This document attempts the use of MathML if the browser
supports it, otherwise tries to render the mathematics with MathJax -- in this case
please be patient while fonts are being loaded.
Relazione con la teoria dei sistemi dinamici, [17], [18].
Applicazione di metodi topologici a problemi di controllo ottimo.
Sistemi bang-bang con switch doppi, [46,47,48] e [49].
Descrizione
La mia attività di ricerca riguarda principalmente i metodi topologici in analisi, con
particolare riguardo per le equazioni differenziali ordinarie su varietà
differenziabili, e alcuni aspetti della teoria del controllo.
Soluzioni armoniche di perturbazioni periodiche. Il tema principale
affrontato in quest'ambito è l'uso dell'indice di punto fisso dell'operatore di
traslazione di Poincaré per lo studio dell'insieme delle soluzioni armoniche di una
perturbazione periodica di un'equazione differenziale autonoma, sia del primo che del
secondo ordine, su una varietà differenziabile.
Più precisamente, data una
varietà differenziabile
e campi vettoriali
e
tangenti a a
(cioè con la proprietà che
e
per ogni
), si studia l'equazione
Inoltre, se
denota il fibrato tangente ad
e
e
sono tangenti ad
nel senso che
e
per ogni
, si considerano equazioni del secondo ordine della forma
Qui, se
è una funzione
a valori in
,
rappresenta la
proiezione ortogonale su
dell'accelerazione
. È da notare
che, si veda per esempio [24], la (2) può essere scritta come una
equazione del primo ordine sul fibrato tangente come segue
per
. Qui
rappresenta la reazione vincolare della varietà
.
Notiamo che i campi
e
sono tangenti a
cosicché (3)
rientra in effetti nel caso (1).
Quest'attività, iniziata nella
mia tesi di dottorato [53], ha permesso di determinare una formula per determinare
a priori l'indice di punto fisso dell'operatore di traslazione lungo le traiettorie
associato ad un'equazione differenziale autonoma definita su una varietà differenziabile.
Infatti, sebbene l'indice di tale operatore sia spesso ben definito, la sua utilità
verrebbe meno se per calcolarlo ci fosse bisogno di conoscere le soluzioni dell'equazione.
Tuttavia, è stato possibile estendere al caso delle varietà differenziabili una formula,
dedotta in
usando la teoria del grado di coincidenza da A. Capietto, J. Mawhin e
F. Zanolin [14], che lega l'indice di punto fisso dell'operatore di traslazione con
il grado (detto anche rotazione, o caratteristica) del campo vettoriale che definisce
l'equazione [35]. Questa formula, che non è ottenibile direttamente dalla
proprietà di invarianza per omotopia dell'indice, è correlata con un noto risultato di
Krasnosel'skii [40].
Nell'ipotesi in cui sia ben definito l'operatore di traslazione
lungo le
traiettorie di (1) su un aperto
, si ha che
ogni volta che questa formula ha senso e per
sufficientemente piccolo.
Qui "
" e "
" rappresentano rispettivamente
l'indice di punto fisso di
in
e il grado del campo vettoriale
in
(noto anche come rotazione o caratteristica). Si osservi, inoltre, che dato
un aperto
di
si ha la seguente relazione per il campo di secondo ordine
definito sopra:
in cui
è data da
e
cioè, in pratica,
essendo
la sezione nulla
di
. La formula (5) risulta utile, in connessione con la (4)
per studiare i problemi di secondo ordine.
La conoscenza di questa formula per l'indice di punto fisso dell'operatore di traslazione
ha permesso di dedurre alcune proprietà dell'insieme delle soluzioni periodiche di una
perturbazione periodica di un'equazione differenziale autonoma. Notiamo che poiché la
formula (4) dipende dalla teoria del grado di un campo vettoriale, essa non è
applicabile al caso "estremo" in cui il campo perturbato
è identicamente nullo
(infatti, in questo caso,
non risulta ammissibile). Tuttavia, le tecniche
sviluppate da M. Furi e M. P. Pera (si veda per esempio [25] nel caso del primo ordine
e [26] per le equazioni del secondo ordine) negli anni
precedenti per studiare il problema della biforcazione di soluzioni armoniche di EDO
periodiche si sono rivelate perfettamente adatte ad essere usate anche in questa
situazione, se combinate opportunamente con la formula citata. Un confronto tra queste
diverse situazioni è dato nell'articolo espositivo [32].
