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Descrizione della ricerca scientifica


Aggiornamento del 10/05/2013

Schema degli argomenti di ricerca

Descrizione

La mia attività di ricerca riguarda principalmente i metodi topologici in analisi, con particolare riguardo per le equazioni differenziali ordinarie su varietà differenziabili, e alcuni aspetti della teoria del controllo.
Soluzioni armoniche di perturbazioni periodiche. Il tema principale affrontato in quest'ambito è l'uso dell'indice di punto fisso dell'operatore di traslazione di Poincaré per lo studio dell'insieme delle soluzioni armoniche di una perturbazione periodica di un'equazione differenziale autonoma, sia del primo che del secondo ordine, su una varietà differenziabile.
Più precisamente, data una varietà differenziabile M⊆Rk e campi vettoriali f:R×M→Rk e g:M→Rk tangenti a a M (cioè con la proprietà che f(t,x)∈TxM e g(x)∈TxM per ogni (t,x)∈R×M), si studia l'equazione
·x=g(x)+λf(t,x),   λ≥0. (1)
Inoltre, se TM⊆Rk×Rk denota il fibrato tangente ad M e γ:TM→Rk×Rk e ϕ:R×TM→Rk×Rk sono tangenti ad M nel senso che γ(p,v)∈TpM e ϕ(t,p,v)∈TpM per ogni (t,p,v)∈R×TM, si considerano equazioni del secondo ordine della forma
··xπ=γ(x,·x)+λϕ(t,x,·x),   λ≥0. (2)
Qui, se x è una funzione C2 a valori in M, ··xπ(t) rappresenta la proiezione ortogonale su Tx(t)M dell'accelerazione ··x(t). È da notare che, si veda per esempio [24], la (2) può essere scritta come una equazione del primo ordine sul fibrato tangente come segue
{·x=y,·y=r(x,y)+γ(x,y)+λϕ(t,x,y), (3)
per λ≥0. Qui r rappresenta la reazione vincolare della varietà M. Notiamo che i campi G(x,y):=(y,r(x,y)+γ(x,y)) e F(t,x,y):=(0,ϕ(t,x,y)) sono tangenti a TM cosicché (3) rientra in effetti nel caso (1).
Quest'attività, iniziata nella mia tesi di dottorato [53], ha permesso di determinare una formula per determinare a priori l'indice di punto fisso dell'operatore di traslazione lungo le traiettorie associato ad un'equazione differenziale autonoma definita su una varietà differenziabile. Infatti, sebbene l'indice di tale operatore sia spesso ben definito, la sua utilità verrebbe meno se per calcolarlo ci fosse bisogno di conoscere le soluzioni dell'equazione. Tuttavia, è stato possibile estendere al caso delle varietà differenziabili una formula, dedotta in Rn usando la teoria del grado di coincidenza da A. Capietto, J. Mawhin e F. Zanolin [14], che lega l'indice di punto fisso dell'operatore di traslazione con il grado (detto anche rotazione, o caratteristica) del campo vettoriale che definisce l'equazione [35]. Questa formula, che non è ottenibile direttamente dalla proprietà di invarianza per omotopia dell'indice, è correlata con un noto risultato di Krasnosel'skii [40].
Nell'ipotesi in cui sia ben definito l'operatore di traslazione PλT lungo le traiettorie di (1) su un aperto U⊆M, si ha che
ind(PλT,U)=deg(-g,U), (4)
ogni volta che questa formula ha senso 1 e per λ≥0 sufficientemente piccolo. Qui " ind(PλT,U)" e " deg(-g,U)" rappresentano rispettivamente l'indice di punto fisso di PλT in U e il grado del campo vettoriale -g in U (noto anche come rotazione o caratteristica). Si osservi, inoltre, che dato un aperto W di TM si ha la seguente relazione per il campo di secondo ordine G definito sopra:
deg(G,W)=deg(-γ|M,W0), (5)
in cui γ|M:M→Rk è data da γ|M(x):=γ(x,0) e W0={p∈M:(p,0)∈W} cioè, in pratica, W0=W∩M0 essendo M0 la sezione nulla di TM. La formula (5) risulta utile, in connessione con la (4) per studiare i problemi di secondo ordine.
La conoscenza di questa formula per l'indice di punto fisso dell'operatore di traslazione ha permesso di dedurre alcune proprietà dell'insieme delle soluzioni periodiche di una perturbazione periodica di un'equazione differenziale autonoma. Notiamo che poiché la formula (4) dipende dalla teoria del grado di un campo vettoriale, essa non è applicabile al caso "estremo" in cui il campo perturbato -g è identicamente nullo (infatti, in questo caso, -g non risulta ammissibile). Tuttavia, le tecniche sviluppate da M. Furi e M. P. Pera (si veda per esempio [25] nel caso del primo ordine e [26] per le equazioni del secondo ordine) negli anni precedenti per studiare il problema della biforcazione di soluzioni armoniche di EDO periodiche si sono rivelate perfettamente adatte ad essere usate anche in questa situazione, se combinate opportunamente con la formula citata. Un confronto tra queste diverse situazioni è dato nell'articolo espositivo [32].
La più importante delle proprietà studiate è l'esistenza, sotto opportune ipotesi, di un "ramo globale" di soluzioni armoniche di perturbazioni periodiche di equazioni sia del primo ordine [36], che del secondo ordine [38]. Questo tipo di risultati si presta facilmente a qualche generalizzazione. Per esempio in [50] si ammette che la f in (1) sia di Carathéodory, mentre in [51] si considera il caso in cui nella (1) la g è sostituita da un campo T-periodico (lo stesso periodo della f) della forma a(t)k(x) con a:R→R periodica con media non nulla e k:M→Rk tangente a M. Per spiegare più precisamente questi risultati sui rami globali è necessario introdurre un po' di notazione. Sia CT(M) il sottospazio metrico dello spazio di Banach CT(Rk) delle funzioni x, T-periodiche, x:R→Rk, formato dalle funzioni a valori in M. Inoltre è conveniente fare alcune convenzioni. Identificheremo ogni spazio con la sua immagine nel seguente diagramma di inclusioni naturali:

