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Descrizione della ricerca scientifica

Aggiornamento del 10/05/2013

Schema degli argomenti di ricerca

Soluzioni armoniche di perturbazioni periodiche di equazioni differenziali autonome su varietà differenziabili mediante metodi topologici.
- Studio dell'insieme delle soluzioni periodiche per equazioni del primo ordine: [35], [36], [50], [51], [32], e del secondo ordine: [38];
- Molteplicità di soluzioni periodiche per piccole perturbazioni di sistemi autonomi: [37], [28], [29], [30];
- Questioni di genericità dei risultati di molteplicità: [42], [43].
- Equazioni differenziali accoppiate: [52], [44];
- Soluzioni periodiche di equazioni differenziali con ritardo [34];
- Soluzioni periodiche di equazioni algebro-differenziali [54], [12,13] e di equazioni algebro-differenziali con ritardo [5,6,7].
Approccio astratto ai metodi topologici.
- Teoria assiomatica dell'indice di punto fisso e del grado di un campo vettoriale tangente: risultati di unicità, [31], [33] ;
- Teoria del grado topologico, [8];
- Salto di segno per una famiglia ad un parametro di operatori di Fredholm, [10].
Proprietà qualitative degli insiemi massimali di controllabilità per sistemi con controlli di rango ristretto
- Questioni di unicità, [22], [20];
- Studio della dinamica interna, [21], [16], [19];
- Relazione con la teoria dei sistemi dinamici, [17], [18].
Applicazione di metodi topologici a problemi di controllo ottimo.
- Sistemi bang-bang con switch doppi, [46,47,48] e [49].

Descrizione

La mia attività di ricerca riguarda principalmente i metodi topologici in analisi, con particolare riguardo per le equazioni differenziali ordinarie su varietà differenziabili, e alcuni aspetti della teoria del controllo.

Soluzioni armoniche di perturbazioni periodiche. Il tema principale affrontato in quest'ambito è l'uso dell'indice di punto fisso dell'operatore di traslazione di Poincaré per lo studio dell'insieme delle soluzioni armoniche di una perturbazione periodica di un'equazione differenziale autonoma, sia del primo che del secondo ordine, su una varietà differenziabile.

Più precisamente, data una varietà differenziabile

M \subseteq R^{k}

e campi vettoriali

f : R \times M \to R^{k}

g : M \to R^{k}

tangenti a a

M

(cioè con la proprietà che

f (t, x) \in T_{x} M

g (x) \in T_{x} M

per ogni

(t, x) \in R \times M

), si studia l'equazione

\overset{\cdot}{x} = g (x) + λ f (t, x), λ \geq 0 .

(1)

Inoltre, se

TM \subseteq R^{k} \times R^{k}

denota il fibrato tangente ad

M

γ : TM \to R^{k} \times R^{k}

ϕ : R \times TM \to R^{k} \times R^{k}

sono tangenti ad

M

nel senso che

γ (p, v) \in T_{p} M

ϕ (t, p, v) \in T_{p} M

per ogni

(t, p, v) \in R \times TM

, si considerano equazioni del secondo ordine della forma

{\overset{\cdot\cdot}{x}}_{π} = γ (x, \overset{\cdot}{x}) + λ ϕ (t, x, \overset{\cdot}{x}), λ \geq 0 .

(2)

Qui, se

x

è una funzione

C^{2}

a valori in

M

{\overset{\cdot\cdot}{x}}_{π} (t)

rappresenta la proiezione ortogonale su

T_{x (t)} M

dell'accelerazione

\overset{\cdot\cdot}{x} (t)

. È da notare che, si veda per esempio [24], la (2) può essere scritta come una equazione del primo ordine sul fibrato tangente come segue

{\begin{matrix} \overset{\cdot}{x} = y, \\ \overset{\cdot}{y} = r (x, y) + γ (x, y) + λ ϕ (t, x, y), \end{matrix}

(3)

per

λ \geq 0

. Qui

r

rappresenta la reazione vincolare della varietà

M

. Notiamo che i campi

G (x, y) : = (y, r (x, y) + γ (x, y))

F (t, x, y) : = (0, ϕ (t, x, y))

sono tangenti a

TM

cosicché (3) rientra in effetti nel caso (1).