La più importante delle proprietà studiate è l'esistenza, sotto opportune ipotesi,
di un "ramo globale" di soluzioni armoniche di perturbazioni periodiche di equazioni sia
del primo ordine [36], che del secondo ordine [38].
Questo tipo di risultati si presta facilmente a qualche generalizzazione. Per esempio
in [50] si ammette che la
in (1) sia di Carathéodory, mentre in [51]
si considera il caso in cui nella (1) la
è sostituita da un campo
-periodico
(lo stesso periodo della
) della forma
con
periodica con media non
nulla e
tangente a
.
Per spiegare più precisamente questi risultati sui rami globali è necessario introdurre un
po' di notazione. Sia
il sottospazio metrico dello spazio di Banach
delle funzioni
,
-periodiche,
, formato dalle funzioni a valori in
.
Inoltre è conveniente fare alcune convenzioni. Identificheremo ogni spazio con la
sua immagine nel seguente diagramma di inclusioni naturali:
In particolare, identificheremo
con la sua immagine in
ottenuta associando
ad ogni
la mappa
constantemente uguale a
. Inoltre
considereremo
come la fetta
e,
similmente,
come
. Mediante queste
identificazioni, se
è un aperto di
, con
possiamo rappresentare l'insieme dei
tali che la coppia
è in
. Se
è un aperto di
, allora
rappresenta l'aperto
. Infine, diremo che un
elemento
è una
-coppia per (1)
se
è una soluzione di (1) per
. Le
-coppie della forma
, per qualche
, sono dette banali.
In essenza, relativamente alle equazioni del primo ordine, si dimostra che dato un aperto
tale che
allora esiste un connesso
di
-coppie non banali di (1)
la cui chiusura in
non è compatta ed incontra
.
Nel caso delle equazioni del secondo ordine, si dimostra un risultato simile. In sostanza,
con la naturale interpretazione di simboli e termini e con immersioni simili a quelle fatte
per le equazioni del primo ordine (si veda il diagramma commutativo sotto),
si dimostra che dato un aperto
tale che
allora esiste un connesso
di
-coppie non banali di (2)
la cui chiusura in
non è compatta ed incontra
.
Risultati simili, nel caso di perturbazioni del campo nullo erano stati ottenuti in
precedenza da M. Furi e M. P. Pera ma non è possibile, in generale, dedurre i loro
risultati da quelli sopra citati e viceversa. Infatti, mentre i risultati descritti sopra
dipendono dal grado di
, quelli di Furi e Pera, validi per
, sfruttano il
grado del campo medio
Un primo passo in direzione dell'unificazione tra questi risultati è stato fatto in
[52] per le equazioni del primo ordine. L'idea è di considerare una varietà prodotto
,
e
, e su questa studiare equazioni accoppiate
della forma
dove
e
sono tangenti ad
,
è tangente ad
e
sono
-periodiche in
. Il campo
vettoriale il cui grado è utile studiare in questo caso è, forse non sorprendentemente,
In [44] si affronta lo studio analogo per le equazioni del secondo ordine.
Una delle conseguenze più significative dell'esistenza dei rami globali di soluzioni
armoniche si ha combinando questo fatto con un'analisi "locale" dell'insieme delle
soluzioni periodiche: in questo modo si ottengono risultati di molteplicità di soluzioni
forzate per piccole perturbazioni di campi autonomi, [28], [29], [30].
In [37], in particolare, si dimostra che un pendolo sferico (con o senza attrito) sottoposto
all'azione di un campo tipo-gravitazionale ed ad una forza
-periodica di intensità
sufficientemente piccola ammette sempre almeno due soluzioni di periodo
.
Dello stesso filone di ricerca fa parte lo studio della
genericità delle equazioni che presentano molteplicità di soluzioni armoniche
[42], [43].
Le tecniche ed i risultati accennati sopra sono stati applicati a particolari equazioni
algebro-differenziali (si veda [41] per una discussione generale). In particolare si
provano teoremi sui rami di
-coppie per perturbazioni
-periodiche di equazioni
algebro-differenziali semi esplicite della forma:
dove, dato un aperto connesso
, le funzioni
e
sono continue, con
che è
-periodica in
, e
è
con la derivata parziale rispetto alla seconda variabile,
,
non singolare per ogni
.
In questa situazione, l'equazione (6) è equivalente alla seguente ODE su
ogni volta che questa formula ha senso. Se ne deducono risultati analoghi a quelli per l'equazione
(1).
Dalla (7) si possono dedurre dei risultati riguardanti equazioni del tipo
(1) su varietà definite implicitamente da una funzione [12]. Similmente si
può procedere per equazioni del secondo ordine ([13]).
