PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA II
Corso di laurea in Ingegneria Meccanica - a.a. 2001/2002
	Prof. M.Patrizia Pera

	Successioni e serie di funzioni. 
Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme. Passaggio al limite 
sotto il segno di integrale e di derivata. Richiami sulle successioni di 
Cauchy. Serie di funzioni: convergenza semplice, assoluta, uniforme e totale.
 Criterio di Weierstrass. Integrazione e derivazione per serie. Serie di
 potenze. Serie di Taylor. Serie di potenze in campo complesso (cenni). Serie 
di Fourier e teoremi di convergenza (s.d.)

	Spazi metrici e spazi di Banach.
Spazi metrici: distanza, intorni, punti di accumulazione, punti isolati,
 distanze equivalenti. Distanza euclidea. Successioni in uno spazio metrico. 
Spazi metrici completi. Insiemi aperti, chiusi, limitati. Chiusura, interno e 
frontiera di un insieme. Caratterizzazione dei chiusi tramite le successioni
 (s.d.). Funzioni continue.
Spazi vettoriali. Lo spazio R^n e il suo duale. 
Spazi normati: norma, norma euclidea in R^n, norma dell'estremo superiore nello 
spazie delle funzioni continue. Spazi di Banach. Funzioni Lipschitziane e 
contrazioni. Teorema delle contrazioni.
Insiemi compatti. Teorema di Weierstrass. Una funzione continua manda compatti 
in compatti. Funzioni uniformemente continue. Teorema di Heine-Cantor. Insiemi 
connessi. Teorema dei valori intermedi (s.d.). Una funzione continua manda 
connessi in connessi (s.d.).  


	Funzioni di piu' variabili.
Definizione di limite. Continuita'. Somma, prodotto, quoziente, composizione di 
funzioni continue (s.d.).  
Calcolo differenziale per funzioni di piu' variabili. Funzioni a valori 
scalari: derivate parziali e direzionali, differenziabilita'. Teorema del 
differenziale totale. Gradiente. Regola di derivazione a catena. Derivate 
successive: teorema di Schwartz (s.d.). Formula di Taylor (dimostrazione solo 
della formula di ordine due). Forme quadratiche e autovalori. Matrice Hessiana. 
Punti critici. Massimi e minimi relativi.  Condizioni necessarie e condizioni 
sufficienti per l'esistenza di estremi relativi. 
Integrali dipendenti da un parametro: continuita' e derivabilita'. 
Funzioni a valori vettoriali: derivabilita' e differenziabilita'. Matrice 
Jacobiana. Differenziabilita' della funzione composta (s.d.).
Funzioni implicite: teorema del Dini. Continuita' e derivabilita' della 
funzione implicita. Teorema delle funzioni implicite per sistemi (il caso da 
R^3 in R^2). Teorema di invertibilita' locale (s.d.). Cenno all'invertibilita' 
globale.   Massimi e minimi vincolati. Moltiplicatori di Lagrange.


	Curve e integrali curvilinei.
Curve parametriche in R^n. Curve regolari, semplici, chiuse, equivalenti. Curve 
regolari a tratti. Versore tangente.  Curve rettificabili. Lunghezza di una 
curva. Curve equivalenti hanno la stessa lunghezza. Integrale curvilineo di una 
funzione e sue proprieta'. Calcolo di masse e baricentri mediante integrali 
curvilinei.

 
	Forme differenziali lineari.
Forme differenziali e campi vettoriali. Forme esatte e loro primitive. Campi 
vettoriali conservativi e loro potenziali. Integrale di una forma differenziale 
lineare e sue proprieta'. Condizioni necessarie e sufficienti perche' una forma 
sia esatta. Forme chiuse. Curve omotope. Teorema di invarianza per omotopia 
(s.d.). Insiemi convessi, insiemi semplicemente connessi. Condizioni 
sufficienti perche' una forma chiusa sia esatta. 









	Integrali multipli. 
Misura di Peano-Jordan. Proprieta' della misura. Insiemi di misura nulla. 
Integrazione secondo Riemann di funzioni di due o tre variabili. Linearita' e 
additivita' dell'integrale. Integrabilita'delle funzioni generalmente continue 
(s.d.). Formule di riduzione per il calcolo degli integrali (s.d.). Integrali 
in insiemi normali. Cambiamento di variabili negli integrali (s.d.). Coordinate 
polari, sferiche, cilindriche. Volume dei solidi di rotazione. Primo teorema di 
Guldino. Calcolo di masse, baricentri, momenti di inerzia. 


	Superfici e integrali superficiali.
Superfici parametriche. Superfici regolari e regolari a tratti. Versore normale 
e piano tangente. Cambiamento di parametro. Superfici equivalenti. Area di una 
superficie. Superfici equivalenti hanno la stessa area (s.d.). Integrale 
superficiale di una funzione e sue proprieta'. Secondo teorema di Guldino.
 Calcolo di masse e baricentri. 
Superfici orientabili. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie 
orientabile e sue proprieta'. Rotore e divergenza di un campo vettoriale. 
Superfici regolari con bordo. Orientazione del bordo. Teorema di Stokes (s.d.). 
Teorema di Green (s.d.). Teorema della divergenza (s.d.).  


	Equazioni differenziali. 
Equazioni differenziali ordinarie di ordine n. Definizione di soluzione. 
Integrale generale, integrali particolari. Equazioni in forma normale. Problema 
di Cauchy: teorema di esistenza e unicita' di una soluzione locale 
(dimostrazione con il teorema delle contrazioni). Teorema di esistenza di 
Peano. Soluzioni globali. Soluzioni massimali. Equazioni a variabili separabili 
Equazioni lineari di ordine n: soluzioni linearmente indipendenti, integrale 
generale dell'equazione omogenea e di quella non omogenea. Equazioni lineari a 
coefficenti costanti del second'ordine e metodi per trovare una soluzione 
particolare.  

N.B.  s.d. significa "senza dimostrazione"


Testo di riferimento:
N.Fusco- P.Marcelini- C.Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori Editore.

Testi consigliati:
G.Anichini-G.Conti, Calcolo 3, Funzioni di piu' variabili e modelli matematici,
 Pitagora Editrice, Bologna.
A. Bacciotti-F. Ricci, Lezioni di Analisi Matematica 2, Ed. Levrotto & Bella, 
Torino.
E. Giusti, Analisi Matematica 2,  Boringhieri.
W. Rudin, Principi di Analisi Matematica, McGrawHill Libri Italia srl.
G. Sansone - R. Conti, Lezioni di Analisi Matematica, Vol. I e II, CEDAM.
M.P. Pera, Registro delle lezioni di Analisi Matematica 1 (parte 2), a.a. 
2000/01 reperibile in rete all'indirizzo http://www.dma.unifi.it/~pera/ 

Per gli esercizi:	
J.P. Cecconi - L.C. Piccinini - G. Stampacchia, Esercizi e problemi di Analisi 
Matematica, Vol. I e II, Liguori Editore.
P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol. I e II, Liguori 
Editore.