PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA I
Corso di laurea in Ingegneria Meccanica (A-G)- a.a. 1997/98
Prof. M.Patrizia Pera

Numeri reali e complessi.
Elementi di teoria degli insiemi. Applicazioni tra insiemi.  Teoria assiomatica dei numeri reali. Proprieta' dei numeri reali. Assioma di Dedekind. I numeri naturali, interi e razionali come sottoinsiemi dei reali. Proprieta' di Archimede. Estremo superiore e inferiore di un insieme di numeri reali. Radice n-esima di un numero reale positivo. Densita' dei razionali nei reali (s.d.). Il principio di induzione. Topologia dei reali (punti interni ad un insieme, aperti, chiusi, compatti, frontiera di un insieme, punti di accumulazione). Binomio di Newton (s.d.). Numeri complessi. Radici n-esime di un numero complesso.

Successioni e serie numeriche.
Successioni. Limiti. Operazioni con i limiti. Teorema dei carabinieri. Teorema della permanenza del segno. Limiti di successioni monotone.  Numero e. Forme indeterminate. Potenze con esponente reale.  Sottosuccessioni. Legami tra successioni e topologia. Principio di Bolzano-Weierstrass. Serie numeriche. Condizione necessaria per la convergenza di una serie.  Serie geometrica. Serie a termini positivi. Principali criteri di convergenza per serie a termini positivi: del confronto, del confronto asintotico, del rapporto, della radice, di condensazine (s.d.), dell'integrale. Assoluta convergenza. Serie a segni alterni e criterio di Leibniz.  Successioni e serie in campo complesso (cenni). 

Funzioni reali di variabile reale. 
Generalita' sulle funzioni. Limiti di funzioni e teoremi connessi. Teorema di collegamento con i limiti di successioni. Limite destro e limite sinistro. Funzioni monotone. Esistenza dei limiti destro e sinistro per funzioni monotone. Continuita'. Continuita' delle principali funzioni. Continuita' uniforme. Funzioni Lipschitziane e funzioni periodiche. Massimi e minimi assoluti e relativi. Teoremi fondamentali per le funzioni continue (di Weierstrass, degli zeri, dei valori intermedi, di Cantor, di continuita' della funzione inversa (s.d.) e della funzione composta). 

Calcolo differenziale in una variabile. 
Derivate. Regole di derivazione. Derivate delle principali funzioni. Teoremi fondamentali (Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy). Conseguenze del teorema di Lagrange. Derivata di una funzione composta e della funzione inversa. Teoremi di de l'Hopital (dim. solo del caso 0/0) e loro applicazioni. Derivate successive. Funzioni convesse in un intervallo e loro proprieta'.  Punti di flesso. Formula di Taylor. Teorema di esistenza e unicita' della formula di Taylor. Applicazioni della formula di Taylor al calcolo dei limiti e allo studio delle funzioni. Asintoti. Resto della formula di Taylor in forma di Peano e in forma di Lagrange e applicazioni. Sviluppi delle principali funzioni. Infinitesimi, infiniti, e loro confronto. Simbolo di Landau. Infinitesimi (e infiniti) equivalenti. Parte principale di un infinitesimo (e di un infinito).

Teoria dell'integrazione. 
Partizioni. Somme superiori e somme inferiori. Integrale di Riemann. Proprieta' dell'integrale di Riemann (additivita' rispetto all'intervallo, linearita', monotonia) (s.d.). Principali teoremi di integrabilita' per le funzioni limitate in un intervallo limitato. Teorema di Darboux-Riemann (s.d.). Teorema della media integrale. Lipschitzianita' della funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale.  La funzione logaritmo (come funzione integrale). Integrali indefiniti. Metodi di integrazione. Integrazione delle funzioni elementari o dedotte da funzioni elementari. Integrazione delle funzioni razionali. Integrali di particolari funzioni irrazionali. Alcune sostituzioni speciali. Resto della formula di Taylor in forma integrale. Integrali impropri: caso di funzioni  in intervalli non limitati e caso di funzioni non limitate in intervalli limitati. Convergenza assoluta per gli integrali impropri. Criterio del confronto e del confronto asintotico per gli integrali impropri.

Testo di riferimento:
---G.Anichini - G.Conti, Calcolo,Funzioni di una variabile.,vol.1  
Pitagora Editrice, Bologna
Testi consigliati:---A.Bacciotti-F.Ricci, Analisi Matematica, Vol. 1, Liguori Editore.
---P. Boieri - G. Chiti, Precorso di matematica, Zanichelli Editore.
---E. Giusti, Analisi Matematica I, Boringhieri.
---J.P. Cecconi - G. Stampacchia, Analisi Matematica, Vol. I e II, Liguori Editore.
---J.P. Cecconi - L.C. Piccinini - G. Stampacchia, Esercizi e problemi di 
AnalisiMatematica, Vol. I e II, Liguori Editore.
---P.Marcellini-C.Sbordone, Esercitazioni di matematica 1, Liguori Editore.
---G. Sansone - R. Conti, Lezioni di Analisi Matematica, Vol. I e II, CEDAM.
---M.R. Spigel, Analisi Matematica, Collana Schaum, n. 8, Etas Libri.