Perturbazioni con ritardo o funzionali ritardate.
Un'analisi simile (ma più sofisticata) può essere condotta anche ammettendo che il campo
vettoriale perturbante dipenda dalla "storia" della soluzione. Risultati simili a quelli
accennati sopra per l'equazione (1) su
.
In [34], ispirandosi a [3], si considerano equazioni della forma
con
e
tangenti ad una varietà
in un senso ovvio. Questo lavoro a condotto
naturalmente a risultati per una classe di equazioni algebro-differenziali
([5,6,7]).
Più in generale, prendendo l'ispirazione da [4], in [27] si ammette che
la perturbazione possa dipendere dall'intera storia della soluzione. Cioè, si considerano
equazioni della forma
con
un campo vettoriale tangente e
è tale
che
per ogni
.
Approccio astratto ai metodi topologici. Da un punto di vista più
astratto, mi sono occupato del trattamento assiomatico dell'indice di punto fisso nello spirito
di [2]. Si dimostra che per determinare univocamente l'indice di punto fisso nell'ambito
delle varietà differenziabili sono sufficienti soltanto tre assiomi [31] (la versione
classica del teorema di unicità negli ANR ne richiede quattro, si veda per esempio [11],
[23]). Un risultato simile è stato ottenuto per il grado di un campo vettoriale tangente
[33].
Sempre nell'ambito dei metodi topologici ho collaborato allo sviluppo di un metodo per
determinare se una famiglia ad un parametro di operatori di Fredholm di indice
ammetta un
salto di segno [10]. Più precisamente, dati due spazi di Banach
e
ed
una famiglia
di operatori
di
Fredholm di indice
tali che
è un isomorfismo per
,
il segno di
(dato da
) risulta ben definito
per ogni
. Nel lavoro citato abbiamo proposto un criterio per
determinare se tale segno cambia quando
attraversa lo
. Tra le
possibili applicazioni, vi sono risultati di esistenza di soluzioni non banali
di equazioni funzionali e teoremi di biforcazione.
Struttura degli insiemi di controllo.
Mi sono anche dedicato ad alcuni problemi legati alla teoria del controllo. In particolare mi
sono interessato alle proprietà qualitative degli insiemi massimali (locali e globali) di
controllabilità per sistemi (soprattutto non lineari) con controlli aventi rango ristretto
[15]. In questo campo,
usando metodi ed idee presi dalla topologia abbiamo affrontato questioni di esistenza ed
unicità [22], [20]. La costruzione usata in questi lavori ha ispirato in
[21] e [16] i metodi proposti per associare un semigruppo ad un insieme di
controllo locale in modo che questo ne rifletta la dinamica interna. La costruzione di tale
semigruppo ricorda quella del gruppo fondamentale in topologia algebrica. Infatti, in
[19] è stato dimostrato un risultato nello spirito del noto Teorema di Seifert-Van
Kampen.
Questi studi hanno trovato una naturale applicazione nel campo dei sistemi dinamici
[17]. Infatti "immergendo" un sistema dinamico in un opportuno sistema di
controllo si riesce a definire un indice associato al primo. L'idea è di considerare
il sistema inverso di semigruppi fondamentali che si ottiene al decrescere del range dei
controlli ammessi e di prendere il limite inverso di questo sistema. Infatti, si riesce a
dimostrare che, almeno in alcuni casi significativi, tale semigruppo limite non dipende dal
sistema di controllo in cui è stato immerso il sistema dinamico originale.
Sempre nell'ambito della teoria dei sistemi dinamici, mi sono interessato ai fenomeni di
biforcazione nei sistemi dinamici (infinito-dimensionali) associati a sistemi di controllo
[18]. In questo contesto si è fatto uso della teoria dell'indice di Conley (si
veda per esempio [45])
e della teoria delle Matrici di Connessione di una decomposizione di Morse (R. Franzosa
[39]).
Tecniche topologiche in teoria del controllo
In collaborazione con L. Poggiolini [46,47,48] ho applicato la teoria del grado
topologico ad alcuni problemi di controllo ottimo legati a sistemi bang-bang con switch doppi
(che vengono studiati con metodi hamiltoniani ispirati a [1]). In questo contesto la
funzione dei metodi topologici è di permettere in modo semplice l'inversione di operatori
continui ma non sufficientemente regolari da potere applicare il teorema della funzione
implicita.
This is especially analyzed in the paper [49].