[0,∞)×M→[0,∞)×CT(M)↑↑M→CT(M)

In particolare, identificheremo M con la sua immagine in CT(M) ottenuta associando ad ogni p∈M la mappa ˆp∈CT(M) constantemente uguale a p. Inoltre considereremo M come la fetta {0}×M⊆[0,∞)×M e, similmente, CT(M) come {0}×CT(M). Mediante queste identificazioni, se Ω è un aperto di [0,∞)×CT(M), con Ω∩M possiamo rappresentare l'insieme dei p∈M tali che la coppia (0,ˆp) è in Ω. Se U è un aperto di [0,∞)×M, allora U∩M rappresenta l'aperto {p∈M:(0,p)∈U}. Infine, diremo che un elemento (μ,x)∈[0,∞)×CT(M) è una T-coppia per (1) se x è una soluzione di (1) per λ=μ. Le T-coppie della forma (0,ˆp), per qualche p∈M, sono dette banali.
In essenza, relativamente alle equazioni del primo ordine, si dimostra che dato un aperto Ω⊆[0,∞)×CT(M) tale che

deg(g,Ω∩M)≠0,

allora esiste un connesso Γ⊆Ω di T-coppie non banali di (1) la cui chiusura in Ω non è compatta ed incontra g-1(0)∩Ω.
Nel caso delle equazioni del secondo ordine, si dimostra un risultato simile. In sostanza, con la naturale interpretazione di simboli e termini e con immersioni simili a quelle fatte per le equazioni del primo ordine (si veda il diagramma commutativo sotto),
disegno.png
si dimostra che dato un aperto Ω⊆[0,∞)×C1T(M) tale che

deg(γ|M,Ω∩M)≠0,

allora esiste un connesso Γ⊆Ω di T-coppie non banali di (2) la cui chiusura in Ω non è compatta ed incontra γ|-1M(0)∩Ω.
Risultati simili, nel caso di perturbazioni del campo nullo erano stati ottenuti in precedenza da M. Furi e M. P. Pera ma non è possibile, in generale, dedurre i loro risultati da quelli sopra citati e viceversa. Infatti, mentre i risultati descritti sopra dipendono dal grado di g, quelli di Furi e Pera, validi per g(x)≡0, sfruttano il grado del campo medio

wf(x)=1T∫T0f(t,x) dt.

