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Materiale didattico

Testo di riferimento: [MP] Giuseppe Modica, Laura Poggiolini Note di Calcolo delle Probabilità. Pitagora Editrice.

Occasionalmente parti del corso potranno essere trattate in modo diverso dal testo. In tal caso appunti relativi saranno scaricabili da questa pagina.

Prove scritte

Registro delle lezioni

1) 21 Settembre 2015 (2 ore) Appunti Esercizi
Informazioni varie. Esempi: il problema del Cavaliere de Mere. Impostazione di Pascal: casi favorevoli e casi possibili. Problemi di conteggio: poker o colore? Sottoinsiemi, permutazioni, multiinsiemi e k-liste su un insieme finito. Funzioni tra insiemi finiti. Estrazioni semplici ed ordinate con o senza reimbussolamento.
[MP pagg. 16-28]

2) 25 Settembre 2015 (2 ore) Appunti
Interpretazione classica, frequentista e soggettiva.
Definizione assiomatica: algebre e σ-algebre. σ-algebra generata da uuna famiglia di sottoinsiemi. σ-algebra di Borel. Misure e misure di probabilità. Proprietà elementari. σ-subadditività e continuità delle misure. Esempi: delta di Dirac, probabilità su insiemi finiti. L'interpretazione classica come caso particolare.
[MP pagg. 43-50]

3) 28 Settembre 2015 (2 ore) Appunti Esercizi
Probabilità su insiemi numerabili. Anelli, funzioni additive, σ-additive e σ-subadditive su anelli. Teorema di Carathéodory (dimostrazione dell'esistenza ma non dell'unicità)
[MP pag. 51, ADM 2-14]

4) 2 Ottobre 2015 (2 ore) Appunti
n-intervalli, unioni finite di n-intervalli, volume (σ-additività non dimostrata). Misura di Lebesgue, probabilità uniforme su un intervallo.
Soluzione di alcuni esercizi. Esperimento di Bernoulli ripetuto ed esperimenti ripetuti con più risultati.
[ADM pagg. 14-16, MP pag. 52]

5) 5 Ottobre 2015 (2 ore) Appunti Esercizi
Probabilità condizionata. Legge delle probabilità totali e formula di Bayes. Esercizi.
Coppie e famiglie finite di eventi indipendenti. Sistemi in serie e in parallelo. Esercizi.
Definizione di variabile aleatoria.
[MP cap. 7 e pagg. 139-141]

6) 7 Ottobre 2015 (2 ore) Appunti
Variabili aleatorie. Condizioni equivalenti. Legge di v.a. e proprietà. Esempio: numero di successi nel lancio iterato di una moneta. Distribuzione dei valori.
[MP pagg. 73-77]

7) 9 Ottobre 2015 (2 ore) Appunti
Distribuzione. σ-algebra rilevata da una variabile aleatoria a valori in R. V.a. discrete. V.a. con distribuzione assolutamente continua.
Integrazione rispetto ad una misura: integrale di funzioni semplici; integrale di funzione misurabile non-negativa. Lemma di campionamento (no dim) e lemma di Beppo-Levi (no dim). Parte positiva e parte negativa di una funzione misurabile. Funzioni integrabili e funzioni sommabili.
[MP pagg. 74, 77-79, 318-321]

8) 12 Ottobre 2015 (2 ore) Appunti Esercizi
Teorema di convergenza dominata di Lebesgue (no dim). Funzioni di Borel. Composizione di v.a. e funzioni di Borel. Integrale della composizione mediante la distribuzione. Calcolo del valore atteso mediante la distribuzione.
Calcolo del valore atteso di v.a. discrete e di v.a. con distribuzione assolutamente continua. Formula di composizione. Formula di Cavalieri per v.a.
Definizione di varianza.
[MP pagg. 79-85]

9) 14 Ottobre 2015 (2 ore) Appunti
Dimostrazione della formula di Cavalieri per funzioni misurabili nonnegative. Funzioni misurabili nonnegative con integrale nullo. Varianza, scarto quadratico medio. Mediana. Disuguaglianze di Markov e di Chebychev.
Densità del quadrato e di una funzione affine di v.a. con distribuzione assolutamente continua. Esercizi.
[MP pagg. 86-87, 322]

