Fac-simile primo compitino di Analisi II

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Domanda 1) Quali delle serie seguenti è convergente?

$$(i)\;\;\sum_{n=1}^\infty\left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan n\right),\qquad (ii)\;\;\sum_{n=1}^\infty\log\left(\cos \dfrac 1n\right)$$

1) Nessuna delle due

2) Soltanto la prima

3) Entrambe

4) Soltanto la seconda

Domanda 2) La somma della serie $${\sum_{n=1}^\infty \left[\cos\left(\dfrac{n}{n-1}\right)- \cos\left(\dfrac{n+1}{n}\right)\right]}$$ è:

1) positiva

2) negativa

3) infinita

4) zero

Domanda 3) Il raggio di convergenza della serie di potenze $${\sum_{n=1}^\infty\dfrac{x^{3n+1}}{8^n}}$$ è:

1) $8$

2) $2$

3) $1/8$

4) $1/2$

Domanda 4) Sia $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ una serie di potenze e sia $f(x)$ la sua somma. Quale delle affermazioni seguenti è falsa:

1) Se la serie converge per $x=5$, $f(x)$ è continua in $(-4,4)$

2) Se la serie converge per $x=1$ allora la serie converge anche per $x=-1$

3) Se la serie converge per $x=5$, $f(x)$ è continua in $[-4,4]$

4) Se la serie converge per $x=2$, la serie converge uniformemente per $x\in [-1,1]$

Domanda 5) L'equazione del piano perpendicolare al vettore $(3, -1, 1)$ e passante per il punto $(-1, 2, 4)$, è:

1) $3x - y +z +1 = 0$

2) $3x - y -z -1 = 0$

3) $3x + y -z -1 = 0$

4) $3x - y +z -1 = 0$

Domanda 6) La successione $f_n(x)=e^{nx}$

1) converge uniformemente a $f(x)=\begin{cases}1\text{ se }x=0\\ 0\text{ se }x\neq 0\end{cases}$ in $(-\infty, 0]$

2) converge uniformemente in $[-2,0]$

3) converge puntualmente ma non uniformemente in $[-1,1]$

4) converge uniformemente a zero in $(-\infty,-1]$

Domanda 7) Se $f(x,y,z) = \cos (xy) + e^{-xy}+x$ e $P$ è il punto $(1/2,\pi,3)$, allora $grad f(P)$ è uguale a:

1) $\left( -\dfrac12-\pi e^{-\frac\pi2}, -\pi+\dfrac12e^{-\frac\pi2}, 0\right)$

2) $\left( \dfrac12-\pi e^{-\frac\pi2}, -\pi-\dfrac12e^{-\frac\pi2}\right)$

3) $\left( \dfrac12-\pi e^{-\frac\pi2}, -\pi-\dfrac12e^{-\frac\pi2}, 0\right)$

4) $\left( \dfrac12-\pi e^{-\frac\pi2}, \pi-\dfrac12e^{-\frac\pi2}, 0\right)$

Domanda 8) Sia $${f(x,y)=\dfrac{x+y}{x^2+y^2}}$$. Sia $P=(x,y)$, allora

1) $${\lim_{P \rightarrow (0,0)} f(x,y)=0}$$

2) $${\lim_{P \rightarrow \infty} f(x,y)=0}$$

3) $${\lim_{P \rightarrow (0,0)} f(x,y)=+\infty}$$

4) $${\lim_{P \rightarrow \infty} f(x,y)=1}$$

Domanda 9) Sia $f(x,y)=x^2e^{x-y}$. L'equazione del piano tangente alla superficie rappresentata dal grafico di $f$ nel punto di coordinate $x=1,\; y=2$ è:

1) $3x+y-ze^{-3}-4=0$

2) $3x+y+ze^{-3}-6=0$

3) $3x+y+z-6=0$

4) $3x+y-z-4e^{3}=0$

Domanda 10) Sia $f(x,y)=\sqrt{\dfrac{2-\vert x\vert - \vert y \vert}{x^2+y^2-1}}$. Quale delle figure seguenti meglio rappresenta il dominio di esistenza di $f$?

1)     

2)     

3)     

4)     

Domanda 11) Calcolare la somma della serie di potenze $${\sum_{n=1}^\infty}\dfrac{x^{n-1}}{n!}$$

1) $\dfrac{e^x-1}{x}$

2) $\dfrac{e^x}{x}$

3) $\dfrac{xe^x-1}{x^2}$

4) $\dfrac{\sin x + \cos x -1}{x}$