Andrei A. Agrachev, Gianna Stefani, and PierLuigi
Zezza. Strong optimality for a bang-bang trajectory.
SIAM J. Control Optimization, 41(4):991-1014,
2002.
Pierluigi Benevieri, Alessandro Calamai, Massimo Furi, Maria
Patrizia Pera, Global branches of periodic solutions for forced delay
differential equations on compact manifolds, J. Differential Equations
233 (2007), 404-416.
Pierluigi Benevieri, Alessandro Calamai, Massimo Furi, Maria
Patrizia Pera,
A continuation result for forced oscillations of constrained motion problems
with infinite delay. Submitted.
Luca Bisconti, Marco Spadini, On a class of differential-algebraic
equations with infinite delay. E. J. Qualitative Theory of Diff. Equ., No. 81 (2011),
pp. 1-21.
Luca Bisconti, Marco Spadini, Corrigendum to On a class of
differential-algebraic equations with infinite delay. E. J. Qualitative Theory of Diff.
Equ., No. 97 (2012), pp. 1-5.
Pierluigi Benevieri, Massimo Furi, Maria Patrizia Pera,
Marco Spadini An introduction to topological degree in
Euclidean spaces, Università di Firenze, Dipartimento di Matematica
Applicata, memoria n. 42, Gennaio 2003.
Pierluigi Benevieri, Massimo Furi, Maria Patrizia
Pera, Marco Spadini, About the sign of oriented Fredholm
operators between Banach spaces. Zeitschrift für Analysis und ihre
Anwendungen 22 (2003) n.3, 619-654.
Alessandro Calamai, Marco Spadini Branches of forced
oscillations for a class of constrained ODEs: a topological approach. NoDEA,
19, No. 4, 383-399 (2012)
Fritz Colonius, Roberta Fabbri, Russell Johnson, Marco Spadini,
Bifurcation phenomena in control flows; Topol. Methods Nonlin. Anal.,
30, 2007, pp. 87-111.
Fritz Colonius, Luiz San Martin, Marco Spadini,
Fundamental semigroups for local control sets. Annali di Matematica pura ed
Applicata (4) 185 (2006), suppl., S69-S91.
Fritz Colonius, Marco Spadini, Uniqueness of
Control Sets for Perturbations of Linear Systems. "Stability and
Stabilization of Nonlinear System", D. Aeyels, F. Lamnabhi-Lagarrigue,
A. J. van der Schaft, Eds.; Lectures Notes in Control and Information
Sciences, n.246, Springer Verlag, 1999.
Fritz Colonius, Marco Spadini, On the
classification of control sets. "Dynamics, Bifurcation and Control",
F. Colonius, L. Grüne eds., Lecture notes in Control and Information
Sciences, n.273, Springer-Verlag 2002.
Fritz Colonius, Marco Spadini, A dynamic
Index for control sets. Nonlinear Analysis and Applications: To V. Lakshmikantham on his 80th birthday, Vol. 1, R. P. Agarwal, D. O'Regan Eds.,
Kluwer Academic Publishers, Dordrecht; Boston (2003).
Massimo Furi, Second order differential
equations on manifolds and forced oscillations (notes by M. Spadini).
Topological methods in differential equations and inclusions A. Granas
and M. Frigon Eds., Kluwer Acad. Publ. series C., vol. 472, 1995.
Furi M., Pera M. P., A Continuation Principle
for periodic solutions of forced motion equations on manifolds and
applications to bifurcation theory, Pacific J. of Math.,
160(1993), 219-244.
Massimo Furi, Maria Patrizia Pera, Marco Spadini,
Periodic solutions of retarded functional perturbations of autonomous
differential equations on manifolds. Comm. Appl. Analysis 15, 381-394 (2011).
Massimo Furi, Maria Patrizia Pera, Marco Spadini,
Forced oscillations on manifolds and multiplicity results for
periodically perturbed autonomous systems. Journal of computational and
applied mathematics, 113 (2000), 241-254.
Massimo Furi, Maria Patrizia Pera, Marco Spadini,
Multiplicity of forced oscillations on manifolds and
applications to motion problems with one-dimensional constraints.
Set-Valued Analysis 9 (2001), 67-73.
Massimo Furi, Maria Patrizia Pera, Marco Spadini,
Multiplicity of forced oscillations for scalar differential
equations. Electron. Journal of Diff. Eqns., 2001 (2001), n.36,
1-9.
