25-26/02. Funzioni implicite ed estremi. 2.8, 2.9, 3.1, 3.2

21.
Studio al secondo ordine delle curve di livello. Funzioni implicite e loro derivate, senza dimostrazione e solo il caso di funzioni definite da una equazione. Approssimazione di Taylor delle funzioni di piu' variabili, usando le serie di taylor di una variabile. Calcolo del gradiente e della matrice hessiana usando l'approssimazione di Taylor. Esempio: vari modi per ricavare l'approssimazione del secondo ordine della linea di livello $x^2+y^2=1,$ nell'intorno dei punti $(1,0), (0,1), (\sqrt 2/2,\sqrt 2/2)$
22.
Esercizi: calcolo di gradiente ed matrice hessiana di $f(x,y)$ in $P_0$ e studio di $f(x,y)=f(P_0)$ nell'intorno di $P_0,$ con

• $f(x,y)=\exp(yx),$ $P_0=(0,0)$
• $f(x,y)=y\cos(x),$ $P_0=(0,0)$ e $P_0=(\pi/2,1)$
• $f(x,y)=\exp(x+y+xy),$ $P_0=(0,0)$

Calcolo di gradiente, matrice hessiana e approssimazione di grado 3 di $f(x,y,z)=\sin(z+xy)+\exp(x+y)$ in $P_0$ e studio di $f(x,y,z)=f(P_0)$ nell'intorno di $P_0,$ con $P_0=(0,0,0)$ e $P_0=(1,-1,1)$
23. Lezione tenuta dalla Dott. Poggiolini.
Esercizi sulle derivate delle funzioni composte e matrici Jacobiane. Matrice Jacobiana della trasformazione inversa.
24. Lezione tenuta dalla Dott. Poggiolini.
Massimi e minimi locali e globali in punti interni al dominio di differenziabilitá della funzione: condizioni necessarie e condizioni sufficicenti dedotte dall'approssimazione del secondo ordine. Esercizi su massimi e minimi locali e globali.