Quest'attività, iniziata nella mia tesi di dottorato [53], ha permesso di determinare una formula per determinare a priori l'indice di punto fisso dell'operatore di traslazione lungo le traiettorie associato ad un'equazione differenziale autonoma definita su una varietà differenziabile. Infatti, sebbene l'indice di tale operatore sia spesso ben definito, la sua utilità verrebbe meno se per calcolarlo ci fosse bisogno di conoscere le soluzioni dell'equazione. Tuttavia, è stato possibile estendere al caso delle varietà differenziabili una formula, dedotta in

R^{n}

usando la teoria del grado di coincidenza da A. Capietto, J. Mawhin e F. Zanolin [14], che lega l'indice di punto fisso dell'operatore di traslazione con il grado (detto anche rotazione, o caratteristica) del campo vettoriale che definisce l'equazione [35]. Questa formula, che non è ottenibile direttamente dalla proprietà di invarianza per omotopia dell'indice, è correlata con un noto risultato di Krasnosel'skii [40].

Nell'ipotesi in cui sia ben definito l'operatore di traslazione

P_{T}^{λ}

lungo le traiettorie di (1) su un aperto

U \subseteq M

, si ha che

ind (P_{T}^{λ}, U) = \deg (- g, U),

(4)

ogni volta che questa formula ha senso

^{1}

e per

λ \geq 0

sufficientemente piccolo. Qui "

ind (P_{T}^{λ}, U)

" e "

\deg (- g, U)

" rappresentano rispettivamente l'indice di punto fisso di

P_{T}^{λ}

U

e il grado del campo vettoriale

- g

U

(noto anche come rotazione o caratteristica). Si osservi, inoltre, che dato un aperto

W

TM

si ha la seguente relazione per il campo di secondo ordine

G

definito sopra:

\deg (G, W) = \deg (- γ |_{M}, W_{0}),

(5)

in cui

γ |_{M} : M \to R^{k}

è data da

γ |_{M} (x) : = γ (x, 0)

W_{0} = {p \in M : (p, 0) \in W}

cioè, in pratica,

W_{0} = W \cap M_{0}

essendo

M_{0}

la sezione nulla di

TM

. La formula (5) risulta utile, in connessione con la (4) per studiare i problemi di secondo ordine.

La conoscenza di questa formula per l'indice di punto fisso dell'operatore di traslazione ha permesso di dedurre alcune proprietà dell'insieme delle soluzioni periodiche di una perturbazione periodica di un'equazione differenziale autonoma. Notiamo che poiché la formula (4) dipende dalla teoria del grado di un campo vettoriale, essa non è applicabile al caso "estremo" in cui il campo perturbato

- g

è identicamente nullo (infatti, in questo caso,

- g

non risulta ammissibile). Tuttavia, le tecniche sviluppate da M. Furi e M. P. Pera (si veda per esempio [25] nel caso del primo ordine e [26] per le equazioni del secondo ordine) negli anni precedenti per studiare il problema della biforcazione di soluzioni armoniche di EDO periodiche si sono rivelate perfettamente adatte ad essere usate anche in questa situazione, se combinate opportunamente con la formula citata. Un confronto tra queste diverse situazioni è dato nell'articolo espositivo [32].

La più importante delle proprietà studiate è l'esistenza, sotto opportune ipotesi, di un "ramo globale" di soluzioni armoniche di perturbazioni periodiche di equazioni sia del primo ordine [36], che del secondo ordine [38]. Questo tipo di risultati si presta facilmente a qualche generalizzazione. Per esempio in [50] si ammette che la

f

in (1) sia di Carathéodory, mentre in [51] si considera il caso in cui nella (1) la

g

è sostituita da un campo

T

-periodico (lo stesso periodo della

f

) della forma

a (t) k (x)

con

a : R \to R

periodica con media non nulla e

k : M \to R^{k}

tangente a

M

. Per spiegare più precisamente questi risultati sui rami globali è necessario introdurre un po' di notazione. Sia

