29-30/4. Equazioni differenziali. 8.1, 8.2, 8.4

1.
Classificazione delle equazioni differenziali e concetto di soluzione. Equazioni alle derivate parziali (EDP), esempio: l'equazione delle onde $u_{tt}=c^2u_{xx},$ con esempio di soluzione $(t,x)\mapsto f(x-ct).$
Equazioni differenziali ordinarie (EDO), esempio: equazione del pendolo ( piccole oscillazioni ) e della molla $\ddot x=-\omega ^2 x ,$ con esempio di soluzione $a\cos (\omega t)+b\sin(\omega t).$ Esercizi:

1. Per quali valori di $a,b,c,d \in \R$ la funzione $u=a e^{(x+ct)^2}+b e^{(x-ct)^2}$ è soluzione dell'equazione delle onde $u_{tt}=4u_{xx} ?$
2. Per quali valori di $R,t_0,\omega \in \R$ la funzione $x=R\cos(\omega (t-t_0))$ è soluzione dell'equazione del pendolo $\ddot x=-2 x ?$

ATTENZIONE: la notazione $\dot x$ viene usata per la derivata rispetto al tempo mentre la notazione $y'$ è una notazione generica

Classificazione delle EDO

1. Ordine di una EDO ed equazione in forma normale.
2. Equazioni lineari: omogenee, non omogenee, a coefficienti costanti o variabili. Esempi, oscillatore armonico forzato:
   $$\ddot x + x=\sin(\lambda t),$$
   ricerca della primitiva, caduta dei gravi.
3. Equazioni non lineari autonome e non autonome. Esempi:
   $$y' =y(y-1),\quad y'=xy^2$$

2.
Problema di Cauchy o ai valori iniziali: posizione del problema. Soluzioni delle equazioni del primo ordine a variabili separabili: soluzioni costanti e soluzioni implicitamente definite, problema di Cauchy, cautela nell'uso dell'integrale generale. Esempi:

$$y' =y f(x) ,\quad y' =y(y-1),\quad y'=xy^2$$

3.
Equazioni lineari omogenee: struttura delle soluzioni come spazio vettoriale e sua dimensione, esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy, soluzione (o integrale) generale. Struttura delle soluzioni delle equazioni lineari non omogenee (soluzione "particolare", soluzione generale) .
4.
Soluzioni delle equazioni lineari del primo ordine e del problema di Cauchy ad esse collegato.