Un primo passo in direzione dell'unificazione tra questi risultati è stato fatto in [52] per le equazioni del primo ordine. L'idea è di considerare una varietà prodotto M×N, M⊆Rk e N⊆Rs, e su questa studiare equazioni accoppiate della forma

{·x=g(x,y)+λh(t,x,y),·y=λf(t,x,y),      λ≥0.

dove g:M×N→Rk e h:R×M×N→Rk sono tangenti ad M, f:R×M×N→Rs è tangente ad N e f,h sono T-periodiche in t. Il campo vettoriale il cui grado è utile studiare in questo caso è, forse non sorprendentemente,

(x,y)→(g(x,y),1T∫T0f(t,x,y) dt).

In [44] si affronta lo studio analogo per le equazioni del secondo ordine.

Una delle conseguenze più significative dell'esistenza dei rami globali di soluzioni armoniche si ha combinando questo fatto con un'analisi "locale" dell'insieme delle soluzioni periodiche: in questo modo si ottengono risultati di molteplicità di soluzioni forzate per piccole perturbazioni di campi autonomi, [28], [29], [30]. In [37], in particolare, si dimostra che un pendolo sferico (con o senza attrito) sottoposto all'azione di un campo tipo-gravitazionale ed ad una forza T-periodica di intensità sufficientemente piccola ammette sempre almeno due soluzioni di periodo T.
Dello stesso filone di ricerca fa parte lo studio della genericità delle equazioni che presentano molteplicità di soluzioni armoniche [42], [43].
Le tecniche ed i risultati accennati sopra sono stati applicati a particolari equazioni algebro-differenziali (si veda [41] per una discussione generale). In particolare si provano teoremi sui rami di T-coppie per perturbazioni T-periodiche di equazioni algebro-differenziali semi esplicite della forma:
{·x=f(x,y)+λh(t,x,y),   λ≥0,g(x,y)=0 (6)
dove, dato un aperto connesso U⊆Rk×Rs, le funzioni f:U→Rk e h:R×U→Rk sono continue, con h che è T-periodica in t, e g:U→Rs è C∞ con la derivata parziale rispetto alla seconda variabile, ∂2g(x,y), non singolare per ogni (x,y)∈U. 2 In questa situazione, l'equazione (6) è equivalente alla seguente ODE su M

·ξ=Ψ(ξ)+λϒ(t,ξ)

con ξ=(x,y)∈M=g-1(0) e
Ψ(x,y)=(f(x,y),-[∂2g(x,y)]-1∂1g(x,y)f(x,y)),ϒ(t,x,y)=(h(t,x,y),-[∂2g(x,y)]-1∂1g(x,y)h(t,x,y)).

Posto F:(x,y)→(f(x,y),g(x,y)), si dimostra, [54], che dato un aperto W⊆Rk×Rs
|deg(Ψ,W∩M)|=|deg(F,W∩U)| (7)
ogni volta che questa formula ha senso. Se ne deducono risultati analoghi a quelli per l'equazione (1). Dalla (7) si possono dedurre dei risultati riguardanti equazioni del tipo (1) su varietà definite implicitamente da una funzione [12]. Similmente si può procedere per equazioni del secondo ordine ([13]).
Perturbazioni con ritardo o funzionali ritardate. Un'analisi simile (ma più sofisticata) può essere condotta anche ammettendo che il campo vettoriale perturbante dipenda dalla "storia" della soluzione. Risultati simili a quelli accennati sopra per l'equazione (1) su M⊆Rk.
In [34], ispirandosi a [3], si considerano equazioni della forma
·x(t)=g(x(t))+λf(t,x(t),x(t-1)),   λ≥0,

