Materiale didattico
- [MP] Giuseppe Modica, Laura Poggiolini Note di Calcolo delle Probabilità. Seconda edizione. Pitagora Editrice.
- [Bre] Pierre Brémaud Probability Theory and Stochastic Processes Springer UTX
- [Pri] Nicolas Privault Understanding Markov Chains. Springer SUMS
- Appunti
Prove scritte
Registro delle lezioni
- 22 settembre 2020 (3 ore) Note
Introduzione al corso. Richiami di probabilità elementare. V.a. e integrazione di v.a.. Lemma di BeppoLevi e teorema di convergenza dominata di Lebesgue.
[MP] - 24 settembre 2020 (3 ore) Note
Ancora richiami: Funzioni di Borel. Integrale e distribuzione. V.a. a distribuzione discreta, vettore delle densità discrete. V.a. a distribuzione a.c., densità. Formula di Cavalieri. Varianza.
Disuguaglianza di Markov e disuguaglianza di Chebychev. (con dimostrazione)
Distribuzione di Bernoulli.
Distribuzione esponenziale. Mancanza di memoria.
Distribuzione uniforme su un intervallo.
V.a. a valori vettoriali. Distribuzione congiunta, distribuzioni marginali. Covarianza.
Eventi indipendenti e v.a. indipendenti. - 29 settembre 2020 (3 ore) Note
Stima del numero di Nepero
Distribuzione di Bernoulli e distribuzione binomiale. V.a. a distribuzione binomiale come somma di v.a. bernoulliane indipendenti.
Convergenze di successioni di v.a.: convergenza in probabilità, in media quadratica e quasi-certa.
Legge debole dei grandi numeri. Legge forte dei grandi numeri (no dim). Applicazioni: stime del numero di Nepero. Metodo Montecarlo per la stima di integrali. Esempio: un metodo per la stima di π
[MP 159-162, 164-165, 174-176] - 1 ottobre 2020 (3 ore) Note
Stima di π mediante la funzione asin
Stima di π mediante l'Area del cerchio
Slides
Esempio: un secondo metodo per la stima di π
Richiami: Convergenza puntuale e convergenza uniforme per successioni di funzioni reali. Successioni estratte.
Convergenza della funzione di ripartizione empirica.
Set d'ipotesi alternative per la legge dei grandi numeri (no dim)
Tempi di attesa e comportamento asintotico.
Metriche, spazi metrici. Esempi di metriche su R2. Definizione di successione convergente e di successione di Cauchy.
[MP 176, 179-180] - 6 ottobre 2020 (2 ore) Note Appunti
Spazio metrico completo. Palle in spazi metrici. Norme. Spazio di Banach. Insiemi convessi. Vettori stocastici con un numero finito di componenti. Compattezza e convessità dell'insieme dei vettori stocastici a dimensione finita. Matrici stocastiche a dimensione finita ed applicazione associata.
[MP Appunti - 189] - 8 ottobre 2020 (3 ore) Note
Vettori e matrici stocastiche indicizzati su un insieme numerabile. Mancanza di compattezza. Processi stocastici a tempo discreto e stati discreti. Matrici di transizione. Processi omogenei. Catene di Markov a tempo discreto e stati discreti. Catene di Markov omogenee e grafi pesati. Costruzione di catene di Markov omogenee con matrice di transizione assegnata.
[MP 190-192, 213-217, Bre 221-224] - 13 ottobre 2020 (3 ore) Lezione su lavagna
Esempi di catene di Markov: passeggiata aleatoria in Z, negozio di riparazioni, modello di diffusione. Stati accessibili e stati comunicanti. HMC irriducibili. Esempi: condizioni di ririducibilità per la passeggiata aleatoria e per il negozio di riparazioni.
Distribuzioni stazionarie. Esempi: distribuzioni stazionarie per HMC a due stati e per il modello di diffusione.
[Bre 224-225, 235, 237-239] - 15 ottobre 2020 (3 ore) Note
Studio dell'accessibilità ed esistenza di distribuzioni stazionarie nel caso finito.
Stopping time. Tempi di ritorno e numero di visite in uno stato. Stati ricorrenti e stati transienti: definizione e caratterizzazione. Stati ricorrenti positivi e ricorrenti nulli.
[MP 194, 201, 203, Bre 242, 245-247] - 20 ottobre 2020 (3 ore) Lezione alla lavagna
Ricorrenza e transienza per la passeggiata aleatoria in Z. Caratteri comunicanti sono entrambi transienti o entrambi ricorrenti. Misura invariante: esistenza; unicità nel caso ricorrente (no dim). Positiva ricorrenza e misura invariante. Positiva ricorrenza e valore atteso dei tempi di ritorno. Positiva ricorrenza delle HMC irriducibili a stati finiti. Indipendenza dei processi prima e dopo uno stopping time
[Bre 250-254, 243-244] - 22 ottobre 2020 (3 ore) Note
Cicli rigenerativi. Teorema ergodico per HMC irriducibili positivamente ricorrenti.
Mappe iterate in spazi metrici. Teorema delle contrazioni e applicazioni a HMC a stati finiti. Matrici stocastiche regolari. Classi chiuse, classe chiuse minimali. Classi minimali e stati ricorrenti.
[Bre 244, 260-261, MP 193-196, 201-207] - 27 ottobre 2020 (3 ore)
Monte Carlo Markov Chain: algoritmo di Metropolis e algoritmo di Barker. Algoritmo page-rank. Esercizi. Processi stocastici a tempo continuo e stati discreti. Matrice di transizione. Caso omogeneo. Processi stocastici continuo da destra e significato per processi a stati discreti
[Bre 273,MP 259-261, 279-280] - 29 ottobre 2020 (3 ore) Note
Spazi probabilizzati completi. Continuità da destra della matrice di transizione. Processi di Poisson omogenei: successione degli eventi, processo di conteggio e successione delle attese. Catene di Markov a tempo continuo. Equazioni di Chapman-Kolmogorov. Il processo di Poisson omogeneo come HMC a tempo continuo. Processi flip-flop.
[Bre 289-290, 299-300, MP 280-284] - 3 novembre 2020 (3 ore) Lezione alla lavagna
Processi flip-flop. Catene di Markov uniformi.
Serie di potenze. Serie di potenze a valori matrice. Matrice esponenziale. Determinazione della forma della matrice di transizione di una HMC a tempo continuo. Q-matrici e stocasticità della matrice esponenziale.
[Bre 300-302, MP 284-286] - 5 novembre 2020 (3 ore) Note
Regolarità della matrice di transizione di una HMC a tempo continuo e sttai finiti. Distribuzioni stazionarie e distribuzione asintotiche.
Stati essenziali e stati permanenti. Tempo di soggiorno e distribuzione del tempo di soggiorno in uno stato essenziale per una HMC a stati finiti.
[MP 286-289, 293-295] - 10 novembre 2020 (3 ore) Note
Note Note
Elementi di statistica descrittiva. Statistica inferenziale: campione statistico, statistica, stimatori. Media e varianza campionaria.
Richiami sulla distribuzione gaussiana
[Appunti coming soon]