nx}}{1+e^{nx}} dx\ =0$$

e.

Definire il significato di: la serie numerica $\sum_{n\geq 0}a_n$ diverge a $+\infty .$

ES.3 (tempo consigliato : 45 minuti) Sia $X$ una variabile aleatoria di densita' concentrata in $[1,4]$ e di legge $f(x)=ax+b.$

a.

Determinare $(a,b)$ in maniera che la media di $X$ sia $2$ e disegnare il grafico della funzione densita' e della funzione di ripartizione. Calcolare la varianza di $X.$

b.

Sia $\{ X_i \}_{i\geq 1}$ una successione di v.a. con la stessa densita' di $X,$ definiamo

$$Y_n=\frac{\sum_{i=1}^n X_i -2n}{\sqrt{n}}.$$

Usando il teorema del limite centrale, calcolare la densita' della v.a. $Y$ a cui converge in legge la successione $Y_n .$

c.

Cosa significa che $Y_n$ converge in legge a $Y?$

d.

Detta $\phi:{\mathbb{R}}\mapsto {\mathbb{R}}$ la funzione di ripartizione di $N(0,1)$ (normale standard), usando l'approssimazione normale, calcolare

$$p(\sum_{i=1}^{1000} X_i\in [1970,2030])$$

in termini di $\phi .$

e.

Sia $Z$ una variabile aleatoria con la stessa legge di $X$ e da questa indipendente, calcolare la probabilita' che la coppia $(X,Z)$ disti dal punto $(2,2)$ meno di $1.$

Analisi Matematica II e Calcolo delle probabilita' - C.d.L. Civile ed Edile
Prova orale B del 1/02/01. Durata: ore 2

 
Rispondere ai seguenti quesiti giustificando le risposte. Risposte senza giustificazione non verranno ritenute valide.
Per superare la prova orale e' necessario rispondere a qualche quesito in ciascuno dei tre esercizi.
 
ES.1 (tempo consigliato : 45 minuti) Sia $f:{\mathbb{R}}^2\mapsto {\mathbb{R}}$ definita da $f(x,y)=x^2-y$

a.

Disegnare le linee di livello di $f.$

b.

Giustificare l'esistenza di massimo e minimo di $f$ ristretta alla curva $x^2/16+y^2/4=1$ e calcolarli col metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Enunciare il teorema in ${\mathbb{R}}^2$ e darne una illustrazione geometrica nel caso attuale. Dimostrare il teorema enunciato.

c.

Calcolare la derivata di $f$ in direzione del vettore $v=(-1,3)$ nel punto $P=(1,2).$

d.

Sia $\gamma : {\mathbb{R}}\mapsto {\mathbb{R}}^2$ definita da $\gamma(t)=(t,e^t),$ calcolare la derivata di $f\circ\gamma : {\mathbb{R}}\mapsto {\mathbb{R}},$ nel punto $t=1,$ e la matrice Jacobiana di $\gamma\circ f : {\mathbb{R}}^2\mapsto {\mathbb{R}}^2,$ nel punto $P=(1,2).$

e.

Calcolare il piano tangente al grafico $z=f(x,y)$ nel punto $P=(1,-2,3).$

f.

In quali punti di quali linee di livello di $f$ non si puo' applicare il teorema della funzione implicita?

ES.2 (tempo consigliato : 30 minuti) Considerare la successione di funzioni

$$f_{n}(x)=\frac{e^{-nx}}{1+4^{-nx}}$$

a.

Studiare la convergenza puntuale e disegnare la funzione limite.

b.

La successione converge uniformemente in $[-1,1]$? e in $[1,2]$?

c.

Determinare gli intervalli in cui la successione converge uniformemente.

d.

Determinare gli intervalli $[a,b]$ per cui posso affermare

$$\lim_n \int_a^b \frac{e^{-nx}}{1+4^{-nx}} dx\ =0$$

e.

Definire il significato di: la serie numerica $\sum_{n\geq 0}a_n$ converge .

ES.3 (tempo consigliato : 45 minuti) Sia $X$ una variabile aleatoria di densita' concentrata in $[-1,3]$ e di legge $f(x)=ax+b.$

a.

Determinare $(a,b)$ in maniera che la media di $X$ sia $1/2$ e disegnare il grafico della funzione densita' e della funzione di ripartizione. Calcolare la varianza di $X.$

b.

Sia $\{ X_i \}_{i\geq 1}$ una successione di v.a. con la stessa densita' di $X,$ definiamo

$$Y_n=\frac{\sum_{i=1}^n X_i -n/2}{\sqrt{n}}.$$

Usando il teorema del limite centrale, calcolare la densita' della v.a. $Y$ a cui converge in legge la successione $Y_n .$

c.

Cosa significa che $Y_n$ converge in legge a $Y?$

d.

Detta $\phi:{\mathbb{R}}\mapsto {\mathbb{R}}$ la funzione di ripartizione di $N(0,1)$ (normale standard), usando l'approssimazione normale, calcolare

$$p(\sum_{i=1}^{4000} X_i\in [1970,2030]),$$

in termini di $\phi .$

e.

Sia $Z$ una variabile aleatoria con la stessa legge di $X$ e da questa indipendente, calcolare la probabilita' che la coppia $(X,Z)$ disti dal punto $(1/2,1/2)$ meno di $3.$