DESCRIZIONE DELL'ATTIVITÀ DI RICERCA

Marco Spadini

Metodi topologici. La mia attività di attività di ricerca è iniziata con la stesura, sotto la guida del Prof. Massimo Furi, della tesi di laurea [1] dedicata all'approccio topologico differenziale alla teoria dell'indice di punto fisso. Un risultato ottenuto in germe in quella tesi e pubblicato molto tempo più tardi in forma assai più completa (in collaborazione con M. Furi e M. P. Pera) è un teorema di unicità dell'indice di punto fisso su varietà differenziabili usando solo tre assiomi [2] (la versione classica sugli ANR ne richiede quattro). Nella successiva stesura della tesi di dottorato [3] riguardante lo studio della struttura dell'insieme delle soluzioni armoniche di perturbazioni periodiche di equazioni differenziali ordinarie, del primo e del secondo ordine, su varietà differenziabili, ho affrontato dapprima il problema di determinare a priori l'indice di punto fisso dell'operatore di traslazione lungo le traiettorie associato ad una equazione differenziale autonoma definita su una varietà differenziabile. Infatti, sebbene l'indice di tale operatore sia spesso ben definito, la sua utilità verrebbe meno se per calcolarlo ci fosse bisogno di conoscere le soluzioni dell'equazione. In collaborazione con M. Furi, siamo riusciti invece ad estendere al caso delle varietà differenziabili una formula che lega l'indice di punto fisso dell'operatore di traslazione con il grado (o rotazione, o caratteristica) del campo vettoriale che definisce l'equazione [4]. Questa formula non è ottenibile direttamente dalla proprietà di invarianza per omotopia dell'indice.

La conoscenza di una formula per l'indice di punto fisso dell'operatore di traslazione mi ha permesso, in collaborazione con M. Furi e M. P. Pera di dedurre alcune proprietà dell'insieme delle soluzioni periodiche di una perturbazione periodica di una equazione differenziale autonoma. Poiché la formula citata dipende dalla teoria del grado di un campo vettoriale, essa non è applicabile al caso ``estremo'' in cui il campo perturbato è identicamente nullo. Tuttavia, le tecniche sviluppate da M. Furi e M. P. Pera negli anni precedenti per studiare il problema della biforcazione di soluzioni armoniche di EDO periodiche si sono rivelate perfettamente adatte ad essere usate anche in questa situazione se combinate opportunamente con la formula citata. Un confronto tra queste diverse situazioni è dato nell'articolo espositivo [13].

La più importante delle proprietà studiate è l'esistenza sotto opportune ipotesi di un ``ramo globale'' di soluzioni armoniche di perturbazioni periodiche di equazioni sia del primo ordine [5], [8], [9] che del secondo ordine [7]. Risultati simili, nel caso di perturbazioni del campo nullo erano stati ottenuti in precedenza da M. Furi e M. P. Pera ma non è possibile, in generale, dedurre i loro risultati da quelli sopra citati. Un primo passo in direzione di un'unificazione tra questi risultati è stato fatto in [16] per le equazioni del primo ordine ed in collaborazione con M. Lewicka per le equazioni del secondo ordine in [17] dove si studiano i risultati sopra esposti nel caso di sistemi di equazioni accoppiate di una forma particolare.

Una delle conseguenze più significative dell'esistenza dei rami globali di soluzioni armoniche si ha combinando questo fatto con un'analisi ``locale'' dell'insieme delle soluzioni periodiche: in questo modo si ottengono risultati di molteplicità di soluzioni forzate per piccole perturbazioni di campi autonomi [6], [10], [11], [12]. Dello stesso filone di ricerca fa parte lo studio della genericità delle equazioni che presentano molteplicità di soluzioni armoniche [14], [15] condotto in collaborazione con M. Lewicka.

Sempre nell'ambito dei metodi topologici, in collaborazione con P. Benevieri, M. Furi e M. P. Pera, abbiamo sviluppato un metodo per determinare se una famiglia ad un parametro di operatori di Fredholm di indice 0 ammetta un salto di segno [18]. Più precisamente, dati due spazi di Banach $E$ e $G$ ed una famiglia $\{F_\lambda\}_{\lambda\in\mathbb{R}}$ di operatori $F_\lambda:E\to G$ di Fredholm di indice 0 tali che $F_\lambda$ è un isomorfismo per $\lambda\neq 0$, il segno di $F_\lambda$ (dato da $\deg(F_\lambda,E,0)=\pm 1$) risulta ben definito per ogni $\lambda\neq 0$. Nel lavoro citato abbiamo proposto un criterio per determinare se tale segno cambia quando $\lambda$ attraversa lo 0. Tra le possibili applicazioni, vi sono risultati di esistenza di soluzioni non banali di equazioni funzionali e teoremi di biforcazione.

Teoria del controllo. Mi sono anche dedicato, in collaborazione con Fritz Colonius, ad alcuni problemi legati alla teoria del controllo. In particolare mi sono interessato alle proprietà qualitative degli insiemi massimali (locali e globali) di controllabilità per sistemi non lineari con controlli aventi rango ristretto. In questo campo, usando metodi ed idee presi dalla topologia abbiamo affrontato questioni di esistenza ed unicità [22], [19]. La costruzione usata in questi lavori ha ispirato in [20] e [21] i metodi proposti per associare un semigruppo ad un insieme di controllo locale in modo che questo ne rifletta la dinamica interna. La costruzione di tale semigruppo ricorda quella del gruppo fondamentale in topologia algebrica. Infatti, in [23], in collaborazione con F. Colonius e Luiz San Martin, è stato dimostrato un risultato nello spirito del noto Teorema di Seifert-Van Kampen.

Questi studi hanno trovato una naturale applicazione nel campo dei sistemi dinamici [24]. Infatti ``immergendo'' un sistema dinamico in un'opportuno sistema di controllo si riesce a definire un indice associato al primo. Sempre nell'ambito della teoria dei sistemi dinamici, mi sono interessato, in collaborazione con F. Colonius, Roberta Fabbri e Russell Johnson, ai fenomeni di biforcazione nei sistemi dinamici associati a quelli di controllo.

Ricerche in corso. Attualmente, mi sto interessando con M. Furi di rami di soluzioni periodiche di equazioni differenziali con ritardo; e in collaborazione con Laura Poggiolini e Gianna Stefani, sto affrontando alcuni problemi di controllo ottimo.