Programma di Analisi Matematica 1 e 2
Anno accademico 2003/2004
Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica e Corso di Laurea in Ingegneria 
Gestionale
(Prof. Maria Patrizia Pera)

(Ultimo aggiornamento: 23/01/04) 


NUMERI
Insiemi (unione, intersezione, differenza, insieme vuoto, 
complementare). Numeri naturali, interi, razionali. I numeri reali: 
assiomi algebrici, ordinamento, assioma di Dedekind. Quantificatori logici. 
Disuguaglianze. Valore assoluto. Potenze e radici. Logaritmi. 
Intervalli. Intorni di un punto. Massimo, minimo, maggioranti, minoranti, 
estremo inferiore e superiore di un insieme. Propriet� di completezza dei 
reali. Punti di accumulazione e punti isolati. Proprieta` di Archimede. 
Densita` dei razionali. Applicazioni tra insiemi, applicazioni iniettive,
suriettive, biiettive. Dominio, codominio, immagine e grafico di una 
applicazione.
I numeri complessi. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Potenza 
n-esima di un numero complesso.

SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE REALI
Definizione di successione. Limite di una successione. Successioni 
convergenti, divergenti e indeterminate. Teoremi sui 
limiti delle successioni. Successioni limitate. Successioni monotone. 
Estremo inferiore ed estremo superiore di una successione. Teorema di 
esistenza del limite per le successioni monotone. Il numero e come limite 
di una successione.  
Radice n-esima, n fattoriale e calcolo di alcuni limiti connessi a queste 
nozioni.
Serie numeriche. Somma di una serie. Carattere di una serie. Condizione 
necessaria per la convergenza. Serie geometrica. Serie armonica e serie armonica 
generalizzata.  Serie a termini positivi. Criterio del confronto. Criterio 
della convergenza assoluta. Criterio dell'integrale.
 

FUNZIONI DI UNA VARIABILE (LIMITI E CONTINUITA`)
Funzioni reali di variabile reale. Funzioni limitate. Funzioni monotone. 
Funzioni inverse. Massimi e minimi. Polinomi e funzioni razionali. Principali 
funzioni trascendenti (funzioni esponenziali e logaritmiche, funzioni trigonometriche 
e loro inverse, funzioni iperboliche). La funzione parte intera. Limiti delle 
funzioni (finiti e infiniti). Teorema di unicita` del limite. Limite destro 
e sinistro. Teorema sulle operazioni per il calcolo dei limiti. Forme indeterminate. 
Teorema dei carabinieri. Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone. 
Teorema di collegamento e alcune sue applicazioni. Limiti fondamentali e 
conseguenze. Continuita`. Teorema della permanenza del segno. Teorema di continuita`
delle funzioni combinate (somma, prodotto, quoziente e composizione). Teorema di 
Weierstrass. Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Teorema di continuita`
di una funzione inversa. 


FUNZIONI DI UNA VARIABILE (DERIVATE)
Definizione di derivata. Derivata destra e sinistra. Derivabilita` 
in un insieme. Punti angolosi. Interpretazione 
geometrica della derivata. Differenziale. Regole di derivazione (somma, 
prodotto, quoziente, composizione e funzione inversa). Derivate di 
funzioni speciali. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle e Lagrange. Conseguenze
del Teorema di Lagrange. Derivate di ordine superiore. Formula di Taylor col 
resto nella forma di Peano. Formula di Taylor col resto nella forma di Lagrange. 
Formula di MacLaurin. Applicazioni della formula di Taylor al calcolo dei limiti 
e ad alcuni problemi di approssimazione.  Massimi e minimi relativi. Condizioni
sufficienti per l'esistenza di massimi e minimi relativi. Funzioni convesse 
in un intervallo. Punti di flesso. Asintoti di una funzione. Studi 
di funzione. Teoremi di de L'Hopital.

