PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA II
Corso di laurea in Ingegneria Meccanica - a.a. 1996/97
	Prof. M.Patrizia Pera


	Spazi normati e successioni di funzioni. Spazi vettoriali normati. 
Distanza. Spazi metrici (cenni).  Successioni in uno spazio normato. Gli spazi 
B(A) e C(A). Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme. 
Passaggio al limite sotto il segno di integrale e derivazione. Spazi completi. 
Completezza di B(A) (s.d.). Teorema delle contrazioni (s.d.).

	Serie numeriche e serie di funzioni. Convergenza di una serie numerica. 
La serie geometrica. Serie a termini positivi: criterio del confronto e del 
confronto asintotico; criterio della radice e del rapporto; criterio 
dell'integrale. Convergenza assoluta di una serie. Serie a segni alterni e 
criterio di Leibniz. Serie in uno spazio normato. Serie di funzioni: 
convergenza semplice, assoluta, uniforme e totale. Criterio di Weierstrass. 
Integrazione e derivazione per serie. Serie di Taylor e serie di potenze. 
Funzioni analitiche. Principio di identita' delle serie di potenze e sviluppi 
notevoli. Serie di potenze in campo complesso (cenni).

	Funzioni di piu' variabili. Intorni, punti di accumulazione, punti 
isolati. Definizione di limite. Funzioni continue. Somma, prodotto, quoziente, 
composizione di funzioni continue (s.d.). Teorema di collegamento (s.d.). 
Topologia: insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti; chiusura, interno e 
frontiera di un insieme. Caratterizzazione delle funzioni continue mediante 
aperti o chiusi. Proprieta' delle funzioni continue sui compatti (s.d.). 
Integrali dipendenti da un parametro: continuita'.

	Calcolo differenziale per funzioni di piu' variabili. Derivate parziali e 
direzionali, differenziabilita' di funzioni a valori scalari. Teorema del 
differenziale totale. Derivate e differenziale di funzioni a valori 
vettoriali. Matrice Jacobiana. Differenziabilita' della funzione composta 
(s.d.). Derivate successive: teorema di Schwartz (s.d.). Formula di Taylor 
(dimostrazione solo della formula di ordine due). Punti stazionari. Massimi e 
minimi relativi. Forme quadratiche e autovalori. Matrice Hessiana. Condizioni 
necessarie e condizioni sufficienti per l'esistenza di massimi e minimi 
relativi. Integrali dipendenti da un parametro: derivabilita'.

	Calcolo differenziale su curve e superfici. Curve. Curve regolari, 
semplici, chiuse, equivalenti. Verso di percorrenza e versore tangente. 
Insieme connesso per archi, convesso, stellato rispetto a un punto. Lunghezza 
di un arco di curva. Archi equivalenti hanno la stessa lunghezza. Ascissa 
curvilinea. Insiemi di livello. Funzioni implicite: teorema del Dini (con 
dimostrazione). Varieta' unidimensionali nel piano (cenni). Superfici 
parametriche regolari e loro orientamento. Versore normale e piano tangente. 
Cambiamenti di coordinate. Superfici equivalenti. Varieta' unidimensionali e 
bidimensionali (cenni). Punti stazionari vincolati. Moltiplicatori di 
Lagrange.

	Integrali multipli. Funzioni a scala e loro integrale. Integrale (secondo 
Riemann) di una funzione limitata su un iperrettangolo. Integrabilita' delle 
funzioni continue. Misura di Peano-Jordan. Insiemi trascurabili. Proprieta' 
degli insiemi misurabili. Integrale di una funzione su un insieme limitato e 
misurabile e sue proprieta'. Metodo di riduzione per il calcolo degli 
integrali (s.d.). Cambiamento di variabili negli integrali (s.d.). Coordinate 
polari, sferiche, cilindriche. Volume di un solido di rotazione: il primo 
teorema di Guldino. Integrali multipli su insiemi non limitati.

	Integrali su curve e superfici. Integrale curvilineo di una funzione e 
sue proprieta'. Calotte regolari. Area di una calotta. Area di una superficie 
di rotazione: il secondo teorema di Guldino. Integrale superficiale di una 
funzione e sue proprieta'. Integrale di linea di un campo vettoriale e sue 
proprieta'. Teorema di Green (s.d.) e sua applicazione al calcolo di aree. 
Integrale di flusso di un campo vettoriale e sue proprieta'. Teorema di Stokes 
(s.d.). Teorema di Gauss (s.d.). Campi vettoriali conservativi e loro 
proprieta'. Condizioni necessarie e sufficienti perche' un campo sia 
conservativo. Insiemi semplicemente connessi del piano e dello spazio. 
Condizioni sufficienti perche' un campo sia conservativo. Calcolo del 
potenziale di un campo conservativo. Forme differenziali e loro integrali. 
Forme differenziali esatte. Forme differenziali chiuse.

	Sistemi di equazioni differenziali. Equazioni differenziali ordinarie di 
ordine n. Equazioni in forma normale. Sistemi del primo ordine. 
Prolungamento delle soluzioni. Soluzioni massimali. Problema di Cauchy: 
teorema di esistenz
a e unicita'(s.d.). Dipendenza delle soluzioni dai dati 
iniziali (s.d.).  Equazioni sublineari. Esistenza e unicita' della soluzione 
globale. Equazioni a variabili separabili, omogenee e di Bernoulli. 
Particolari equazioni del secondo ordine. Sistemi lineari. Integrale generale 
del sistema omogeneo e del sistema non omogeneo. Matrice fondamentale. 
Wronskiano. Metodo della variazione delle costanti. Equazioni lineari a 
coefficenti costanti.  

Testo di riferimento:- A. Bacciotti-F. Ricci, Lezioni di Analisi Matematica 2, Ed. Levrotto & Bella, Torino.

Testi consigliati:
-	E. Giusti, Analisi Matematica 2,  Boringhieri.
-	T.M. Apostol, Calcolo, Vol. I, II e III, Boringhieri.
-	J.P. Cecconi - G. Stampacchia, Analisi Matematica, Vol. I e II, Liguori 
 Editore.
-	J.P. Cecconi - L.C. Piccinini - G. Stampacchia, Esercizi e problemi di 
Analisi Matematica, Vol. I e II, Liguori Editore.
-	P. Marcellini - C. Sbordone, Eserccitazioni di Matematica, Vol. I e II, 
Liguori Editore.
-	W. Rudin, Principi di Analisi Matematica, McGrawHill Libri Italia srl.
-	G. Sansone - R. Conti, Lezioni di Analisi Matematica, Vol. I e II, CEDAM.

N.B.  s.d. significa "senza dimostrazione"

Modalita' d'esame : l'esame consiste in una prova scritta e in una successiva 
prova orale.