corso tenuto in affidamento congiunto col Prof. Emanuele Paolini

Orario di ricevimento

Su appuntamento, al Polo Scientifico di Sesto Fiorentino dopo la lezione o a Santa Marta.
Il ricevimento è sospeso per missione scientifica nei seguenti periodi:
12-18 maggio 2014
8-13 e 23-28 giugno 2014
6-13 luglio 2014

Materiale didattico

Testo di riferimento: Enrico Giusti Analisi Matematica I, terza edizione. Bollati Boringhieri.
Occasionalmente parti del corso potranno essere trattate in modo diverso dal testo. In tal caso appunti relativi saranno scaricabili da questa pagina.

Registro delle lezioni

1) 23 Settembre 2013 (2 ore)
Informazioni varie. Richiami sui numeri razionali. La radice quadrata. I numeri reali: assiomi algebrici. Alcuni esercizi.

2) 25 Settembre 2013 (2 ore)
Insiemi induttivi, N, Z e Q come sottoinsiemi di R. Sezioni di R e assioma di Dedkind. Esistenza di radice quadrata di 2.
Maggioranti, minoranti, insiemi limitati superiormente, insiemi limitati inferiormente, insiemi limitati. Massimo, minimo. Definizione, esistenza ed unicità dell'estremo superiore di insiemi limitati superiormente. Definizione, esistenza ed unicità dell'estremo inferiore di insiemi limitati inferiormente. Caratterizzazione dell'estremo superiore e dell'estremo inferiore.

3) 30 Settembre 2013 (2 ore)
Principio di Archimede. Densità dei razionali. Intervalli e semirette. Intervalli dimezzati e assioma di continuità come conseguenza dell'assioma di Dedekind. Esercizi su sup e inf.

4) 3 Ottobre 2013 (3 ore)
Valore assoluto, disuguaglianza triangolare. Spazi metrici. R^n e la metrica euclidea: prodotto scalare e norma. Intorni in R^n. Punti interni, punti esterni, punti di frontiera. Esterno, interno e frontiera di un insieme. Esempi ed esercizi.
Insiemi aperti. Gli intorni, gli intervalli aperti, le semirette aperte sono aperti.

5) 7 Ottobre 2013 (2 ore)
Interno ed esterno sono aperti. Caratterizzazione degli insiemi aperti. Unione e intersezione finita di aperti. Controesempio con intersezione numerabile di aperti. Caratterizzazione dell'interno
Insiemi chiusi. La frontiera è un chiuso. Caratterizzazione dei chiusi. Intersezione e unione finita di chiusi. Controesempio con unione numerabile di chiusi. Chiusura. Caratterizzazione della chiusura.
Interno, esterno e frontiera di Q.
Punti di accumulazione e derivato.

6) 11 Ottobre 2013 (2 ore)
Caratterizzazione dei punti di accumulazione. Caratterizzazione degli insiemi chiusi. Derivato di Q. Teorema di Bolzano-Weierstrass.

7) 17 Ottobre 2013 (3 ore)
Conclusione della dimostrazione del Teorema di Bolzano-Weierstrass. Esistenza dei punti di frontiera. Esercizi.
Limite di successione reale. Successioni convergenti in R^n. Alcuni limiti notevoli.

8) 18 Ottobre 2013 (2 ore)
Limiti di somme, prodotti e rapporti di successioni. Permanenza del segno. Ogni successione convergente è limitata. Da ogni successione limitata si può estrarre una sottosuccessione convergente. Insiemi compatti. Caratterizzazione degli insiemi compatti.

9) 21 Ottobre 2013 (2 ore)
Alcuni limiti notevoli. Esercizi
Successioni monotone. Il numero di Nepero.

10) 25 Ottobre 2013 (2 ore)
Limite del rapporto di due termini consecutivi e limite della radice k-esima. Esercizi
Criterio di Cauchy. Successioni ricorsive.

11) 28 Ottobre 2013 (2 ore)
Limite di somme alla Cesáro. Esercizi. Esempi di limite di successioni ricorsive.
Successione delle somme parziali e serie. Serie geometrica. Numeri periodici e rappresentazione frazionaria. Serie telescopiche.

12) 31 Ottobre 2013 (3 ore)
Serie telescopiche: esempio. Criteri di convergenza per serie. Condizione necessaria. Condizioni sufficienti per la convergenza di serie a termini positivi: criterio del confronto, criterio di condensazione, criterio del confronto asintotico, criterio della radice e criterio del rapporto. Serie armonica e serie armonica generalizzata. Esempi ed esercizi.

13) 6 Novembre 2013 (2 ore)
Ancora sul criterio del rapporto. Esercizi su serie a termini positivi.

14) 8 Novembre 2013 (2 ore)
Esercizi su serie a termini positivi.
Convergenza assoluta. Serie a segni alterni. Criterio di Leibniz. Esercizi ed esempi.

15) 15 Novembre 2013 (2 ore)
La serie esponenziale e irrazionalità di e.
Retta secante e retta tangente al grafico. Velocità media e velocità istantanea. Derivata. Calcolo della derivata di alcune funzioni elementari. Continuità e derivabilità. Derivata di funzioni pari e di funzioni dispari.

16) 20 Novembre 2013 (2 ore)
Regole di derivazione: derivata di somma, prodotto, rapporto, composizione di funzioni derivabili. Derivata della funzione inversa. Derivata delle funzioni elementari. Esempi ed esercizi.

17) 21 Novembre 2013 (3 ore)
Correzione della prima prova scritta parziale.
Esempi ed esercizi sul calcolo della derivata. Estremi assoluti ed estremi relativi. Punti stazionari. Condizione necessaria per l' estremalità di un punto interno in cui la funzione è derivabile. Esempi ed esercizi.

18) 25 Novembre 2013 (2 ore)
Esercizi su problemi di massimo e minimo assoluti.
Teorema di Rolle, teorema di Lagrange, teorema di Cauchy. Monotonia e segno della derivata prima. Esempi ed esercizi.

19) 27 Novembre 2013 (2 ore)
Esercizi su problemi di massimo e minimo assoluti.Rolle, Lagrange, Cauchy.
Teoremi di de l'Hôpital. Esempi ed esercizi.

20) 2 Dicembre 2013 (2 ore)
Esempi ed esercizi su de l'Hôpital. Derivate successive. Segno delle derivate successivi e punti stazionari interni. Definizione di convessità e concavità

21) 5 Dicembre 2013 (3 ore)
Funzioni convesse derivabili e retta tangente. Convessità, concavità e segno della derivata seconda.
Grafico di funzione: esempi ed esercizi.

22) 9 Dicembre 2013 (2 ore)
Grafico di funzione: esercizi (cuspidi e punti a tangente verticale).
Formula di Taylor. Resto n-esimo.

23) 16 Dicembre 2013 (2 ore)
Estremalità dei punti stazionari con derivata seconda nulla. Alcuni sviluppi di Taylor. Esempi.

24) 18 Dicembre 2013 (2 ore)
Sviluppi di Taylor. Esempi ed esercizi.

25) 19 Dicembre 2013 (2 ore)
Sviluppi di Taylor. Esempi ed esercizi.