Programma provvisorio di Analisi Matematica 1 e 2 Anno accademico 2002/2003 Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica e Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale (Prof. Maria Patrizia Pera) (Ultimo aggiornamento: 16/09/03) NUMERI Insiemi (unione, intersezione, differenza, insieme vuoto, complementare). Numeri naturali, interi, razionali. I numeri reali: assiomi algebrici, ordinamento, assioma di completezza. Quantificatori logici. Disuguaglianze. Valore assoluto. Potenze e radici. Logaritmi. Intervalli. Numerabilita` (cenni). Intorni di un punto. Massimo, minimo, maggioranti, minoranti, estremo inferiore e superiore di un insieme. Punti di accumulazione e punti isolati. Proprieta` di Archimede. Densita` dei razionali. I numeri complessi. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Potenza n-esima di un numero complesso. FUNZIONI DI UNA VARIABILE (LIMITI E CONTINUITA`) Applicazioni tra insiemi. Funzioni reali di variabile reale. Grafico di una funzione. Funzioni limitate. Funzioni monotone. Funzioni inverse. Massimi e minimi. Polinomi e funzioni razionali. Principali funzioni trascendenti (funzioni esponenziali e logaritmiche, funzioni trigonometriche e loro inverse, funzioni iperboliche). La funzione parte intera. Limiti delle funzioni (finiti e infiniti). Teorema di unicita` del limite. Limite destro e sinistro. Teorema sulle operazioni per il calcolo dei limiti. Forme indeterminate. Teorema dei carabinieri. Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone. Limiti fondamentali e conseguenze. Continuita`.Teorema della permanenza del segno. Teorema di continuita` delle funzioni combinate (somma, prodotto, quoziente e composizione). Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Teorema di continuita` di una funzione inversa. SUCCESSIONI REALI Definizione di successione. Limite di una successione. Successioni convergenti, divergenti e indeterminate. Teoremi sui limiti delle successioni. Successioni limitate. Successioni monotone. Estremo inferiore ed estremo superiore di una successione. Teorema di esistenza del limite per le successioni monotone. Il numero e come limite di una successione. Teorema di collegamento e alcune sue applicazioni. Radice n-esima, n fattoriale e calcolo di alcuni limiti connessi a queste nozioni. Calcolo combinatorio: permutazioni, disposizioni,combinazioni. Binomio di Newton. FUNZIONI DI UNA VARIABILE (DERIVATE) Definizione di derivata. Derivata destra e sinistra. Derivabilita` in un insieme. Punti angolosi. Interpretazione geometrica della derivata. Differenziale. Regole di derivazione (somma, prodotto, quoziente, composizione e funzione inversa). Derivate di funzioni speciali. Teoremi di Rolle e Lagrange. Conseguenze del Teorema di Lagrange. Derivate di ordine superiore. Formula di Taylor col resto nella forma di Peano. Formula di Taylor col resto nella forma di Lagrange. Formula di MacLaurin. Applicazioni della formula di Taylor al calcolo dei limiti e ad alcuni problemi di approssimazione. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Condizioni sufficienti per l'esistenza di massimi e minimi relativi. Funzioni convesse in un intervallo. Punti di flesso. Asintoti di una funzione. Studi di funzione. Teoremi di de L'Hopital. INTEGRALI SEMPLICI Definizione di integrale definito. Insiemi trascurabili e condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilita`. Proprieta` degli integrali definiti (linearita`,monotonia, additivita`). Teorema della media per gli integrali. Primitive. Integrali indefiniti. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. Formula di integrazione per parti per gli integrali indefiniti e definiti. Formula di integrazione per sostituzione per gli integrali indefiniti e definiti. Integrazione delle funzioni elementari o dedotte da funzioni elementari. Integrazione delle funzioni razionali. Alcuni metodi di integrazione. Integrali impropri. Criteri di convergenza (confronto, confronto asintotico, convergenza assoluta). FUNZIONI REALI DI PIU` VARIABILI Lo spazio R^2, R^3, R^n. Norma e distanza. Prodotto scalare. Elementi di topologia in R^n (intorni di un punto, punti di accumulazione, punti isolati, punti di frontiera, insiemi chiusi, insiemi aperti). Insiemi limitati. Funzioni reali di due o piu' variabili reali. Limiti (finiti e infiniti). Limiti direzionali. Continuita`. Teorema di Weierstrass. Derivate parziali. Gradiente. Differenziabilita`. Piano tangente. Teorema del differenziale totale. Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice hessiana (in due variabili). Massimi e minimi relativi. Condizione necessaria per i punti estremanti (teorema di Fermat). Cenno alle forme quadratiche. Condizione sufficiente per i punti estremanti. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE Equazioni del primo ordine. Equazioni di ordine n. Definizione di soluzione. Equazioni in forma normale. Soluzioni massimali. Soluzioni globali. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza di Peano. Teorema di esistenza e unicita` (della soluzione massimale del problema di Cauchy). Equazioni a variabili separabili. Equazioni con il secondo membro omogeneo. Integrazione delle equazioni lineari del primo ordine a coefficienti continui. Funzioni linearmente indipendenti. Integrazione delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Metodi di variazione delle costanti e altri metodi pratici per la determinazione di una soluzione particolare delle equazioni lineari non omogenee. Cenno ad alcuni problemi ai limiti per equazioni del secondo ordine. ___________________________________________________ Testo per prerequisiti: - Boieri P. - Chiti G., Precorso di Matematica, Zanichelli. Testi di riferimento: - Marcellini P.- Sbordone C., Elementi di Analisi Matematica uno, Liguori Editore. N.B. Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea. - Registro dettagliato delle lezioni in formato pdf (consultare http://www.dma.unifi.it/~pera). Testi consigliati per approfondimenti: - Anichini G. - Conti G., Calcolo 1, Funzioni di una variabile, Pitagora Editrice. - Bramanti M. - Pagani C.D. - Salsa S., Matematica (calcolo infinitesimale e algebra lineare), Zanichelli. Testi consigliati per esercizi: - Marcellini P. - Sbordone C., Esercitazioni di Matematica 1, Liguori Editore. - Spiegel, Analisi Matematica, Collana Schaum, McGraw-Hill libri Italia.