con f e g tangenti ad una varietà M in un senso ovvio. Questo lavoro a condotto naturalmente a risultati per una classe di equazioni algebro-differenziali ([5,6,7]).
Più in generale, prendendo l'ispirazione da [4], in [27] si ammette che la perturbazione possa dipendere dall'intera storia della soluzione. Cioè, si considerano equazioni della forma
·x(t)=g(x(t))+λf(t,xt),   λ≥0,

con g un campo vettoriale tangente e f:R×BU((-∞,0],M)→Rk è tale che f(t,ϕ)∈Tϕ(0)M per ogni (t,ϕ)∈BU((-∞,0],M)→Rk.
Approccio astratto ai metodi topologici. Da un punto di vista più astratto, mi sono occupato del trattamento assiomatico dell'indice di punto fisso nello spirito di [2]. Si dimostra che per determinare univocamente l'indice di punto fisso nell'ambito delle varietà differenziabili sono sufficienti soltanto tre assiomi [31] (la versione classica del teorema di unicità negli ANR ne richiede quattro, si veda per esempio [11], [23]). Un risultato simile è stato ottenuto per il grado di un campo vettoriale tangente [33].
Sempre nell'ambito dei metodi topologici ho collaborato allo sviluppo di un metodo per determinare se una famiglia ad un parametro di operatori di Fredholm di indice 0 ammetta un salto di segno [10]. Più precisamente, dati due spazi di Banach E e G ed una famiglia {Fλ}λ∈R di operatori Fλ:E→G di Fredholm di indice 0 tali che Fλ è un isomorfismo per λ≠0, il segno di Fλ (dato da deg(Fλ,E,0)=±1) risulta ben definito per ogni λ≠0. Nel lavoro citato abbiamo proposto un criterio per determinare se tale segno cambia quando λ attraversa lo 0. Tra le possibili applicazioni, vi sono risultati di esistenza di soluzioni non banali di equazioni funzionali e teoremi di biforcazione.
Struttura degli insiemi di controllo. Mi sono anche dedicato ad alcuni problemi legati alla teoria del controllo. In particolare mi sono interessato alle proprietà qualitative degli insiemi massimali (locali e globali) di controllabilità per sistemi (soprattutto non lineari) con controlli aventi rango ristretto [15]. In questo campo, usando metodi ed idee presi dalla topologia abbiamo affrontato questioni di esistenza ed unicità [22], [20]. La costruzione usata in questi lavori ha ispirato in [21] e [16] i metodi proposti per associare un semigruppo ad un insieme di controllo locale in modo che questo ne rifletta la dinamica interna. La costruzione di tale semigruppo ricorda quella del gruppo fondamentale in topologia algebrica. Infatti, in [19] è stato dimostrato un risultato nello spirito del noto Teorema di Seifert-Van Kampen.
Questi studi hanno trovato una naturale applicazione nel campo dei sistemi dinamici [17]. Infatti "immergendo" un sistema dinamico in un opportuno sistema di controllo si riesce a definire un indice associato al primo. L'idea è di considerare il sistema inverso di semigruppi fondamentali che si ottiene al decrescere del range dei controlli ammessi e di prendere il limite inverso di questo sistema. Infatti, si riesce a dimostrare che, almeno in alcuni casi significativi, tale semigruppo limite non dipende dal sistema di controllo in cui è stato immerso il sistema dinamico originale.
Sempre nell'ambito della teoria dei sistemi dinamici, mi sono interessato ai fenomeni di biforcazione nei sistemi dinamici (infinito-dimensionali) associati a sistemi di controllo [18]. In questo contesto si è fatto uso della teoria dell'indice di Conley (si veda per esempio [45]) e della teoria delle Matrici di Connessione di una decomposizione di Morse (R. Franzosa [39]).
Tecniche topologiche in teoria del controllo In collaborazione con L. Poggiolini [46,47,48] ho applicato la teoria del grado topologico ad alcuni problemi di controllo ottimo legati a sistemi bang-bang con switch doppi (che vengono studiati con metodi hamiltoniani ispirati a [1]). In questo contesto la funzione dei metodi topologici è di permettere in modo semplice l'inversione di operatori continui ma non sufficientemente regolari da potere applicare il teorema della funzione implicita. 3 This is especially analyzed in the paper [49].