C_{T} (M)

il sottospazio metrico dello spazio di Banach

C_{T} (R^{k})

delle funzioni

x

T

-periodiche,

x : R \to R^{k}

, formato dalle funzioni a valori in

M

. Inoltre è conveniente fare alcune convenzioni. Identificheremo ogni spazio con la sua immagine nel seguente diagramma di inclusioni naturali:

\begin{matrix} [0, \infty) \times M & \to & [0, \infty) \times C_{T} (M) \\ ↑ & ↑ \\ M & \to & C_{T} (M) \end{matrix}

In particolare, identificheremo

M

con la sua immagine in

C_{T} (M)

ottenuta associando ad ogni

p \in M

la mappa

\hat{p} \in C_{T} (M)

constantemente uguale a

p

. Inoltre considereremo

M

come la fetta

{0} \times M \subseteq [0, \infty) \times M

e, similmente,

C_{T} (M)

come

{0} \times C_{T} (M)

. Mediante queste identificazioni, se

Ω

è un aperto di

[0, \infty) \times C_{T} (M)

, con

Ω \cap M

possiamo rappresentare l'insieme dei

p \in M

tali che la coppia

(0, \hat{p})

è in

Ω

. Se

U

è un aperto di

[0, \infty) \times M

, allora

U \cap M

rappresenta l'aperto

{p \in M : (0, p) \in U}

. Infine, diremo che un elemento

(μ, x) \in [0, \infty) \times C_{T} (M)

è una $T$ -coppia per (1) se

x

è una soluzione di (1) per

λ = μ

. Le

T

-coppie della forma

(0, \hat{p})

, per qualche

p \in M

, sono dette banali.

In essenza, relativamente alle equazioni del primo ordine, si dimostra che dato un aperto

Ω \subseteq [0, \infty) \times C_{T} (M)

tale che

\deg (g, Ω \cap M) \neq 0,

allora esiste un connesso

Γ \subseteq Ω

T

-coppie non banali di (1) la cui chiusura in

Ω

non è compatta ed incontra

g^{- 1} (0) \cap Ω

Nel caso delle equazioni del secondo ordine, si dimostra un risultato simile. In sostanza, con la naturale interpretazione di simboli e termini e con immersioni simili a quelle fatte per le equazioni del primo ordine (si veda il diagramma commutativo sotto),

si dimostra che dato un aperto

Ω \subseteq [0, \infty) \times C_{T}^{1} (M)

tale che

\deg (γ |_{M}, Ω \cap M) \neq 0,

allora esiste un connesso

Γ \subseteq Ω

T

-coppie non banali di (2) la cui chiusura in

Ω

non è compatta ed incontra

γ |_{M}^{- 1} (0) \cap Ω

Risultati simili, nel caso di perturbazioni del campo nullo erano stati ottenuti in precedenza da M. Furi e M. P. Pera ma non è possibile, in generale, dedurre i loro risultati da quelli sopra citati e viceversa. Infatti, mentre i risultati descritti sopra dipendono dal grado di

g

, quelli di Furi e Pera, validi per

g (x) \equiv 0

, sfruttano il grado del campo medio

w_{f} (x) = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f (t, x) dt .

Un primo passo in direzione dell'unificazione tra questi risultati è stato fatto in [52] per le equazioni del primo ordine. L'idea è di considerare una varietà prodotto

M \times N

M \subseteq R^{k}

N \subseteq R^{s}

, e su questa studiare equazioni accoppiate della forma

{\begin{matrix} \overset{\cdot}{x} = g (x, y) + λ h (t, x, y), \\ \overset{\cdot}{y} = λ f (t, x, y), \end{matrix} λ \geq 0 .

dove

g : M \times N \to R^{k}

h : R \times M \times N \to R^{k}

sono tangenti ad

M

f : R \times M \times N \to R^{s}

è tangente ad

N

f, h

sono

T

-periodiche in

t

. Il campo vettoriale il cui grado è utile studiare in questo caso è, forse non sorprendentemente,

(x, y) \to (g (x, y), \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f (t, x, y) dt) .

In [44] si affronta lo studio analogo per le equazioni del secondo ordine.

