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Materiale didattico
- [MP] Giuseppe Modica, Laura Poggiolini Note di Calcolo delle Probabilità. Seconda edizione. Pitagora Editrice.
- [RPP] Alberto Rotondi, Paolo Pedroni, Antonio Pievatolo Probabilità, Statistica e Simulazione. Terza edizione. Springer, collana Unitext
- Esercizi risolti su matrici stocastiche, assegnati negli appelli dell'a.a. 2017-18
- Per le parti del corso non coperte dai due precedenti volumi, appunti relativi saranno scaricabili da questa pagina.
Prove scritte
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La prima prova intermedia è fissata per giovedì 2 maggio, durante l'orario di lezione. È OBBLIGATORIA l'iscrizione (scadenza 29 aprile)
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Testo prima prova intermedia
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Risultati prima prova intermedia
- La seconda prova intermedia è fissata per giovedì 6 giugno, durante l'orario di lezione. È OBBLIGATORIA l'iscrizione (scadenza 3 giugno)
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Risultati prove intermedie e calendario orali
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Risultati prova scritta del primo appello (11 giugno 2019) e calendario orali
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Risultati prova scritta del secondo appello (25 giugno 2019) e calendario orali
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Risultati prova scritta del terzo appello (9 luglio 2019) e calendario orali
Ulteriori prove orali: Billi, Botteri e Cadau 24/07, ore 10:00
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Risultati prova scritta del quarto appello (3 settembre 2019) e calendario orali
Registro delle lezioni
- 26 febbraio 2019 (2 ore) Note
Richiami di proabilità elementare: σ-algebre, misure, probabilità. Proprietà elementari. σ-algebra di Borel. Partizione in eventi. Continuità della misura. Probabilità condizionata. Legge delle probabilità totali e formula di Bayes.
Variabili aleatorie: definizione e condizioni equivalente. Legge di v.a. e sue proprietà. Distribuzione di v.a.
Funzioni semplici e loro integrale.
[MP 43-77] - 28 febbraio 2019 (3 ore) Note
Integrazione rispetto ad una misura di probabilità. Valore atteso. Lemma di Beppo-Levi. Teorema di convergenza dominata di Lebesgue. Valore atteso e distribuzione. Varianza e scarto quadratico medio. Disuguaglianza di Markov e disuguaglianza di Chebychev.
V.a. con distribuzione discreta. V.a. con distribuzione a.c.
Esempi: distribuzione di Bernoulli e distribuzione gaussiana. Legge della gaussiana standard.
V.a. multivariate: distribuzione congiunta e distribuzione marginale. Legge congiunta.
Covarianza e varianza della somma di v.a.
Eventi indipendenti. V.a. indipendenti. Indipendenza e scorrelazione.
Convergenza di successioni di v.a.: convergenza in probabilità, convergenza in media quadratica e convergenza quasi certa.
[MP 78-159] - 5 marzo 2019 (2 ore) Note
Convergenza quasi certa, convergenza in media quadratica e convergenza in probabilità . Legge debole dei grandi numeri (dim) Legge forte dei grandi numeri (no dim).
Applicazioni: metodo Montecarlo, funzione di ripartizione empirica, entropia
[MP 159-178] - 7 marzo 2019 (3 ore) Note
Tempi di attesa (no dim). Convergenza in legge. Teorema centrale del limite (no dim). Teorema di Berry-Esseen (no dim)
Spazi metrici, successioni di Cauchy, spazi metrici completi. Palle, aperti e chiusi in spazi metrici. Spazi normati.
Insiemi convessi. Involucri convessi. Vettori e matrici stocastiche a dimensione finita. Lo spazio elle-piccolo-1.
[MP 179-190, Appunti] - 12 marzo 2019 (2 ore) Note
Prodotto righe per colonne per matrici indicizzate su un insieme numerabile. Matrici stocastiche. Grafi orientati e matrice di incidenza. Grafi pesati e matrice stocastica associata. Stati accessibili da uno stato. Stati comunicanti.
[MP 190-193] - 14 marzo 2019 (3 ore) Note Simulazioni con R
Approssimazioni di π con il metodo Monte Carlo.
Stati comunicanti e loro natura transiente o ricorrente. Classi chiuse. Classi chiuse minimali. Classi chiuse minimali e stati ricorrenti (no dim). Esempi (vedi anche file Simulazioni con R). Mappe iterate in spazi metrici. Loro proprietà. Pozzi e punti fissi. Teorema di Brouwer.
Contrazioni in spazi metrici. Confronto con mappe Lipschitziane e mappe continue.
[MP 193-202] - 19 marzo 2019 (2 ore) Note
Teorema delle contrazioni. Corollario: se una iterata è una contrazione. Teorema di Perron-Frobenius. Matrici irriducibili e matrici regolari. Inviluppo convesso delle righe di una matrice stocastica ed applicazone associata (dim facoltativa)
[MP 202-206] - 21 marzo 2019 (3 ore) Note
Caratterizzazione delle matrici regolari. Il caso numerabile (no dim).
