corso tenuto in affidamento congiunto col Prof. Emanuele Paolini

La lezione di venerdì 14 novembre è annullata

Orario di ricevimento

Su appuntamento, al Polo Scientifico di Sesto Fiorentino dopo la lezione o a Santa Marta.
Il ricevimento è sospeso per missione scientifica nei seguenti periodi:
24-30 novembre 2014
11-16 maggio 2015

Materiale didattico

Testo di riferimento: Enrico Giusti Analisi Matematica II, terza edizione. Bollati Boringhieri.
Occasionalmente parti del corso potranno essere trattate in modo diverso dal testo. In tal caso appunti relativi saranno scaricabili da questa pagina.

Registro delle lezioni

1) 22 Settembre 2014 (3 ore)
Informazioni varie. Richiami su R^n. Funzioni reali di n variabili reali: continuità, derivate parziali, derivate direzionali. Gradiente. Punti di estremo interni e derivate direzionali. Esempio di funzione discontinua ma derivabile in ogni direzione. Differenziale e iperpiano tangente. Differenziabilità e continuità. Differenziabilità e derivabilità direzionale. Teorema del differenziale totale (enunciato). Esempio: calcolo del piano tangente al grafico in un punto assegnato.

2) 24 Settembre 2014 (3 ore)
Dimostrazione del teorema del differenziale totale. Derivate seconde. Teorema di Schwarz (senza dimostrazione). Matrice Hessiana. Funzioni vettoriali, matrice jacobiana, gradiente della funzione composta. Derivata lungo una curva. Matrici definite e semidefinite. Caratterizzazione mediante il segno degli autovalori (senza dimostrazione). Condizione necessaria del secondo ordine per punti di estremo relativo interni.

3) 1 Ottobre 2014 (3 ore)
Intervalli n-dimensionali. Aperti ed intervalli. Misura esterna. Definizione e proprietà. Test di Carathéodory. Misura esterna degli insiemi finiti, degli insiemi numerabili, degli iperpiani.
Insiemi misurabili. Misurabilità degli insiemi di misura esterna nulla, degli aperti. Caratterizzazione della misurabilità mediante l'approsimazione con aperti. Misurabilità dei compatti.

4) 3 Ottobre 2014 (2 ore)
Misurabilità dell'unione numerabile di misurabili, misurabilità dei chiusi. La famiglia degli insiemi misurabili è una σ-algebra. Misurabilità dell'intersezione numerabile di misurabili. Caratterizzazione della misurabilità mediante approssimazioni dall' interno. Misura dell'unione numerabile di misurabili disgiunti. scrittura generica di un insieme misurabile. Continuità della misura. Esempi: insiemi di Cantor e di Vitali. Funzioni misurabili.

5) 6 Ottobre 2014 (3 ore)
Misurabilità delle funzioni caratteristiche e delle funzioni semplici. Massimo, minimo di due funzioni misurabili, restrizione, composizione con funzione continua. Estremo superiore, estremo inferiore e limite di successione di funzioni misurabili. Approssimazione di funzioni misurabili nonnegative. Integrale di Lebesgue. Proprietà. Lemma di Beppo-Levi. Misurabilit&a; del prodotto tra un insieme misurabile ed un intervallo. Integrale di una funzione nonnegativa e area del sottografico.

6) 8 Ottobre 2014 (3 ore)
Fette di insiemi misurabili. Teorema di Fubini. Integrazione iterata. Misurabilità delle funzioni integrabili secondo Riemann. Esempi: calcolo di integrali doppi e tripli.

7) 15 Ottobre 2014 (3 ore)
Coordinate cilindriche. Coordinate sferiche. Esercizi su integrali doppi e tripli con cambiamento di variabile.

8) 22 Ottobre 2014 (3 ore)
Esercizi: continuità, integrale della gaussiana, integrabilità della funzione (x^2+ y^2 +z^2)^alpha in R^3, lunghezza e baricentro della cardioide omogenea, area della regione di piano racchiusa dalla dalla cardioide, area di superficie.

9) 31 Ottobre 2014 (2 ore)
Esercizi.

10) 10 Novembre 2014 (2 ore)
Esercizi

11) 12 Novembre 2014 (3 ore)
Convergenza puntuale e convergenza uniforme. Lo spazio delle funzioni limitate e la norma infinito. Limite uniforme di funzioni continue. Limite uniforme di funzioni Riemann-integrabili su un intervallo.
Serie di funzioni. Convergenza totale. La convergenza totale implica la convergenza uniforme.

12) 17 Novembre 2014 (3 ore)
Lemma di Fatou. Teorema di Lebesgue di convergenza dominata. Derivata sotto il segno di integrale. Il Lemma di Beppo-Levi per serie di funzioni misurabili nonnegative.
Serie di potenze. Raggio di convergenza e convergenza totale.

12) 19 Novembre 2014 (3 ore)
Serie di potenze: integrazione e derivazione per serie. Sviluppo in serie di alcune funzioni elemntari. Esempi ed esercizi.