Orario di ricevimento

Su appuntamento, a Santa Marta.

A causa di imprevisti impegni scientifici la prova scritta del 7 settembre è posticipata al 2 ottobre ore 10:30 presso la sede di via Santa Marta. In caso di indisponibilità di aule la prova potrebbe essere spostata e/o posticipata. La data delle prove orali verrà concordata al termine della prova scritta

Materiale didattico

Testo di riferimento: [MP] Giuseppe Modica, Laura Poggiolini Note di Calcolo delle Probabilità. Pitagora Editrice.

Occasionalmente parti del corso potranno essere trattate in modo diverso dal testo. In tal caso appunti relativi saranno scaricabili da questa pagina.

Prove scritte

Registro delle lezioni

1) 3 ottobre 2016 (2 ore) Lezione tenuta dal Prof. Giuseppe Modica
Strutture matematiche per descrivere la casualità: logica probabilistica, uncertainty quantification. Il calcolo delle probabilità è all'interno della logica classica. Problema di de Meré. Risposta di Pascal da cui la probabilità elementare. Limiti dell'approccio di Pascal: non funziona con un dado truccato, o con una popolazione infinta. Altre definizioni storiche: frequentistica e di scommessa. Approcci moderni: classico di Kolmogorov (1930): eventi e misura della loro probabilità e geometrico (von Newman e altri) osservabili e un operatore che associa ad ogni osservabile il corrispondente valore atteso.
Cose importanti in probabilità: indipendenza e sue conseguenze: fenomeno di concentrazione (legge dei grandi numeri) e emergenza di leggi universali (gaussiana).
Probabilità elementare e problemi di conteggio.
Coefficienti binomiali. Binomio di Newton. Formula di Vandermonde. Sottoinsiemi e multiinsiemi di un insieme finito. Mappe tra insiemi finiti. Mappe iniettive. Matrice di Pascal e formula di inversione.
Gioco del lotto: probablità di cinquina, quaterna, terno, ambo. Distribuzione ipergeometrica.
Gioco del Poker: probabilità di scala reale, colore, poker, full, doppia coppia a semi assegnati e liberi

2) 5 ottobre 2016 (2 ore) Lezione tenuta dal Prof. Giuseppe Modica
Perrmutazioni senza punti fissi. Mappe surgettive.
Esercizi alla lavagna: 5.11, 5.12, 5.13, 5.15, 5.17, 5.18, 5.19
Definizione di σ-algebra. Definizione di misura, misura finita e misura di probabilità.

3) 10 ottobre 2016 (2 ore) Appunti
Richiami. Proprietà elementari delle misure di probabilità. Legge delle probabilità totali. Continuità delle misure di probabilità. Esempi: massa di Dirac.
[MP 44-49]

4) 12 ottobre 2016 (2 ore) Appunti --- Esercizi: foglio 1
Probabilità su insiemi finiti. Probabilità uniforme su insiemi finiti. Probabilità su insiemi numerabili.
Eventi quasi-impossibili (o trascurabili). Proprietà che valgono quasi-certamente (o quasi ovunque). Completamento di una σ-algebra ed estensione di una misura (dim per esercizio)
Anelli, funzioni additive, σ-additive e σ-subadditive su anelli. Teorema di Carathéodory (Enunciato)
[MP 50-51, ADM 2-11]

5) 17 ottobre 2016 (2 ore) Appunti
Teorema di Carathéodory (dimostrazione dell'esistenza). Esercizi 1 e 2 del foglio 1 di esercizi.
[ADM 11-14]

6) 19 ottobre 2016 (2 ore) Appunti
Traccia della dimostrazione dell'unicità estensione: π-sistemi, sistemi di Dynkin. Teorema di Dynkin (no dim), criterio di coincidenza (no dim).
Esercizi 3, 4, 6, 8 e 11 del foglio 1 di esercizi.
n-intervalli e σ-algebra di Borel. Probabilità uniforme su un intervallo.
Probabilità condizionata: introduzione e definizione.
[ADM 9-11, 14-16, MP 52, 57-58]

7) 24 Ottobre 2016 (2 ore) Appunti --- Esercizi: foglio 2
Legge delle probabilità totali. Formula di Bayes. Coppie, famiglie finite e famiglie numerabili di eventi indipendenti. Sistemi in serie ed in parallelo.
V.a. Definizione e condizioni equivalenti.
[MP 57-59, 139-141, 73-74]

8) 26 Ottobre 2016 (2 ore) Appunti
Ancora su condizioni equivalenti per v.a. Legge di v.a. e sue proprietà. Esempio: somma ottenuta nel lancio di due dadi, numero di successi nel lancio iterato di una moneta. Distribuzione. σ-algebra rilevata da una variabile aleatoria a valori in R. V.a. discrete. V.a. con distribuzione assolutamente continua.
[MP 74-77, 79-80]