Massimo Furi, Maria Patrizia Pera, Marco Spadini,
On the uniqueness of the fixed point index on differentiable
manifolds. Fixed point theory and applications (2004) n.4 251-259.
Massimo Furi, Maria Patrizia Pera, Marco Spadini,
The fixed point index of the Poincaré translation operator on
differentiable manifolds. Handbook of topological fixed point theory,
R.F. Brown, M. Furi, L. Górniewicz, and B. Jiang Editors,
Springer-Verlag, The Netherlands, 2005.
Massimo Furi, Maria Patrizia Pera, Marco Spadini,
A set of axioms for the degree of a tangent vector field on differentiable
manifolds. Fixed Point Theory Appl. 1-11 (2010).
Massimo Furi, Marco Spadini, On the Fixed
Point Index of the Flow and Applications to Periodic Solutions of
Differential Equations on Manifolds. Bollettino U.M.I. vol. X-A N.2
(1996), 333-346.
Massimo Furi, Marco Spadini, On the set of
harmonic solutions of periodically perturbed autonomous differential
equations on manifolds. Nonlinear Analysis tma 29 (1997),
963-970.
Massimo Furi, Marco Spadini, Multiplicity of
forced oscillations for the spherical pendulum. Topological methods in
nonlinear analysis 11 n. 1 (1998), 147-157.
Massimo Furi, Marco Spadini, Branches of
forced oscillations for periodically perturbed autonomous second order
ODEs on manifolds. Journal of Differential Equations, 154
(1999), 96-106.
M. A. Krasnosel'skii, Translation Along Trajectories of
Differential Equations, Transl. Math. Monographs vol. 19, Amer. Math. Soc. Providence,
R. I. 1968.
P. Kunkel, V. Mehrmann, Differential Algebraic Equations,
analysis and numerical solutions, EMS textbooks in Math., European Mathematical
Society, Zürich 2006.
Marta Lewicka, Marco Spadini, On the
genericity of the multiplicity results for forced oscillations on compact
manifolds. NoDEA, 6 n.4 (1999), 357-369.
Marta Lewicka, Marco Spadini, A remark on
the genericity of the multiplicity results for forced oscillations on
manifolds. Annali di Matematica Pura ed Applicata 181 (2002),
85-94.
K. Mischaikow, Six lectures on Conley index
theory. In Dynamical Systems (CIME summer school 1994), R.
Johnson editor, Lecture notes in Math. vol. 1609, pp.119-207,
Springer-Verlag, Berlin, 1995.
Laura Poggiolini, Marco Spadini, Sufficient optimality
conditions for a bang-bang trajectory in a Bolza Problem. In Mathematical
Control Theory and Finance, A. Sarychev, A. Shiryaev, M. Guerra, M. R. Grossinho
Editors, Springer 2008.
Laura Poggiolini, Marco Spadini, Strong local optimality for a
bang—bang trajectory in a Mayer problem. SIAM J. Control Optim., Vol. 49, No. 1,
140-161 (2011)
Laura Poggiolini, Marco Spadini, Local inversion of planar maps
with nice nondifferentiability structure. Adv. Nonlin. Studies, 13 n. 2 (2013),
pp. 411-430
Marco Spadini, Harmonic solutions of periodic
Carathéodory perturbations of autonomous ODEs on manifolds - Nonlinear
Analysis tma, 41a (2000), 477-487.
Marco Spadini, Harmonic solutions to perturbations
of periodic separated variables ODEs on manifolds, Electronic Journal of
Differential Equations 2003 (2003) n.88, 1-11.
Marco Spadini, Perturbazioni periodiche di equazioni
differenziali ordinarie su varietà differenziabili. Tesi di Dottorato. Università
di Firenze, 1997.
Marco Spadini, A note on topological methods for a class
of Differential-Algebraic Equations. Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., Ser. A,
Theory Methods 73, No. 4, 1065-1076 (2010).
Footnotes:
Cioè ogni volta che sono definiti entrambi
i membri dell'identità. In questo caso basta sia definito uno dei membri perché lo sia
anche l'altro.
Notiamo che questa proprietà non garantisce
che l'equazione possa essere disaccoppiata globalmente. Nei fatti, anche quando una tale
operazione è teoricamente possibile, non è detto che farlo sia conveniente o praticabile.
C'è da notare che le ipotesi del teorema della funzione inversa di Clarke,
che pure risulta applicabile in alcuni sottocasi, sembrano difficili da verificare in generale.
File translated from
TEX
by
TTM Unregistered,
version 4.01. On 11 May 2013, 09:03.