Riferimenti bibliografici

[1]
Andrei A. Agrachev, Gianna Stefani, and PierLuigi Zezza. Strong optimality for a bang-bang trajectory. SIAM J. Control Optimization, 41(4):991-1014, 2002.
[2]
Amann H., Weiss S., On the uniqueness of the topological degree, Math. Z. 130 (1973), 37-54.
[3]
Pierluigi Benevieri, Alessandro Calamai, Massimo Furi, Maria Patrizia Pera, Global branches of periodic solutions for forced delay differential equations on compact manifolds, J. Differential Equations 233 (2007), 404-416.
[4]
Pierluigi Benevieri, Alessandro Calamai, Massimo Furi, Maria Patrizia Pera, A continuation result for forced oscillations of constrained motion problems with infinite delay. Submitted.
[5]
Luca Bisconti, Marco Spadini, On a class of differential-algebraic equations with infinite delay. E. J. Qualitative Theory of Diff. Equ., No. 81 (2011), pp. 1-21.
[6]
Luca Bisconti, Marco Spadini, Corrigendum to On a class of differential-algebraic equations with infinite delay. E. J. Qualitative Theory of Diff. Equ., No. 97 (2012), pp. 1-5.
[7]
Luca Bisconti, Marco Spadini, Periodic perturbations with delay of separated variables differential equations. Preprint.
[8]
Pierluigi Benevieri, Massimo Furi, Maria Patrizia Pera, Marco Spadini, Degree Theory and Applications. Monografia scientifica in corso di stesura.
[9]
Pierluigi Benevieri, Massimo Furi, Maria Patrizia Pera, Marco Spadini An introduction to topological degree in Euclidean spaces, Università di Firenze, Dipartimento di Matematica Applicata, memoria n. 42, Gennaio 2003.
[10]
Pierluigi Benevieri, Massimo Furi, Maria Patrizia Pera, Marco Spadini, About the sign of oriented Fredholm operators between Banach spaces. Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen 22 (2003) n.3, 619-654.
[11]
Brown R.F., An elementary proof of the uniqueness of the fixed point index, Pacific J. Math. 35 (1970), 549-558.
[12]
Alessandro Calamai, Marco Spadini Branches of forced oscillations for a class of constrained ODEs: a topological approach. NoDEA, 19, No. 4, 383-399 (2012)
[13]
Alessandro Calamai, Marco Spadini Periodic perturbations of constrained motion problems on a class of implicitly defined manifolds. arXiv:1304.6114.
[14]
Anna Capietto, Jean Mawhin, Fabio Zanolin, Continuation theorems for periodic perturbations of autonomous systems. Trans. Amer. Math. Soc. 329 (1992), 41-72.
[15]
Fritz Colonius, Wolfgang Kliemann, The Dynamics of Control, Birkhäuser, 2000.
[16]
Fritz Colonius Marco Spadini, Uniqueness of local Control Sets. Journal of Dynamical and Control systems 9 (2003) n.4, 513-530.
[17]
Fritz Colonius, Marco Spadini, Fundamental semigroups for dynamical systems. Discrete and Continuous Dynamical Systems 14 (2006), 447-463.
[18]
Fritz Colonius, Roberta Fabbri, Russell Johnson, Marco Spadini, Bifurcation phenomena in control flows; Topol. Methods Nonlin. Anal., 30, 2007, pp. 87-111.
[19]
Fritz Colonius, Luiz San Martin, Marco Spadini, Fundamental semigroups for local control sets. Annali di Matematica pura ed Applicata (4) 185 (2006), suppl., S69-S91.
[20]
Fritz Colonius, Marco Spadini, Uniqueness of Control Sets for Perturbations of Linear Systems. "Stability and Stabilization of Nonlinear System", D. Aeyels, F. Lamnabhi-Lagarrigue, A. J. van der Schaft, Eds.; Lectures Notes in Control and Information Sciences, n.246, Springer Verlag, 1999.
[21]