INTEGRALI SEMPLICI
Definizione di integrale definito. Insiemi 
trascurabili e condizione necessaria e sufficiente per 
l'integrabilita`. Proprieta` degli integrali definiti (linearita`,monotonia, 
additivita`). Teorema della media per gli integrali. Primitive. Integrali 
indefiniti. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale 
del calcolo integrale. Formula di integrazione per parti per 
gli integrali indefiniti e definiti. Formula di integrazione per sostituzione
per gli integrali indefiniti e definiti. Integrazione delle funzioni elementari 
o dedotte da funzioni elementari. Integrazione delle funzioni razionali. Alcuni
metodi di integrazione. Integrali impropri. Criteri di convergenza (confronto, 
confronto asintotico, convergenza assoluta). Criterio dell'integrale per 
le serie.

FUNZIONI DI PIU` VARIABILI
Lo spazio R^2, R^3, R^n. Norma e distanza. Prodotto scalare. Elementi di 
topologia in R^n (intorni di un punto, punti di accumulazione, punti isolati, 
punti di frontiera, insiemi chiusi, insiemi aperti). Insiemi limitati. 
Funzioni reali di due o piu' variabili reali. Limiti (finiti e infiniti). 
Limiti direzionali. Continuita`. Teorema di Weierstrass.
Derivate parziali. Gradiente.  Differenziabilita`. Piano tangente. Teorema 
del differenziale totale. Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di 
Schwarz. Massimi e minimi relativi. Condizione necessaria per i punti estremanti 
(teorema di Fermat). Matrice hessiana (in due variabili).  Condizione 
sufficiente per i punti estremanti. 
Funzioni vettoriali di pi� variabili. Limiti e continuita`. Matrice 
Jacobiana. Coordinate polari, sferiche, cilindriche e loro Jacobiani.
Integrali doppi. Insiemi trascurabili in R^2 e condizione necessaria 
e sufficiente per l'integrabilita`. Teorema di riduzione per gli 
integrali doppi (di Fubini). Integrale in un insieme limitato di R^2. 
Formule di riduzione deducibili dal Teorema di Fubini. Area di un insieme 
limitato. Proprieta` degli integrali (linearita`, monotonia, additivita`).
Formula di cambiamento di variabili per gli integrali doppi. Applicazioni 
degli integrali doppi al calcolo di masse, baricentri e momenti d'inerzia.
Integrali tripli (cenni).  

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
Equazioni del primo ordine. Equazioni di ordine n. Definizione di 
soluzione. Equazioni in forma normale. Soluzioni massimali. 
Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicita` (della soluzione 
massimale del problema di Cauchy).  Integrazione delle equazioni lineari 
del primo ordine a coefficienti continui. Funzioni linearmente indipendenti. 
Equazioni a variabili separabili (facoltativo). Integrazione delle equazioni 
differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Metodi di 
variazione delle costanti e altri metodi pratici per la determinazione di 
una soluzione particolare delle equazioni lineari non omogenee.
Cenno ad alcuni problemi ai limiti per equazioni del secondo ordine.

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Testo per prerequisiti:
- Boieri P. - Chiti G., Precorso di Matematica,
  Zanichelli.

Testi di riferimento:
- Anichini G. - Conti G., Funzione di una variabile, Pitagora Editrice.
- Registro dettagliato delle lezioni in formato
  pdf (consultare http://www.dma.unifi.it/~pera).

Testi consigliati per approfondimenti:
- Marcellini P.- Sbordone C., Elementi di Analisi Matematica uno, Liguori
  Editore. N.B. Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea.
- Adams R.A. Calcolo Differenziale 1: Funzioni di una variabile, Casa 
  Editrice Ambrosiana.
- Bramanti M. - Pagani C.D. - Salsa S., Matematica
  (calcolo infinitesimale e algebra lineare),
  Zanichelli.

Testi consigliati per esercizi:
- Marcellini P.- Sbordone C., Esercitazioni di Matematica 1, Liguori 
  Editore.
- Spiegel, Analisi Matematica, Collana Schaum, McGraw-Hill libri Italia.