Processi stocastici. Generalità. Processi stocastici a tempo discreto e stati discreti: vettore delle densità e matrice di transizione. Catene di Markov. Definizione. Caratterizzazione (no dim). Distribuzione congiunta in catene di Markov. Catene di Markov omogenee. Esempi: passeggiate aleatorie.
[MP 206-207, 209, 213-218, 220] - 26 marzo 2019 (2 ore) Note
Generazione di catene di Markov omogenee a partire da v.a. i.i.d.. Generazione di catene di Markov omogenee con matrice di transizione assegnata.
Tempo di primo passaggio. Numero di passaggi. Valore atteso del numero di passaggi condizionato dallo stato iniziale.
[MP 220-234] - 28 marzo 2019 (3 ore) Note
Simulazioni con R funzioni per R
Stati ricorrenti e probabilità di infiniti passaggi. Stati transienti e probabilità di infiniti passaggi. Stati positivamente ricorrenti. Passaggi a limite nell'iterata della matrice di transizione. Tempi dei passaggi successivi e tempi di attesa . Proprietà dei tempi di attesa (no dim). Lemmi preparatori alla dimostrazione del teorema ergodico.
[MP 234-236, 240-243, 251-254] - 2 aprile 2019 (2 ore) Note
Teorema ergodico. Catena di Markov omogenea: comportamenti asintotici e tempi medi di ritorno. Il caso S finito con matrice di transizione irriducibile.
Applicazioni. Costruzione di una matrice stocastica regolare con punto fisso assegnato. L'algoritmo pagerank.
[MP 254-261] - 4 aprile 2019 (3 ore) Note Simulazioni con R
L'algoritmo pagerank. Esercizi su catene di Markov a tempo discreto. Processi stocastici a tempo continuo. Processi di Poisson. Spazi probabilizzti completi. Processi stocastici a stati discreti e continui da destra.
[MP 271-280] - 9 aprile 2019 (2 ore) Note
Processi stocastici continui da destra ed intersezioni su insiemi non numerabili. Continuità delle matrici di transizione. Processi di Markov. Equazioni di Chapman-Kolmogorov. Cenni su serie di potenze reali e matriciali. La matrice esponenziale.
[MP 280-284, 297-303] - 11 aprile 2019 (3 ore) Note
Ancora sulla matrice esponenziale. Catene di Markov omogenee: dalle eq. di Chapman-kolomogorov all'esponenziale di Q-matrice. Punti fissi di matrici esponenziale e Q-matrice generatrice. Sulla regolarità delle matrici esponenziali. Comportamento asintotico. costruzione di catene di Markov omogenee con matrice dell'intensità di transizione assegnata. Tempi di soggiorno per processi stocastici. Distribuzione dei tempi di soggiorno per catene di Markov omogenee.
[MP 284-289, 290-295] - 7 maggio 2019 (2 ore) Slides descrittiva -
Note
Popolazioni, individui e caratteri. Classificazione dei caratteri. Modalità e classi di modalità. Frequenza assoluta e frequenza relativa. Moda e valori modali. Mediana, media e varianza campionaria. Deviazione standard. Covarianza. Coefficiente di correlazione. Retta di regressione. Campioni multivariati: analisi delle componenti principali.
Campioni statistici. Statistiche. Stimatori consistenti e stimatori corretti.
[ Appunti vedi inoltre RPP 2.4, 2.8] - 9 maggio 2019 (3 ore) Note
Media e varianza campionaria. La madia campionaria è uno stimatore corretto del valore atteso. Valore atteso della varianza campionaria.
Distribuzione gaussiana e quantili della gaussiana standard. Distribuzioni Gamma. Distribuzione di Pearson a n gradi di libertà. La distribuzione t di Student a n gradi di libertà. Distribuzioni pivotali legate ai campioni gaussiani.
[ Appunti, vedi inoltre RPP 2.10, 2.11, 3.4, 3.9, esercizio 5.5] - 14 maggio 2019 (2 ore) Note
Stimatori di massima verosimiglianza. Esempi. Bias ed erore quadratico medio. Il caso della distribuzione uniforme su un intervallo [0, θ]
[ Appunti ] - 16 maggio 2019 (3 ore)
Seminario del Prof. Vicario
- 21 maggio 2019 (2 ore) Note
Intervalli di confidenza. Intervalli di confidenza bilaterale e unilaterali per il valore atteso di un campione a distribuzione esponenziale, per il valore atteso di un campione gaussiano a varianza nota, per il valore atteso di un campione gaussiano a varianza ignota, per la varianza di un campione gaussiamo.
Principi generali di un test d'ipotesi.
[ Appunti ] - 23 maggio 2019 (3 ore) Slides
Test d'ipotesi per campioni gaussiani. Intervalli di confidenza e test d'ipotesi per il confronto di campioni gaussiani.
[ Appunti ] - 28 maggio 2019 (2 ore) Note
Stimatori di massima verosimiglianza per campioni distribuiti su un insieme finito. Test del chi-quadro per campioni distribuiti su un insieme finito.
[ Appunti ] - 30 maggio 2019 (3 ore) Note
Esercizi
Test di Kolmogorov-Smirnov. Esercizi.
[ Appunti ]