9) 2 novembre 2016 (2 ore) Appunti
Esempio di v.a. la cui distribuzione non è né discreta né a.c.
Integrazione rispetto ad una misura: integrale di funzioni semplici; integrale di funzione misurabile non-negativa. Lemma di campionamento (no dim) e lemma di Beppo-Levi (no dim). Parte positiva e parte negativa di una funzione misurabile. Funzioni integrabili e funzioni sommabili.
Teorema di convergenza dominata di Lebesgue (no dim). Funzioni di Borel. Composizione di v.a. e funzioni di Borel. Integrale della composizione mediante la distribuzione. Calcolo del valore atteso mediante la distribuzione.
Calcolo del valore atteso di v.a. discrete.
[MP 77-79, 81-82, 318-321]

10) 4 novembre 2016 (2 ore) Appunti --- Esercizi: foglio 3
Calcolo del valore atteso di v.a. con distribuzione assolutamente continua. Formula di composizione. Formula di Cavalieri. Esercizi.
[MP 84-85, 90, 322]

11) 7 novembre 2016 (2 ore) Appunti
Varianza. Disuguaglianza di Markov. Disuguaglianza di Chebichev. Mediana.
Distribuzioni discrete: delta di Dirac, distribuzione di Bernoulli, distribuzione binomiale. Distribuzione di Poisson.
[MP 86-88, 95-99, 104-105]

12) 9 novembre 2016 (2 ore) Appunti --- Esercizi: foglio 4
Distribuzione geometrica. Mancanza di memoria. Modellizzazione di infinite prove di Bernoulli. Distribuzione geometrica modificata. Distribuzione ipergeometrica.
[MP 100-101, 107-108]

13) 11 novembre 2016 (2 ore) Appunti
Ancora sulla distribuzione ipergeometrica. Distribuzione geometrica modificata. Mancanza di memoria. Distribuzione binomiale negativa. Esercizi.
[MP pagg. 101-103,108-109]

E1) 14 novembre 2016 (2 ore) Primo compitino: Correzione

14) 16 novembre 2016 (2 ore) Appunti
Distribuzioni assolutamente continue: distribuzione uniforme su un intervallo, distribuzione gaussiana e distribuzione esponenziale. Mancanza di memoria.
[MP pagg. 115, 117-122]

15) 18 novembre 2016 (2 ore) Appunti
Distribuzioni assolutamente continue: distribuzioni gamma e distribuzioni beta.
V.a. multivariate. Caso finito. Distribuzione congiunta e distribuzioni marginali. Inttegrazione e distribuzione.
[MP + distribuzione Beta, MP 127-129]

16) 21 novembre 2016 (2 ore) Appunti
V.a. vettoriali: formula di composizione. Distribuzione della somma. Distribuzioni a.c.
Valore atteso del prodotto di v.a. di quadrato sommabile. Gli spazi L^p
[MP 130-135]

17) 23 novembre 2016 Appunti
Esercizio su v.a. discrete. Richiami su misure prodotto e teorema di Fubini-Tonelli. V.a. indipendenti, integrazione e legge. V.a. del prodotto di v.a. indipendenti. Famiglie finite e successioni di v.a. indipendenti.
[MP 142-146]

E2) 25 novembre 2016 (2 ore) Recupero primo compitino: Correzione

18) 28 novembre 2016 (2 ore) Appunti --- Esercizi: foglio 5, Esercizi: foglio 6
Somma di v.a. indipendenti: caso discreto e caso a.c.. Esempi: somma di v.a. i.i.d. con distribuzione uniforme su un intervallo, somma di gaussiane indipendenti, somma di v.a. indipendenti con distribuzione Gamma. Somma di v.a. con distribuzione di Poisson.
Esercizio
[MP pagg. 149-150, Esercizi 13.27, 13.28, 13.29, 13.31, 13.44]

19) 30 novembre 2016 (2 ore) Appunti
Somma di v.a. indipendenti con distribuzione binomiale. Minimo di v.a. indipendenti con distribuzione esponenziale. Esercizi.
[MP Esercizio 13.30, esercizi da foglio 5 e foglio 6]

20) 5 dicembre 2016 (2 ore) Appunti
Speranza condizionata dato un evento, data una σ-algebra. Misure assolutamente continue e teorema di Radon-Nikodým (no dim).
Esercizi


21) 7 dicembre 2016 (2 ore) Appunti
Densità condizionata, speranza condizionata dato il valore di una v.a., densità condizionata, speranza condizionata dato il valore di una v.a. discreta; caso della distribuzione congiunta a.c.
Esercizi.


22) 12 dicembre 2016 (2 ore) Appunti
Legge debole dei grandi numeri. Legge forte (no dim). Processi stocastici a tempo discreti e stati discreti. Matrice di transizione. Proprietà di Markov. Catena di Markov. Condizione equivalente.
Esercizi
[MP 159-162, 166, 213-216]

23) 14 dicembre 2016 (2 ore) Appunti
Esercizi tratti dal foglio 6.

E3) 17 dicembre 2016 (2 ore) Secondo compitino: Correzione

24) 21 Dicembre 2016 (2 ore) Appunti
Catene di Markov omogenee. Proprietà di rinnovo. Costruzione di catene di Markov. Costruzione di catene di Markov omogenee con matrice di transizione assegnata. Esempi: passeggiate aleatorie. Rappresentazione tramite grafi pesati orientati.
[MP 217-218, 220-223, 226]