10) 16 Ottobre 2015 (2 ore) Appunti
Esercizi. Esempio del semaforo. Distribuzioni discrete: delta di Dirac, distribuzione di Bernoulli, distribuzione binomiale. Proprietà degli eventi rari.
[MP pagg. 81, 95-96, 98-99, 104]

11) 21 Ottobre 2015 (2 ore) Appunti
Distribuzioni discrete: distribuzione di Poisson e distribuzione ipergeometrica, distribuzione binomiale negativa (con dimostrazioni!!!)
[MP pagg. 100-101,104, 305-306]

12) 23 Ottobre 2015 (2 ore) Appunti
Distribuzioni discrete: distribuzione binomiale negativa, distribuzione geometrica e distribuzione geometrica modificata. Mancanza di memoria. Probabilità su infinite prove di Bernoulli. (senza la dimostrazione della σ-additività sui cilindri)
[MP pagg. 102-104,107-109]

13) 26 Ottobre 2015 (2 ore) Appunti Esercizi
Distribuzioni assolutamente continue: distribuzione uniforme su un intervallo, distribuzione gaussiana e distribuzione esponenziale. Mancanza di memoria.
[MP pagg. 115, 117-122]

14) 28 Ottobre 2015 (2 ore) Appunti
Distribuzioni assolutamente continue: distribuzioni gamma e distribuzioni beta. Esercizi
[MP pagg. 123 + distribuzione Beta]

15) 30 Ottobre 2015 (2 ore) Appunti Esercizi
Esercizi. V.a. vettoriali. Caso discreto. Densità congiunta e densità marginali. Caso generale. Distribuzione congiunta, distribuzioni marginali, legge congiunta.
[MP pagg. 127-129]

16) 2 Novembre 2015 (2 ore) Appunti
Esercizi. V.a. vettoriali: integrazione e distribuzione, formula di composizione. Distribuzione della somma. Distribuzioni a.c. e loro distribuzioni marginali.
Valore atteso del prodotto di v.a. di quadrato sommabile. Gli spazi L^k
[MP pagg. 129-132]

17) 6 Novembre 2015 Testo, Correzione e Risultati
Primo compitino

18) 9 Novembre 2015 (2 ore) Appunti
Covarianza. V.a. scorrelate. Richiami su misure prodotto e teorema di Fubini-Tonelli. V.a. indipendenti, integrazione e legge. V.a. del prodotto di v.a. indipendenti. Famiglie finite e successioni di v.a. indipendenti.
[MP pagg. 133-135, 142-144]

19) 13 Novembre 2015 (2 ore) Appunti
Famiglie di v.a. indipendenti e distribuzione prodotto. V.a. indipendenti: caso discreto e caso a.c.. Somma di v.a. indipendenti: caso discreto e caso a.c.. Esempi ed esercizi. Distribuzione triangolare.
[MP pagg. 145,149. Es. 13.27, 13.44]

20) 16 Novembre 2015 (2 ore) Appunti
Esempi ed esercizi su v.a. indipendenti. Valore atteso condizionato da un evento.
[MP Es. 13.28-13.31]

21) 20 Novembre 2015 (2 ore) Appunti Esercizi
Speranza condizionata data una σ-algebra. Misure assolutamente continue e teorema di Radon-Nikodým (no dim). Densità condizionata: caso discreto e caso a.c.
Esercizi


22) 23 Novembre 2015 (2 ore) Appunti Esercizi
Leggi condizionate. Caso generale, caso discreto e caso a.c.
Esercizi


23) 27 Novembre 2015 (2 ore) Appunti
Legge debole dei grandi numeri. Teorema di Cernoff (no dim). Lemma di Borel-Cantelli, legge 0-1 di Kolmogorov.
Esercizi
[MP 159-164]

24) 30 Novembre 2015 (2 ore) Appunti
Convergenza in media quadratica, convergenza in probabilità e convergenza quasi-certa. Convergenza in probabilità e convergenza quasi-certa in termini di insiemi. Teorema di Rajchmann. Teorema di Etemadi: enunciato e dimostrazione dei lemmi preliminari.
[MP 164-169]



25) 4 Dicembre 2015 (2 ore) Appunti
Somme alla Cesáro. Dimostrazione del teorema di Etemadi
Esercizi
[MP 169-170]

26) 9 Dicembre 2015 (2 ore) Appunti
Esercizi


27) 11 Dicembre 2015 (2 ore) Testo, Correzione e Risultati con media finale
Secondo compitino