Orario di ricevimento
Su appuntamento, a Santa Marta.Registro delle lezioni
1) 14 marzo 2017 (2 ore)Sistemi Hamiltoniani. Gradiente e campo vettoriale hamiltoniano. Hamiltoniane quadratiche, matrici hamiltoniane, matrici simplettiche. Struttura simplettica standard.
2) 16 marzo 2017 (2 ore)
Condizione necessaria e sufficiente affinché un campo sia un campo hamiltoniano. Parentesi di Poisson. Campo hamiltoniano associato alla partentesi di Poisson. Conservazione della forma simplettica standard. Caso particolare: Hamiltoniane lift. Trasformazioni canoniche e flussi hamiltoniani (no dim).
3) 6 giugno 2017 (3 ore)
Equazioni differenziali: punti di equilibrio. Punto di equilibrio stabile secondo Lyapunov. Dominio di attrazione. Punto di equilibrio attrattivo. Punto di equilibrio localmente asintoticamente stabile. Punto di equilibrio esponenzialmente stabile. Punto di equilibrio debolmente stabile. Punto di equilibrio globalmente asintoticamente stabile.
Funzioni di Lyapunov locali. Punto di equilibrio localmente asintoticamente stabile e funzione di Lyapunov locale. Funzioni di Lyapunov globali. Punto di equilibrio globalmente asintoticamente stabile e funzione di Lyapunov globale (no dim). Teorema inverso (no dim).
Sistemi lineari: caratterizzazione della stabilità dell'origine mediante funzione di Lyapunov.
Punti di equilibrio di sistemi di controllo. Punti di equilibrio localmente asintoticamente controllabili. Punti di equilibrio globalmente asintoticamente controllabili. Funzione di Lyapunov locale per un sistema di controllo.
4) 8 giugno 2017 (2 ore)
Funzione di Lyapunov globale per un sistema di controllo. Condizione sufficiente affinchè una funzione sia una funzione di Lyapunov locale per un sistema di controllo. Funzioni di Lyapunov locali e punti di equilibrio localmente asintoticamente controllabili di un sistema di controllo. Funzioni di Lyapunov globali e punti di equilibrio globalmente asintoticamente controllabili di un sistema di controllo. (no dim)
Esempio: pendolo controllato.
5) 9 giugno 2017 (3 ore)
Esempio. Controllabilità asintotica locale di un punto di equilibrio e sistema linearizzato: controllabilità asintotica locale mediante controlli feedback di classe C^1. Controesempio: il risultato è solo locale. Controesempio: il teorema fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria. Funzione di Lyapunov per sistemi single-input, affini nel controllo. Esempio: sistema bilineare.
Teoremi di instabilità. Proprietà algebriche delle matrici aventi almeno un autovalore con parte reale positiva.
6) 12 giugno 2017 (2 ore)
Punti di equilibrio instabile per sistemi di equazioni differenziali. Condizione sufficiente per l'instabilità di un punto di equilibrio di un sistema di equazioni differenziali. Condizione sufficiente per l'instabilità di un punto di equilibrio di un sistema di controllo.
Il dominio di attrazione di un punto di equilibrio di un sistema di equazioni differenziali è un aperto contrattile. Condizione necessaria per la globale asintotica controllabilità di un punto di equilibrio di un sistema di controllo. Controesempi.
7) 13 giugno 2017 (2 ore)
Teorema di Brockett. Controesempio.
Alcuni cenni di teoria del grado. Mappe ammissibilmente omotope a meno l'identità. Dimostrazione del teorema di Brockett.
Insiemi invarianti per sistemi di equazioni differenziali. Insieme omega-limite di una traiettoria. Principio di invarianza di Lasalle.