PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA II
Corso di laurea in Ingegneria Meccanica - a.a. 1998/99
	Prof. M.Patrizia Pera

	Successioni e serie di funzioni. 
Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme. Passaggio al limite 
sotto il segno di integrale e di derivata. Serie di funzioni: convergenza 
semplice, assoluta, uniforme e totale. Criterio di Weierstrass. Integrazione e 
derivazione per serie. Serie di Taylor e serie di potenze. Serie di potenze in 
campo complesso (cenni).

	Funzioni di piu' variabili.
Spazi metrici (cenni). Distanza euclidea. Topologia di R^n: insiemi aperti, 
chiusi, limitati, compatti. Intorni, punti di accumulazione, punti isolati. 
Chiusura, interno e frontiera di un insieme.   Definizione di limite. Funzioni 
continue. Somma, prodotto, quoziente, composizione di funzioni continue 
(s.d.). Teorema di collegamento (s.d.). Caratterizzazione delle funzioni 
continue mediante aperti o chiusi. Proprieta' delle funzioni continue sui 
compatti (s.d.). Integrali dipendenti da un parametro: continuita'.

	Calcolo differenziale per funzioni di piu' variabili. 
Funzioni a valori scalari: derivate parziali e direzionali, 
differenziabilita'. Teorema del differenziale totale. Gradiente. Regola di 
derivazione a catena. Derivate successive: teorema di Schwartz (s.d.). Formula 
di Taylor (dimostrazione solo della formula di ordine due). Punti stazionari. 
Massimi e minimi relativi. Forme quadratiche e autovalori. Matrice Hessiana. 
Condizioni necessarie e condizioni sufficienti per l'esistenza di estremi 
relativi. Integrali dipendenti da un parametro: derivabilita'. Funzioni a 
valori vettoriali: derivabilita' e differenziabilita'. Matrice Jacobiana. 
Differenziabilita' della funzione composta (s.d.).

	Curve e superfici.
Curve in R^n. Curve regolari, semplici, chiuse, equivalenti. Versore tangente. 
Superfici in forma cartesiana e parametrica. Superfici regolari. Versore 
normale e piano tangente. Orientazione. Superfici equivalenti.
Insiemi connessi per archi, convessi, stellati rispetto a un punto.  Insiemi 
di livello. Funzioni implicite: teorema del Dini. Continuita' e derivabilita' 
della funzione implicita.   
Massimi e minimi vincolati. Moltiplicatori di Lagrange.

	Integrali multipli. 
Misura di Peano-Jordan. Proprieta' della misura. Insiemi di misura nulla. 
Integrazione secondo Riemann di funzioni di due o tre variabili. Linearita' e 
additivita' dell'integrale. Integrabilita'delle funzioni generalmente continue 
(s.d.). Formule di riduzione per il calcolo degli integrali (s.d.). Integrali 
in domini normali. Cambiamento di variabili negli integrali (s.d.). Coordinate 
polari, sferiche, cilindriche. Volume dei solidi di rotazione. Calcolo di 
momenti di inerzia, masse e baricentri. Integrali multipli impropri.

	Integrali su curve e superfici. 
Lunghezza di una curva. Curve equivalenti hanno la stessa lunghezza. Ascissa 
curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione e sue proprieta'. Area di una 
superficie. Superfici equivalenti hanno la stessa area (s.d.). Integrale 
superficiale di una funzione e sue proprieta'. 

	Forme differenziali lineari.
Forme esatte. Campi vettoriali conservativi e loro potenziali. Integrale di 
una forma differenziale lineare e sue proprieta'. Condizioni necessarie e 
sufficienti perche' una forma sia esatta. Teorema di Green (s.d.) e sua 
applicazione al calcolo di aree. Forme chiuse. Insiemi semplicemente connessi 
del piano e dello spazio e condizioni sufficienti perche' una forma sia 
esatta. Flusso di un campo vettoriale e sue proprieta'. Rotore e divergenza di 
un campo vettoriale. Teorema di Stokes (s.d). Teorema della divergenza (s.d.).  





	Equazioni differenziali. 
Equazioni differenziali ordinarie di ordine n. Definizione di soluzione. 
Integrale generale, integrali particolari, integrali singolari. Equazioni in 
forma normale. Problema di Cauchy: teorema di esistenza e unicita' 
(dimostrazione con il metodo delle approssimazioni successive). Soluzioni 
massimali. Dipendenza delle soluzioni dai dati iniziali (cenni).  Integrale 
generale di un'equazione lineare del primo ordine a coefficienti continui. 
Equazioni a variabili separabili, omogenee, di Bernoulli, di Clairaut e  ai 
differenziali esatti. Risoluzione di particolari equazioni del secondo ordine.  
Equazioni lineari di ordine n: soluzioni linearmente indipendenti, integrale 
generale dell'equazione omogenea e di quella non omogenea. Sistema 
fondamentale. Wronskiano. Teorema di Liouville. Metodo della variazione delle 
costanti. Equazione di Eulero. Equazioni lineari a coefficenti costanti e 
metodi per trovare una soluzione particolare.  

N.B.  s.d. significa "senza dimostrazione"


Testo di riferimento:
G.Anichini-G.Conti, Calcolo 3, Funzioni di piu' variabili e modelli 
matematici, Pitagora Editrice, Bologna.

Testi consigliati:
A. Bacciotti-F. Ricci, Lezioni di Analisi Matematica 2, Ed. Levrotto & Bella, 
Torino.
N.Fusco-P.Marcellini-C.Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori Editore
E. Giusti, Analisi Matematica 2,  Boringhieri.
W. Rudin, Principi di Analisi Matematica, McGrawHill Libri Italia srl.
G. Sansone - R. Conti, Lezioni di Analisi Matematica, Vol. I e II, CEDAM.
Per gli esercizi:	
J.P. Cecconi - L.C. Piccinini - G. Stampacchia, Esercizi e problemi di Analisi 
Matematica, Vol. I e II, Liguori Editore.
P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol. I e II, Liguori 
Editore.