Fritz Colonius, Marco Spadini, On the classification of control sets. "Dynamics, Bifurcation and Control", F. Colonius, L. Grüne eds., Lecture notes in Control and Information Sciences, n.273, Springer-Verlag 2002.
[22]
Fritz Colonius, Marco Spadini, A dynamic Index for control sets. Nonlinear Analysis and Applications: To V. Lakshmikantham on his 80th birthday, Vol. 1, R. P. Agarwal, D. O'Regan Eds., Kluwer Academic Publishers, Dordrecht; Boston (2003).
[23]
Dugundji J., Granas A., Fixed Point Theory, Springer-Verlag, New York, 2003.
[24]
Massimo Furi, Second order differential equations on manifolds and forced oscillations (notes by M. Spadini). Topological methods in differential equations and inclusions A. Granas and M. Frigon Eds., Kluwer Acad. Publ. series C., vol. 472, 1995.
[25]
M. Furi, M. P. Pera, A continuation principle for forced oscillation on differentiable manifold, Pacific J. Math. 121 (1986), 321-338.
[26]
Furi M., Pera M. P., A Continuation Principle for periodic solutions of forced motion equations on manifolds and applications to bifurcation theory, Pacific J. of Math., 160(1993), 219-244.
[27]
Massimo Furi, Maria Patrizia Pera, Marco Spadini, Periodic solutions of retarded functional perturbations of autonomous differential equations on manifolds. Comm. Appl. Analysis 15, 381-394 (2011).
[28]
Massimo Furi, Maria Patrizia Pera, Marco Spadini, Forced oscillations on manifolds and multiplicity results for periodically perturbed autonomous systems. Journal of computational and applied mathematics, 113 (2000), 241-254.
[29]
Massimo Furi, Maria Patrizia Pera, Marco Spadini, Multiplicity of forced oscillations on manifolds and applications to motion problems with one-dimensional constraints. Set-Valued Analysis 9 (2001), 67-73.
[30]
Massimo Furi, Maria Patrizia Pera, Marco Spadini, Multiplicity of forced oscillations for scalar differential equations. Electron. Journal of Diff. Eqns., 2001 (2001), n.36, 1-9.
[31]
Massimo Furi, Maria Patrizia Pera, Marco Spadini, On the uniqueness of the fixed point index on differentiable manifolds. Fixed point theory and applications (2004) n.4 251-259.
[32]
Massimo Furi, Maria Patrizia Pera, Marco Spadini, The fixed point index of the Poincaré translation operator on differentiable manifolds. Handbook of topological fixed point theory, R.F. Brown, M. Furi, L. Górniewicz, and B. Jiang Editors, Springer-Verlag, The Netherlands, 2005.
[33]
Massimo Furi, Maria Patrizia Pera, Marco Spadini, A set of axioms for the degree of a tangent vector field on differentiable manifolds. Fixed Point Theory Appl. 1-11 (2010).
[34]
Massimo Furi, Marco Spadini, Periodic perturbations with delay of autonomous differential equations on manifolds. Advanced Nonlinear Studies, 9 (2009), no. 2, 263-276.
[35]
Massimo Furi, Marco Spadini, On the Fixed Point Index of the Flow and Applications to Periodic Solutions of Differential Equations on Manifolds. Bollettino U.M.I. vol. X-A N.2 (1996), 333-346.
[36]
Massimo Furi, Marco Spadini, On the set of harmonic solutions of periodically perturbed autonomous differential equations on manifolds. Nonlinear Analysis tma 29 (1997), 963-970.
[37]
Massimo Furi, Marco Spadini, Multiplicity of forced oscillations for the spherical pendulum. Topological methods in nonlinear analysis 11 n. 1 (1998), 147-157.
[38]
Massimo Furi, Marco Spadini, Branches of forced oscillations for periodically perturbed autonomous second order ODEs on manifolds. Journal of Differential Equations, 154 (1999), 96-106.