Una delle conseguenze più significative dell'esistenza dei rami globali di soluzioni armoniche si ha combinando questo fatto con un'analisi "locale" dell'insieme delle soluzioni periodiche: in questo modo si ottengono risultati di molteplicità di soluzioni forzate per piccole perturbazioni di campi autonomi, [28], [29], [30]. In [37], in particolare, si dimostra che un pendolo sferico (con o senza attrito) sottoposto all'azione di un campo tipo-gravitazionale ed ad una forza

T

-periodica di intensità sufficientemente piccola ammette sempre almeno due soluzioni di periodo

T

Dello stesso filone di ricerca fa parte lo studio della genericità delle equazioni che presentano molteplicità di soluzioni armoniche [42], [43].

Le tecniche ed i risultati accennati sopra sono stati applicati a particolari equazioni algebro-differenziali (si veda [41] per una discussione generale). In particolare si provano teoremi sui rami di

T

-coppie per perturbazioni

T

-periodiche di equazioni algebro-differenziali semi esplicite della forma:

{\begin{matrix} \overset{\cdot}{x} = f (x, y) + λ h (t, x, y), λ \geq 0, \\ g (x, y) = 0 \end{matrix}

(6)

dove, dato un aperto connesso

U \subseteq R^{k} \times R^{s}

, le funzioni

f : U \to R^{k}

h : R \times U \to R^{k}

sono continue, con

h

che è

T

-periodica in

t

, e

g : U \to R^{s}

C^{\infty}

con la derivata parziale rispetto alla seconda variabile,

\partial_{2} g (x, y)

, non singolare per ogni

(x, y) \in U

^{2}

In questa situazione, l'equazione (6) è equivalente alla seguente ODE su

M

\overset{\cdot}{ξ} = Ψ (ξ) + λ ϒ (t, ξ)

con

ξ = (x, y) \in M = g^{- 1} (0)

\begin{matrix} Ψ (x, y) = (f (x, y), - [\partial_{2} g (x, y {)]}^{- 1} \partial_{1} g (x, y) f (x, y)), \\ ϒ (t, x, y) = (h (t, x, y), - [\partial_{2} g (x, y {)]}^{- 1} \partial_{1} g (x, y) h (t, x, y)) . \end{matrix}

Posto

F : (x, y) \to (f (x, y), g (x, y))

, si dimostra, [54], che dato un aperto

W \subseteq R^{k} \times R^{s}

| \deg (Ψ, W \cap M) | = | \deg (F, W \cap U) |

(7)

ogni volta che questa formula ha senso. Se ne deducono risultati analoghi a quelli per l'equazione (1). Dalla (7) si possono dedurre dei risultati riguardanti equazioni del tipo (1) su varietà definite implicitamente da una funzione [12]. Similmente si può procedere per equazioni del secondo ordine ([13]).

Perturbazioni con ritardo o funzionali ritardate. Un'analisi simile (ma più sofisticata) può essere condotta anche ammettendo che il campo vettoriale perturbante dipenda dalla "storia" della soluzione. Risultati simili a quelli accennati sopra per l'equazione (1) su

M \subseteq R^{k}

In [34], ispirandosi a [3], si considerano equazioni della forma

\overset{\cdot}{x} (t) = g (x (t)) + λ f (t, x (t), x (t - 1)), λ \geq 0,

con

f

g

tangenti ad una varietà

M

in un senso ovvio. Questo lavoro a condotto naturalmente a risultati per una classe di equazioni algebro-differenziali ([5,6,7]).

Più in generale, prendendo l'ispirazione da [4], in [27] si ammette che la perturbazione possa dipendere dall'intera storia della soluzione. Cioè, si considerano equazioni della forma

\overset{\cdot}{x} (t) = g (x (t)) + λ f (t, x_{t}), λ \geq 0,

con

g

un campo vettoriale tangente e

f : R \times BU ((- \infty, 0], M) \to R^{k}

è tale che

f (t, ϕ) \in T_{ϕ (0)} M

per ogni

(t, ϕ) \in BU ((- \infty, 0], M) \to R^{k}

Approccio astratto ai metodi topologici. Da un punto di vista più astratto, mi sono occupato del trattamento assiomatico dell'indice di punto fisso nello spirito di [2]. Si dimostra che per determinare univocamente l'indice di punto fisso nell'ambito delle varietà differenziabili sono sufficienti soltanto tre assiomi [31] (la versione classica del teorema di unicità negli ANR ne richiede quattro, si veda per esempio [11], [23]). Un risultato simile è stato ottenuto per il grado di un campo vettoriale tangente [33].