[39]
R. Franzosa, The connection matrix theory for Morse decompositions, Trans. Amer. Math. Soc. 311 (1989), 561-592
[40]
M. A. Krasnosel'skii, Translation Along Trajectories of Differential Equations, Transl. Math. Monographs vol. 19, Amer. Math. Soc. Providence, R. I. 1968.
[41]
P. Kunkel, V. Mehrmann, Differential Algebraic Equations, analysis and numerical solutions, EMS textbooks in Math., European Mathematical Society, Zürich 2006.
[42]
Marta Lewicka, Marco Spadini, On the genericity of the multiplicity results for forced oscillations on compact manifolds. NoDEA, 6 n.4 (1999), 357-369.
[43]
Marta Lewicka, Marco Spadini, A remark on the genericity of the multiplicity results for forced oscillations on manifolds. Annali di Matematica Pura ed Applicata 181 (2002), 85-94.
[44]
Marta Lewicka, Marco Spadini, Branches of forced oscillations in degenerate systems of second order ODEs. Nonlinear Analysis, 68 (2008) 2623-2628.
[45]
K. Mischaikow, Six lectures on Conley index theory. In Dynamical Systems (CIME summer school 1994), R.  Johnson editor, Lecture notes in Math. vol. 1609, pp.119-207, Springer-Verlag, Berlin, 1995.
[46]
Laura Poggiolini, Marco Spadini, Sufficient optimality conditions for a bang-bang trajectory in a Bolza Problem. In Mathematical Control Theory and Finance, A. Sarychev, A. Shiryaev, M. Guerra, M. R. Grossinho Editors, Springer 2008.
[47]
Laura Poggiolini, Marco Spadini, Bang—bang trajectories with a double switching time: sufficient strong local optimality conditions. arXiv:1010.1149
[48]
Laura Poggiolini, Marco Spadini, Strong local optimality for a bang—bang trajectory in a Mayer problem. SIAM J. Control Optim., Vol. 49, No. 1, 140-161 (2011)
[49]
Laura Poggiolini, Marco Spadini, Local inversion of planar maps with nice nondifferentiability structure. Adv. Nonlin. Studies, 13 n. 2 (2013), pp. 411-430
[50]
Marco Spadini, Harmonic solutions of periodic Carathéodory perturbations of autonomous ODEs on manifolds - Nonlinear Analysis tma, 41a (2000), 477-487.
[51]
Marco Spadini, Harmonic solutions to perturbations of periodic separated variables ODEs on manifolds, Electronic Journal of Differential Equations 2003 (2003) n.88, 1-11.
[52]
Marco Spadini, Branches of harmonic solutions to periodically perturbed coupled differential equations on manifolds. Discrete Contin. Dyn. Syst. 15 (2006), no. 3, 951-964.
[53]
Marco Spadini, Perturbazioni periodiche di equazioni differenziali ordinarie su varietà differenziabili. Tesi di Dottorato. Università di Firenze, 1997.
[54]
Marco Spadini, A note on topological methods for a class of Differential-Algebraic Equations. Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., Ser. A, Theory Methods 73, No. 4, 1065-1076 (2010).

Footnotes:

1Cioè ogni volta che sono definiti entrambi i membri dell'identità. In questo caso basta sia definito uno dei membri perché lo sia anche l'altro.
2Notiamo che questa proprietà non garantisce che l'equazione possa essere disaccoppiata globalmente. Nei fatti, anche quando una tale operazione è teoricamente possibile, non è detto che farlo sia conveniente o praticabile.
3C'è da notare che le ipotesi del teorema della funzione inversa di Clarke, che pure risulta applicabile in alcuni sottocasi, sembrano difficili da verificare in generale.

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On 11 May 2013, 09:03.