Sempre nell'ambito dei metodi topologici ho collaborato allo sviluppo di un metodo per determinare se una famiglia ad un parametro di operatori di Fredholm di indice

0

ammetta un salto di segno [10]. Più precisamente, dati due spazi di Banach

E

G

ed una famiglia

{F_{λ}}_{λ \in R}

di operatori

F_{λ} : E \to G

di Fredholm di indice

0

tali che

F_{λ}

è un isomorfismo per

λ \neq 0

, il segno di

F_{λ}

(dato da

\deg (F_{λ}, E, 0) = \pm 1

) risulta ben definito per ogni

λ \neq 0

. Nel lavoro citato abbiamo proposto un criterio per determinare se tale segno cambia quando

λ

attraversa lo

0

. Tra le possibili applicazioni, vi sono risultati di esistenza di soluzioni non banali di equazioni funzionali e teoremi di biforcazione.

Struttura degli insiemi di controllo. Mi sono anche dedicato ad alcuni problemi legati alla teoria del controllo. In particolare mi sono interessato alle proprietà qualitative degli insiemi massimali (locali e globali) di controllabilità per sistemi (soprattutto non lineari) con controlli aventi rango ristretto [15]. In questo campo, usando metodi ed idee presi dalla topologia abbiamo affrontato questioni di esistenza ed unicità [22], [20]. La costruzione usata in questi lavori ha ispirato in [21] e [16] i metodi proposti per associare un semigruppo ad un insieme di controllo locale in modo che questo ne rifletta la dinamica interna. La costruzione di tale semigruppo ricorda quella del gruppo fondamentale in topologia algebrica. Infatti, in [19] è stato dimostrato un risultato nello spirito del noto Teorema di Seifert-Van Kampen.

Questi studi hanno trovato una naturale applicazione nel campo dei sistemi dinamici [17]. Infatti "immergendo" un sistema dinamico in un opportuno sistema di controllo si riesce a definire un indice associato al primo. L'idea è di considerare il sistema inverso di semigruppi fondamentali che si ottiene al decrescere del range dei controlli ammessi e di prendere il limite inverso di questo sistema. Infatti, si riesce a dimostrare che, almeno in alcuni casi significativi, tale semigruppo limite non dipende dal sistema di controllo in cui è stato immerso il sistema dinamico originale.

Sempre nell'ambito della teoria dei sistemi dinamici, mi sono interessato ai fenomeni di biforcazione nei sistemi dinamici (infinito-dimensionali) associati a sistemi di controllo [18]. In questo contesto si è fatto uso della teoria dell'indice di Conley (si veda per esempio [45]) e della teoria delle Matrici di Connessione di una decomposizione di Morse (R. Franzosa [39]).

Tecniche topologiche in teoria del controllo In collaborazione con L. Poggiolini [46,47,48] ho applicato la teoria del grado topologico ad alcuni problemi di controllo ottimo legati a sistemi bang-bang con switch doppi (che vengono studiati con metodi hamiltoniani ispirati a [1]). In questo contesto la funzione dei metodi topologici è di permettere in modo semplice l'inversione di operatori continui ma non sufficientemente regolari da potere applicare il teorema della funzione implicita.

^{3}

This is especially analyzed in the paper [49].

Riferimenti bibliografici

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[50]: Marco Spadini, Harmonic solutions of periodic Carathéodory perturbations of autonomous ODEs on manifolds - Nonlinear Analysis tma, 41a (2000), 477-487.
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Footnotes:

^{1}

Cioè ogni volta che sono definiti entrambi i membri dell'identità. In questo caso basta sia definito uno dei membri perché lo sia anche l'altro.

^{2}

Notiamo che questa proprietà non garantisce che l'equazione possa essere disaccoppiata globalmente. Nei fatti, anche quando una tale operazione è teoricamente possibile, non è detto che farlo sia conveniente o praticabile.

^{3}

C'è da notare che le ipotesi del teorema della funzione inversa di Clarke, che pure risulta applicabile in alcuni sottocasi, sembrano difficili da verificare in generale.

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On 11 May 2013, 09:03.